第2課時(shí)直角三角形直角三角形考試內(nèi)容考試要求概念有一個(gè)角是的三角形叫做直角三角形a性質(zhì)如圖，在ABC中，C90°.1邊與邊的關(guān)系(勾股定理)：a2b2；2角與角的關(guān)系：AB；3邊與角的關(guān)系：若A30°，則ac，bc；若ac，則A30°；若A45°，則abc；若ac，則A45°；4斜邊上的中線mcR(其中R為三角形外接圓的半徑)c判定1.有一個(gè)角是或兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形2如果三角形一邊上的中線等于這條邊的，那么這個(gè)三角形為直角三角形3勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的等于第三邊的，那么這個(gè)三角形是直角三角形拓展1.SRtABCchab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；2RtABC內(nèi)切圓半徑r；外接圓半徑R，即等于斜邊的一半考試內(nèi)容考試要求基本方法面積法：用面積法證題是常用的方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論如chab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；c1 (2017·紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為()A0.7米 B1.5米 C2.2米 D2.4米2(2017·溫州)四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為RtABM較長(zhǎng)直角邊，AM2EF，則正方形ABCD的面積為()A12S B10S C9S D8S第2題圖3 (2016·柳州模擬)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行()第3題圖A8米 B10米 C12米 D14米4 (2016·大連模擬)如圖，ABC中，ABAC8，BC6，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則CDE的周長(zhǎng)為()A10 B11 C12 D135(2016·安順模擬)如圖，在RtABC中，C90°，AB13，AC7，則sinB.【問題】如圖，點(diǎn)D是RtABC斜邊的中點(diǎn)(1)你能從圖中得到哪些信息？(2)若A40°，則DBC°；(3)若BD5，AB8，則BC.【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理直角三角形有關(guān)知識(shí)類型一直角三角形的性質(zhì)與判定(1)如圖，在RtABC中，ACB90°，若A46°，則B的度數(shù)為_；若A3B，則B_；若B30°，D為線段AB的中點(diǎn)，CD6，則ACD_；AB_；BC_(2) 如圖，已知AOD30°，點(diǎn)C是射線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，AOC恰好是直角三角形，則此時(shí)A所有可能的度數(shù)為_【解后感悟】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、以及斜邊上中線性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意分類討論的運(yùn)用1(1)(2016·黑龍江模擬)已知三組數(shù)據(jù)：2，3，4；3，4，5；1，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的有()A B C D(2)(2016·牡丹江模擬)如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則A等于()A25° B30° C45° D60°2(1)(2017·麗水模擬)如圖，在RtABC中，A30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，連結(jié)CD，若BD1，則AC的長(zhǎng)是_ 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖(2)(2017·衢州模擬)如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)若AD6，DE5，則CD的長(zhǎng)等于.(3)(2015·福州)如圖，在RtABC中，ABC90°，ABBC，將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)是.類型二直角三角形的分類討論(2016·大連模擬)如圖，在ABC中，ABBC4，AOBO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AOC60°，則當(dāng)PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為.【解后感悟】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵3 (2016·山西模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2x2過A、B、C三點(diǎn)，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.4(2016·安定模擬)如圖，在ABC中，ABAC10厘米，BC12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0t6)(1)當(dāng)PQAC時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形類型三勾股定理的應(yīng)用(2016·孝感)如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tanADE的值為_【解后感悟】此題中沒有具體的數(shù)，故先設(shè)未知數(shù)，根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進(jìn)一步運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求解5(1)下列長(zhǎng)度的三條線段不能組成直角三角形的是()A7，24，25 B4，5，6 C5，12，13 D2，1.5，2.5(2) (2016·株洲)如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1S2S3圖形個(gè)數(shù)有()A1 B2 C3 D4(3)如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為()A600m B500m C400m D300m(4)如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成(內(nèi)角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，則菱形ABCD面積和正方形EFGH面積之比為_類型四直角三角形的探究問題(2016·桂林模擬)如圖1，在ABC中，ACB90°，ACBC，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且CDCE，連結(jié)DE.(1)線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_(2)如圖2，當(dāng)CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由(3)繞點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)CDE，當(dāng)90°<<180°時(shí)，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)AF1時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，從而能用(1)(2)中積累的經(jīng)驗(yàn)去解決第(3)題它是中考的熱點(diǎn)題型6(1)(2016·錦州模擬)如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和ABC重合在一起，將三角板ABC繞其頂點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(0°<90°)，有以下四個(gè)結(jié)論：當(dāng)30°時(shí)，AC與AB的交點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)；當(dāng)60°時(shí)，AB恰好經(jīng)過點(diǎn)B；在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時(shí)刻，使得AABB；在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AABB.其中結(jié)論正確的序號(hào)是.