第5講二次根式及其運算1二次根式的有關(guān)概念考試內(nèi)容考試要求二次根式一般地，形如( )的式子叫做二次根式a最簡二次根式必須同時滿足：(1)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；(2)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號)2.二次根式的性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求兩個重要的性質(zhì)()2a(a_)；|a|a積的算術(shù)平方根·(a0，b0)商的算術(shù)平方根(a0，b>0)3.二次根式的運算考試內(nèi)容考試要求二次根式的加減先將各根式化為 ，然后合并被開方數(shù) 的二次根式b二次根式的乘法· (a0，b0)二次根式的除法 (a0，b0)二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算 ，最后算加減，有括號的先算括號里面的(或先去括號)考試內(nèi)容考試要求基本方法1.整式運算法則也適用于二次根式的運算c2.估算一個根號表示的無理數(shù)可用“逐步逼近”的方法，即首先找出與該數(shù)鄰近的兩個完全平方數(shù)，可估算出該無理數(shù)的整數(shù)部分，然后再取一位小數(shù)進一步估算即可3.絕對值：|a|；偶次冪：a2n；非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根：(a0)是常見的三種非負(fù)數(shù)形式非負(fù)數(shù)具有以下兩條重要性質(zhì)：非負(fù)數(shù)形式有最小值為零；幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，那么每個非負(fù)數(shù)都等于零1(2015·湖州)4的算術(shù)平方根是()A±2 B2 C2 D.2(2017·寧波)要使二次根式有意義，則x的取值范圍是()Ax3 Bx3 Cx3 Dx33(2016·杭州)下列各式變形中，正確的是()Ax2·x3x6B.|x|C.÷xx1Dx2x14(2017·寧波)實數(shù)8的立方根是_5(2017·湖州)計算：2×(1).【問題】下列各式已給出計算結(jié)果：；3；×；÷4(1)其中正確的是_；(2)對于錯誤的結(jié)果，請給出正確答案；(3)通過以上的解答，聯(lián)想二次根式有哪些性質(zhì)、運算法則？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理二次根式的性質(zhì)和運算法則，以及注意的問題類型一平方根、算術(shù)平方根、立方根(1)(2015·黃岡)9的平方根是()A±3 B± C3 D3(2)(2017·黃岡)16的算術(shù)平方根是_(3)(2016·寧波)實數(shù)27的立方根是_【解后感悟】一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根；注意算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤；開立方和立方互為逆運算是解題的關(guān)鍵1(1)(2016·唐山模擬)下列式子中，計算正確的是()A0.6 B.13C.±6 D3(2)如果一個正數(shù)的兩個平方根為a1和2a7，則這個數(shù)為_類型二二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)(1)式子有意義的x的取值范圍是_；(2)(2017·邵陽模擬)將化成最簡二次根式是_(3)計算：_.【解后感悟】(1)此類有意義的條件問題主要是根據(jù)：二次根式的被開方數(shù)大于或等于零；分式的分母不為零列不等式組，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集(2)此題根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，是解本題的關(guān)鍵2(1)(2017·荊州)下列根式是最簡二次根式的是()A. B. C. D.(2)k、m、n為三個整數(shù)，若k，15，6，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確()Akmn BmnkCmnk Dmkn(3)(2016·金華)能夠說明“x不成立”的x的值是_(寫出一個即可)(4)若實數(shù)a、b滿足0，則_.(5)若整數(shù)x滿足|x|3，則使為整數(shù)的x的值是_(只需填一個)類型三二次根式的運算與求值(1)(2017·濱州)下列計算：(1)()22，(2)2，(3)(2)212，(4)()()1，其中結(jié)果正確的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4(2)計算：3_；(3)化簡：()|3|_.