第13講一次函數(shù)及其圖象1一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念考試內(nèi)容考試要求一次函數(shù)一般地，如果 (k、b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)b正比例函數(shù)特別地，當(dāng) 時(shí)，ykxb變?yōu)?(k是常數(shù)，k0)，這時(shí)y叫做x的正比例函數(shù)2.一次函數(shù)的圖象考試內(nèi)容考試要求一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0，_)和(_，0)的一條_特別地，正比例函數(shù)ykx的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0， )和(1， )的一條 b直線ykxb與ykx之間的關(guān)系直線ykxb可以看成是由直線ykx平移得到，b0，向 平移 個(gè)單位；b0，向 平移 個(gè)單位c3.一次函數(shù)ykxb的性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求k、b符號圖象形狀經(jīng)過的象限函數(shù)的性質(zhì)ck>0，b>0_y隨x的增大而_k>0，b<0_k<0，b>0_y隨x的增大而_k<0，b<0_易錯(cuò)點(diǎn)一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限是指圖象經(jīng)過第一、三、四象限或第一、三象限4.確定一次函數(shù)的解析式考試內(nèi)容考試要求常用方法待定系數(shù)法b常見類型已知兩點(diǎn)坐標(biāo)確定解析式；已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定解析式；通過平移規(guī)律確定函數(shù)解析式5.一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系考試內(nèi)容考試要求一次函數(shù)與一次方程一元一次方程kxb0的根就是一次函數(shù)ykxb(k、b是常數(shù)，k0)的圖象與 軸交點(diǎn)的 坐標(biāo)c一次函數(shù)與一元一次不等式一元一次不等式kxb0(或kxb0)(k0)的解集可以看作一次函數(shù)ykxb取 值(或 值)時(shí)自變量x的取值范圍一次函數(shù)與方程組兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)k1xb1和yk2xb2所組成的關(guān)于x、y的方程組 的解b6.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求建模思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模要做到這種轉(zhuǎn)化，首先要分清哪個(gè)量是自變量，哪個(gè)量是函數(shù)；其次建立函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，要注意自變量的取值范圍.c實(shí)際問題中一次函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際問題中，可以根據(jù)自變量的取值求函數(shù)，或者由函數(shù)求自變量的值由于自變量的取值范圍一般受到限制，所以可以根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在某個(gè)范圍的最值考試內(nèi)容考試要求基本方法1.待定系數(shù)法，是求一次函數(shù)解析式的常用方法，一般是先設(shè)待求的函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù))，再根據(jù)條件列出方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求函數(shù)解析式的方法2利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題時(shí)，要注意仔細(xì)分析圖象中各點(diǎn)的含義，尤其是圖象與圖象或坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想從圖象中獲取有用的信息c1(2017·溫州)已知點(diǎn)(1，y1)，(4，y2)在一次函數(shù)y3x2的圖象上，則y1，y2，0的大小關(guān)系是()A0y1y2 By10y2 Cy1y20 Dy20y12 (2017·紹興)某市規(guī)定了每月用水18立方米以內(nèi)(含18立方米)和用水18立方米以上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該市的用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y(元)是用水量x(立方米)的函數(shù)，其圖象如圖所示(1)若某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？(2)求當(dāng)x18時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，若小敏家某月交水費(fèi)81元，則這個(gè)月用水量為多少立方米？【問題】如圖，直線AB分別交x，y軸于點(diǎn)A，B.(1)若點(diǎn)A(1，0)，寫出一條直線AB的解析式；(2)若點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)，請你盡可能多的寫出關(guān)于直線AB的信息【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理一次函數(shù)概念以及圖象與性質(zhì)類型一一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一次函數(shù)y2x6.