第20講多邊形與平行四邊形1多邊形考試內(nèi)容考試要求多邊形的定義在同一平面內(nèi)，若干條不在同一直線上的線段 相接組成的圖形叫做多邊形a多邊形的性質(zhì)內(nèi)角和n邊形內(nèi)角和為 c外角和任意多邊形的外角和為 對(duì)角線n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫(huà)_條對(duì)角線，一共可以畫(huà)_條對(duì)角線正多邊形定義各邊_，各角也_的多邊形叫做正多邊形a性質(zhì)正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是 ，每一個(gè)外角的度數(shù)都是 c2.平行四邊形的性質(zhì)、判定方法考試內(nèi)容考試要求性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊_.c平行四邊形的對(duì)角_.平行四邊形的對(duì)角線 平行四邊形是 對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的 判定兩組對(duì)邊分別 的四邊形是平行四邊形(定義法)兩組對(duì)邊分別_的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)角分別 的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊_的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線 的四邊形是平行四邊形拓展若一條直線過(guò)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，那么這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心，且這條直線等分平行四邊形的面積、周長(zhǎng)考試內(nèi)容考試要求基本方法1.面積法，在三角形和平行四邊形中，運(yùn)用“等積法”進(jìn)行求解，以不同的邊為底，其高也不相同，但面積是定值，從而得到不同底和高的關(guān)系c2.四種輔助線：(1)常用連對(duì)角線的方法把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題；(2)有平行線時(shí)，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；(3)有中線時(shí)，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過(guò)引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置1(2016·舟山)已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是140°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是()A6 B7 C8 D92(2016·紹興)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來(lái)相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號(hào)應(yīng)該是()A， B， C， D，3 (2016·衢州)如圖，在ABCD中，M是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，若A135°，則MCD的度數(shù)是()A45° B55° C65° D75°4 (2016·麗水)如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知AD8，BD12，AC6，則OBC的周長(zhǎng)為()A13 B17 C20 D265 (2015·衢州)如圖，在ABCD中，已知AD12cm，AB8cm，AE平分BAD交BC邊于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)等于()A8cm B6cm C4cm D2cm【問(wèn)題】(1)如圖，你能從多邊形中得到哪些信息？(2)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，你能從這個(gè)圖形中獲取哪些信息？(3)如圖是一張平行四邊形ABCD的紙片沿對(duì)角線撕下的一部分，請(qǐng)你用不同方法復(fù)原平行四邊形ABCD.【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理平行四邊形的性質(zhì)、判定方法類型一多邊形的性質(zhì)(1)(2016·烏魯木齊)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)(2)(2016·河北)已知n邊形的內(nèi)角和(n2)×180°.甲同學(xué)說(shuō)，能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n.若不對(duì)，說(shuō)明理由；若n邊形變?yōu)?nx)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.【解后感悟】如果已知n邊形的內(nèi)角和，那么可以求出它的邊數(shù)n；對(duì)于多邊形的外角和等于360°，應(yīng)明確兩點(diǎn)：(1)多邊形的外角和與邊數(shù)n無(wú)關(guān)；(2)多邊形內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題常常有化難為易的效果此題需要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式來(lái)尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解1(1)(2015·麗水)一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，則這個(gè)多邊形是()A四邊形 B五邊形 C六邊形 D七邊形(2)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為()A5 B5或6 C5或7 D5或6或7類型二平行四邊形的判定(1)(2017·荊門(mén)模擬)四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD.從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法是_(填序號(hào))；(2)(2016·衢州)已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則x_.【解后感悟】(1)探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：若條件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)證明；若條件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來(lái)說(shuō)明；若條件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形(2)注意：“以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形”與“四邊形OABC是平行四邊形”的區(qū)別2 (1)(2017·嘉興模擬)如圖，已知ABC，分別以A，C為圓心，BC，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線BC上方交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，則有()AADC與BAD相等 BADC與BAD互補(bǔ)CADC與ABC互補(bǔ) DADC與ABC互余(2)(2016·吉林)圖1，圖2都是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡(jiǎn)稱為標(biāo)注點(diǎn)請(qǐng)?jiān)趫D1，圖2中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫(huà)一個(gè)平行四邊形(兩個(gè)平行四邊形不全等)；圖1中所畫(huà)的平行四邊形的面積為.3(2015·遂寧)如圖，ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BEDF，求證：(1)AECF；(2)四邊形AECF是平行四邊形類型三平行四邊形的性質(zhì)如圖，在ABCD中，(1)若ABC232，則D_；(2)若AC240°，則B_；(3)若對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC4，BD5，BC3，則BOC的周長(zhǎng)是_；(4)若A的平分線交邊BC于點(diǎn)E.