【解后感悟】(1)二次根式的加減運算，關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并；(2)二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵3(1)下列計算正確的是()A431 B.C2 D325(2)算式(×)×之值為()A2 B12 C12 D184(1)計算(3)2018·(3)2017_；(2)(2016·聊城)計算：·÷.類型四二次根式的大小比較已知甲、乙、丙三數(shù)，甲5，乙3，丙1，則甲、乙、丙的大小關(guān)系，下列何者正確()A丙乙甲 B乙甲丙C甲乙丙 D甲乙丙【解后感悟】比較兩個二次根式大小時要注意：(1)負(fù)號不能移到根號內(nèi)；(2)根號外的正因數(shù)要平方后才能從根號外移到根號內(nèi)5(1)(2015·河北)在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍，如圖，則表示的點落在()A段 B段 C段 D段(2)(2015·杭州)若kk1(k是整數(shù))，則k()A6 B7 C8 D9(3)(2017·白銀)估計與0.5的大小關(guān)系是：_0.5.(填“”、“”、“”)類型五二次根式的綜合型問題(1)已知實數(shù)x，y滿足0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是_(2)在日常生活中，取款、上網(wǎng)都需要密碼，有的人把自己的出生年月作為密碼，有的人把生活中的重要數(shù)字或自己認(rèn)為吉利的數(shù)字作為密碼，這樣很容易被知情人竊用有一種用二次根式法產(chǎn)生的密碼，如：對于二次根式，計算的結(jié)果是11，取被開方數(shù)和計算結(jié)果，再在中間加一個數(shù)字0，于是就得到一個六個數(shù)字的密碼“121011”對于二次根式，用上述方法產(chǎn)生的密碼是_【解后感悟】常見的非負(fù)數(shù)有三種形式：|a|，a2；若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都為零6(1)矩形相鄰兩邊長分別為，則它的周長是_，面積是_(2)觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，3，2，那么第10個數(shù)據(jù)應(yīng)是_(3)若yx3，則10x2y的平方根為_7已知x1，y1，求下列各式的值：(1)x22xyy2； (2)x2y2.【探索規(guī)律題】如圖，以O(shè)(0，0)、A(2，0)為頂點作正OAP1，以點P1和線段P1A的中點B為頂點作正P1BP2，再以點P2和線段P2B的中點C為頂點作P2CP3，如此繼續(xù)下去，則第六個正三角形中，不在第五個正三角形上的頂點P6的坐標(biāo)是_【方法與對策】根據(jù)O(0，0)，A(2，0)為頂點作OAP1，再以P1和P1A的中點B為頂點作P1BP2，再以P2和P2B的中點C為頂點作P2CP3，如此繼續(xù)下去，結(jié)合圖形求出點P6的坐標(biāo)本題由特殊到一般的規(guī)律解題是關(guān)鍵，這類題型是中考的熱點【二次根式的化簡符號不明確】下列各式中，正確的是()A.3 B3 C.±3 D.±3參考答案第5講二次根式及其運算【考點概要】1 a02. 0aa3.最簡二次根式相同乘除【考題體驗】1 B2. D3. B4. 25.原式2222.【知識引擎】【解析】(1)；(2)，3，÷2；(3)主要從二次根式性質(zhì)、運算法則方面去思考【例題精析】例1(1)A；(2)4；(3)3例2(1)根據(jù)題意得，2x10且x10，解得x且x1.(2)3；(3)1.例3(1)D；(2)原式2，故答案為：；(3)()|3|32(3)6.故答案為：6.例43<<4，859，8甲9.45，738，7乙8.45，516，5丙6.丙乙甲故選A.例5(1)由0得，x40，y80，即x4，y8.若4是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8，不能組成三角形若4是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8，能組成三角形，周長為48820；即等腰三角形的周長是20.(2)0.9，所以得到一個六個數(shù)字的密碼081009.【變式拓展】1 (1)D(2)92.(1)C(2)D(3)1(4)1 (5)2 3. (1)C(2)D4.(1)3(2)125(1)C(2)D (3)6.(1)64(2)3 (3)±67.(1)因為x1，y1，所以xy2，xy2.則(1)x22xyy2(xy)2(2)212.(2)x2y2(xy)(xy)4.【熱點題型】【分析與解】每一個正三角形的邊長都是上個三角形的邊長的，第六個正三角形的邊長是，故頂點P6的橫坐標(biāo)是，P5縱坐標(biāo)是，P6的縱坐標(biāo)為，故答案為：(，)【錯誤警示】3，選項A錯誤；3，選項C錯誤；3，選項D錯誤故選B.9