(1)圖象經(jīng)過第_象限；(2)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(3)當(dāng)1x1時(shí)，y的取值范圍是_；(4)當(dāng)點(diǎn)A(5，y1)和B(2，y2)都在圖象上，則y1與y2的關(guān)系是_；(5)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是_【解后感悟】一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵如圖，已知直線l1：y2x4與x，y軸分別交于點(diǎn)N，C，與直線l2：ykxb(k0)交于點(diǎn)M，直線l2與x軸的交點(diǎn)為A(2，0)，(1)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，則AMN的面積是_；(2)若點(diǎn)M在第一象限，則k的取值范圍是_【解后感悟】兩條直線的相交問題，利用數(shù)形結(jié)合和圖象的運(yùn)動來解決1(1)(2017·海南模擬)一次函數(shù)ymxn與ymnx(mn0)，在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象是()(2)(2017·南京模擬)關(guān)于直線l：ykxk(k0)，下列說法正確的是_點(diǎn)(0，k)在直線l上；直線l經(jīng)過定點(diǎn)(1，0)；當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大；直線l經(jīng)過第一、二、三象限；直線l經(jīng)過第一、二、三象限，則k0.類型二一次函數(shù)的解析式(1) 如圖，一直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB上任意一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，過P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長為10，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是_(2)一次函數(shù)y2xb與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4，則b_(3)已知一次函數(shù)圖象交x軸于點(diǎn)(2，0)，與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，則該一次函數(shù)解析式為_(4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象過點(diǎn)P(1，1)，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且tanABO3，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是_【解后感悟】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是本題的關(guān)鍵；注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想運(yùn)用已知直線l：y2x1(1)將直線l向上平移5個(gè)單位長度后再向左平移3個(gè)單位后所得的直線解析式為_；(2)將直線l與直線m關(guān)于x軸對稱，則直線m的解析式為_；(3)將直線l繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線n，則直線n的解析式為_【解后感悟】(1)求直線平移后的解析式時(shí)要注意平移時(shí)k的值不變，只有b發(fā)生變化；(2)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的特點(diǎn)求解；(3)根據(jù)點(diǎn)(a，b)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(b，a)，得到它們繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°以后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解2(1)(2017·溫州模擬)根據(jù)下表中一次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可得p的值為_.x201y3p0(2)(2017·南京市江寧區(qū)模擬)把一次函數(shù)ykx1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位后所得直線正好經(jīng)過點(diǎn)(5，3)，則該一次函數(shù)表達(dá)式為_(3)(2017·紹興模擬)把直線yx3向上平移m個(gè)單位后，與直線y2x4的交點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是_(4)(2017·蘇州模擬)如圖，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線l：yxb也隨之移動，設(shè)移動時(shí)間為t秒當(dāng)t3時(shí)，求l的解析式；若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上類型三一次函數(shù)與一次方程(組)及一元一次不等式(組)(1)已知一次函數(shù)yaxb中，x和y的部分對應(yīng)值如表：x2101.523y642124那么方程axb0的解是_；不等式axb2的解集是_(2)如圖，直線yxb與直線ykx6交于點(diǎn)P(3，5)，則關(guān)于x的不等式xbkx6的解集是_【解后感悟】(1)此題主要理解一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系，關(guān)鍵是正確求出一次函數(shù)關(guān)系式；(2)從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)yxb的值大于ykx6的值的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線yxb在直線ykx6上方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合解決此類問題一般方法為畫出圖象，仔細(xì)觀察圖象，根據(jù)圖象寫出方程(組)解、不等式解集注意不等式解集交點(diǎn)(公共點(diǎn))處函數(shù)值相等，所以解集要么在交點(diǎn)左側(cè)要么在交點(diǎn)右側(cè)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 