若AB10cm，AD14cm，則BE_cm，EC_cm；(5)若BAD與ADC的角平分線分別交邊BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AB2EF2，則BC_【解后感悟】利用圖形和平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；對(duì)于(5)注意分類討論4(1)(2017·瀘州模擬)平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為6和10，則其中一條邊x的取值范圍為()A4x6 B2x8 C0x10 D0x6(2)(2017·麗水)如圖，在ABCD中，連結(jié)AC，ABCCAD45°，AB2，則BC的長(zhǎng)是()A. B2 C2 D4(3)(2015·河南)如圖，在ABCD中，用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF6，AB5，則AE的長(zhǎng)為()A4 B6 C8 D10(4)(2017·黃崗模擬)在ABCD中，BC邊上的高為4，AB5，AC2，則ABCD的周長(zhǎng)等于_類型四平行四邊形的應(yīng)用如圖1是某公共汽車前擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2，雨刷EF丄AD，垂足為A，ABCD，且ADBC.這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)始終垂直于玻璃窗下沿BC.請(qǐng)證明這一結(jié)論【解后感悟】本題是實(shí)際問(wèn)題，首先構(gòu)建關(guān)于平行四邊形的問(wèn)題，再利用平行四邊形的判定和性質(zhì)來(lái)解決5 (2017·嘉興模擬)將四根木條釘成的長(zhǎng)方形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為長(zhǎng)方形面積的一半(木條寬度忽略不計(jì))，則這個(gè)平行四邊形的最小內(nèi)角為度類型五平行四邊形的綜合運(yùn)用(2017·舟山模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，C60°，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，BC2CD.(1)求證：四邊形MNCD是平行四邊形；(2)求證：BDMN.【解后感悟】利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所需要的線段、角，選擇需要的邊、角相等條件；也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形6 (1)(2016·東營(yíng))如圖，在RtABC中，B90°，AB4，BCAB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是.(2)(2017·溫州模擬)如圖，將ABCD的AD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DEAD，連結(jié)CE，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)FD.求證：四邊形CEDF是平行四邊形；若AB3，AD4，A60°，求CE的長(zhǎng)【作圖探究題】如圖，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點(diǎn)P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作法如下：(甲)連結(jié)BD、CE，兩線段相交于P點(diǎn)，則P即為所求(乙)先取CD的中點(diǎn)M，再以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AM于P點(diǎn)，則P即為所求對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確()A兩人皆正確 B兩人皆錯(cuò)誤 C甲正確，乙錯(cuò)誤 D甲錯(cuò)誤，乙正確【方法與對(duì)策】本題綜合運(yùn)用正五邊形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定的應(yīng)用，問(wèn)題通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作為條件進(jìn)行分析、綜合、對(duì)照平行四邊形判定，說(shuō)明甲正確、乙錯(cuò)誤通過(guò)作圖來(lái)計(jì)算、判斷、證明是中考出題常用方法【各種判定方法易混淆不清】已知四邊形ABCD，有以下四個(gè)條件：ABCD；ABCD；BCAD；BCAD.從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有()A6種 B5種 C4種 D3種參考答案第20講多邊形與平行四邊形【考點(diǎn)概要】1首尾順次(n2)×180°360°(n3) 相等相等2.相等相等互相平分中心交點(diǎn)平行相等相等平行且相等互相平分【考題體驗(yàn)】1D2.D3.A4.B5.C【知識(shí)引擎】【解析】(1)n邊形的內(nèi)角和(n2)·180°，外角和360°； (2)從平行四邊形的性質(zhì)的角度說(shuō)明； (3)從平行四邊形的判定方法的角度說(shuō)明(四個(gè)方面)【例題精析】例1(1)6； (2)360°÷180°2，630°÷180°390°，甲的說(shuō)法對(duì)，乙的說(shuō)法不對(duì)，360°÷180°2224.答：甲同學(xué)說(shuō)的n邊形的邊數(shù)n是4；依題意有(nx2)×180°(n2)×180°360°，解得x2.故x的值是2.例2(1)、；(2)根據(jù)題意畫(huà)圖如下：以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則C(4，1)或(2，1)，則x4或2；故答案為：4或2.例3(1)108°(2)60°(3)7.5(4)10，4(5)3或5例4ABCD、ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形. ADBC.又EFAD，EFBC.例5(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，MDNC，MDNC，四邊形MNCD是平行四邊形； (2)如圖：連結(jié)ND，四邊形MNCD是平行四邊形，MNDC.N是BC的中點(diǎn)，BNCN，BC2CD，C60°，NCD是等邊三角形NDNC，DNC60°.DNC是BND的外角，NBDNDBDNC，DNNCNB，DBNBDNDNC30°，BDC90°.tanDBC，DBDCMN.【變式拓展】1(1)C(2)D2.(1)B(2)如圖1，如圖2；63. 證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABECDF(SAS)AECF.(2)ABECDF，AEBCFD，AEFCFE，AECF，AECF，四邊形AECF是平行四邊形4. (1)B(2)C(3)C(4)12或205.306.(1)4(2)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，DEAD，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，DEFC，DEFC，四邊形CEDF是平行四邊形；過(guò)點(diǎn)D作DNBC于點(diǎn)N，四邊形ABCD是平行四邊形，A60°，BCDA60°，AB3，AD4，F(xiàn)C2，NCDC，DN，F(xiàn)N，則DFEC.【熱點(diǎn)題型】【分析與解】甲：如圖1，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是108°，ABBCCDDEAE，DECDCE×(180°108°)36°，同理CBDCDB36°，ABPAEP108°36°72°，BPE360°108°72°72°108°A，四邊形ABPE是平行四邊形，即甲正確；乙：如圖2，BAE108°，BAMEAM54°，ABAEAP，ABPAPB×(180°54°)63°，AEPAPE63°，BPE360°108°63°63°108°，即ABPAEP，BAEBPE，四邊形ABPE不是平行四邊形，即乙錯(cuò)誤；故選C. 【錯(cuò)誤警示】利用判定方法可得、，這四種情況能判定四邊形ABCD是平行四邊形故選C.12