(2) (2015·宿遷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，4)，直線yx3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為.類型五直角三角形的綜合運(yùn)用(2016·吉林)如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC90°，AC8cm，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作PQAB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且PQM90°(點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè))設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，PQM與ADC重疊部分的面積為y(cm2)(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，x_；(2)當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，x_；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍【解后感悟】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、分段函數(shù)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象，學(xué)會(huì)分類討論7 (1)(2016·陜西)如圖，在ABC中，ABC90°，AB8，BC6.若DE是ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交ABC的外角ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為()A7 B8 C9 D10(2) (2016·淄博)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AGCH8，BGDH6，連結(jié)GH，則線段GH的長(zhǎng)為()A. B2 C. D105(3)(2016·邵陽(yáng)模擬)如圖，在等腰RtOAA1中，OAA190°，OA1，以O(shè)A1為直角邊作等腰RtOA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰RtOA2A3，則OA2016的長(zhǎng)度為.【課本改變題】教材母題浙教版八上第87頁(yè)，目標(biāo)與評(píng)定第28題小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真的探索【思考題】如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？(1)請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1x，則B1Cx0.7，A1CACAA10.42.而A1B12.5，在RtA1B1C中，由B1C2A1C2A1B得方程，解方程得x1，x2，點(diǎn)B將向外移動(dòng)米(2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問題：【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？為什么？請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問題【方法與對(duì)策】這題是探究性問題，通過課本中作業(yè)完成后，進(jìn)行引申，用方程的思想繼續(xù)分析、探究，解決提出的猜想導(dǎo)向性：一方面要求同學(xué)們作業(yè)之后要反思，另一方面要求老師進(jìn)行變式教學(xué)，這是中考熱點(diǎn)題型【忽視直角三角形中直角邊不明確】(2016·包頭模擬)已知直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為_參考答案第2課時(shí)直角三角形【考點(diǎn)概要】直角c290°直角互余一半平方和平方【考題體驗(yàn)】1C2.C3.B4.B5.【知識(shí)引擎】【解析】(1)如：AB2BC2AC2，BDAC，AABD等；(2)50；(3)6.【例題精析】例1(1)44°22.5°60°126(2)60°或90°例2當(dāng)ABP90°時(shí)(如圖1)，AOCBOP60°，BPO30°，BP2，在直角三角形ABP中，AP2.當(dāng)APB90°時(shí)，分兩種情況討論：情況一，如圖2，AOBO，POBO，AOC60°，BOP60°，BOP為等邊三角形，ABBC4，APAB·sin60°4×2；情況二：如圖3，AOBO，APB90°，POAO，AOC60°，AOP為等邊三角形，APAO2，故答案為：2或2或2. 例3設(shè)小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，小正方形EFGH邊長(zhǎng)是a，則大正方形ABCD的面積是a，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，AEDH，設(shè)AEDHx，在RtAED中，AD2AE2DE2，即13a2x2(xa)2，解得：x12a，x23a(舍去)，AE2a，DE3a，tanADE，故答案為：.例4(1)ACBC，CDCE，BEAD，ACB90°，ACBC，BEAD.(2)仍然成立如圖2，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)M.在BCE和ACD中，BCAC，BCEACD，CECD，BCEACD.BEAD.12，CADCBE，AMBACB90°.即BEAD. (3)如圖3，過點(diǎn)C作CNAB于點(diǎn)N，ACBC，ACB90°，CNANAB1，BCN45°.AF1，F(xiàn)NAFAN.在RtCNF中，tanFCN，F(xiàn)CN30°.BCFBCNFCN15°.FCE90°，BCEBCFFCE105°.當(dāng)AF1時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為105°. 圖2 圖3例5(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，APCP4，所以x4.故答案為4. (2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PEQC于E.MQP，PQE，PEC都是等腰直角三角形，MQPQPC，DQQEEC，PEAD，AC8，PA，x÷.故答案為.(3)當(dāng)0<x4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為PEF，APx，EFPEx，ySPEF·PE·EFx2.當(dāng)4<x時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ.PQPC8x，PM162x，MEPMPE163x，ySPMQSMEG(8x)2(163x)2x232x64.當(dāng)<x<8時(shí)，如圖4中，則重合部分為PMQ，ySPMQPQ2(8x)2x216x64.綜上所述，y 圖1 圖2 圖3 圖4【變式拓展】1(1)D(2)B2.(1)2(2)8(3)13.或或或4.(1) PQAC，PBQABC，即，解得t(秒)；(2)過點(diǎn)A作ADBC于D，如圖ABAC，ADBC，BDDCBC6.B90°，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形情況有兩種：PQB90°，即PQAD.，即，解得t(秒)；QPB90°，而ADB90°，BB，BPQBDA，即，解得t(秒)由、知，當(dāng)t為秒或秒時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形5.(1)B(2)D(3)B(4)6(1)(2)7.(1)B(2)B(3)21008【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)(x0.7)2222.52，0.8，2.2(舍去)，0.8. (2)不會(huì)是0.9米，若AA1BB10.9，則A1C2.40.91.5，B1C0.70.91.6，1.521.624.81，2.526.25.B1C2A1C2A1B，該題的答案不會(huì)是0.9米有可能設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，則有(x0.7)2(2.4x)22.52，解得：x1.7或x0(舍)當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動(dòng)1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等【錯(cuò)誤警示】長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：5；綜上，第三邊的長(zhǎng)為：5或.故答案為：5或.13