3(1)(2017·菏澤)如圖，函數(shù)y12x與y2ax3的圖象相交于點(diǎn)A(m，2)，則關(guān)于x的不等式2xax3的解集是()Ax2 Bx2 Cx1 Dx1(2)(2017·濰坊模擬)如圖，已知函數(shù)yaxb與函數(shù)ykx3的圖象交于點(diǎn)P(4，6)，則不等式axbkx30的解集是_第(2)題圖(3) (2017·濰坊模擬)如圖，直線ykxb經(jīng)過A(2，1)，B(1，2)兩點(diǎn)，則不等式x>kxb>2的解集為_第(3)題圖(4)(2015·武漢)已知一次函數(shù)ykx3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，4)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式，并求關(guān)于x的不等式kx36的解集類型四一次函數(shù)的應(yīng)用(2016·南京)如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y(單位：L/km)與速度x(單位：km/h)之間的函數(shù)關(guān)系(30x120)，已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.(1)當(dāng)速度為50km/h、100km/h時(shí)，該汽車的耗油量分別為L/km、L/km.(2)求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式(3)速度是多少時(shí)，該汽車的耗油量最低？最低是多少？【解后感悟】正確求出兩線段的解析式是解好本題的關(guān)鍵，因?yàn)橄禂?shù)為小數(shù)，計(jì)算要格外細(xì)心，容易出錯(cuò)；另外，此題中求最值的方法：兩圖象的交點(diǎn)，方程組的解；同時(shí)還有機(jī)地把函數(shù)和方程結(jié)合起來，是數(shù)學(xué)解題方法之一，應(yīng)該熟練掌握4(2017·寧波模擬)某種汽車油箱加滿油并開始行駛，油箱中的剩余油量y(升)與行駛的里程x(km)之間的關(guān)系為一次函數(shù)，如圖：(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)加滿一箱油汽車可行駛多少千米？【閱讀理解題】在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形例如，圖中的一次函數(shù)的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形(1)求函數(shù)yx3的坐標(biāo)三角形的三條邊長；(2)若函數(shù)yxb(b為常數(shù))的坐標(biāo)三角形周長為16，求此三角形面積【方法與對策】解本題的關(guān)鍵是理解坐標(biāo)三角形，利用一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)進(jìn)行求解；由于b的不確定性，導(dǎo)致圖象的位置不同，解題就需要分類討論：b0和b0兩種情況該題型是中考命題趨勢【不能明確x、y取值范圍的幾何意義】一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象如圖所示，當(dāng)y3時(shí)，x的取值范圍是()Ax0 Bx0 Cx2 Dx2參考答案第13講一次函數(shù)及其圖象【考點(diǎn)概要】1ykxbb0ykx2.b直線0k 直線上b下|b|3.一、二、三一、三、四增大一、二、四二、三、四減小5.x橫正負(fù) 【考題體驗(yàn)】1B2.(1)由縱坐標(biāo)看出，某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費(fèi)45元；(2)由81元45元，得用水量超過18立方米，設(shè)函數(shù)解析式為ykxb(x18)，直線經(jīng)過點(diǎn)(18，45)，(28，75)，解得函數(shù)的解析式為y3x9(x18)，當(dāng)y81時(shí)，3x981，解得x30，答：這個(gè)月用水量為30立方米【知識引擎】【解析】(1)不唯一如yx1；(2)解析式為yx1；y隨x的增大而增大；圖象經(jīng)過一、二、三象限等【例題精析】例1(1)一、二、三(2)(3，0)，(0，6)(3)4y8 (4)y1y2(5)9例2(1)4；(2)0k2例3(1)y5x；(2)±4；(3)yx5或yx5；(4)在RtAOB中，由tanABO3，可得OA3OB，則一次函數(shù)ykxb中k±.一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象過點(diǎn)P(1，1)，當(dāng)k時(shí)，求可得b；k時(shí)，求可得b.即一次函數(shù)的解析式為yx或yx.令y0，則x2或4，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，0)或(4，0)故答案為：(2，0)或(4，0)例4(1)y2x10；(2)y2x1；(3)yx.例5(1)由一次函數(shù)yaxb，x0時(shí)，y2，x2時(shí)，y2，解得一次函數(shù)解析式為y2x2，方程axb0變?yōu)?x20，解得：x1.同理不等式axb2的解集是x0.故答案為：x1；x0.(2)當(dāng)x3時(shí)，xbkx6，即不等式xbkx6的解集為x3.故答案為：x3.例6(1)設(shè)AB的解析式為：ykxb，把(30，0.15)和(60，0.12)代入ykxb中得：解得ABy0.001x0.18，當(dāng)x50時(shí)，y0.001×500.180.13，由線段BC上一點(diǎn)坐標(biāo)(90，0.12)得：0.12(10090)×0.0020.14，故答案為：0.13，0.14；(2)由(1)得：線段AB的解析式為：y0.001x0.18；(3)設(shè)BC的解析式為：ykxb，把(90，0.12)和(100，0.14)代入ykxb中得：解得BC：y0.002x0.06，根據(jù)題意得解得答：速度是80km/h時(shí)，該汽車的耗油量最低，最低是0.1L/km.【變式拓展】1 (1)C(2)2.(1)1(2)y0.5x1(3)m1(4)直線yxb交y軸于點(diǎn)P(0，b)，由題意，得b>0，t0，b1t，當(dāng)t3時(shí)，b4，yx4.當(dāng)直線yxb過M(3，2)時(shí)，23b，解得b5，51t，t4，當(dāng)直線yxb過N(4，4)時(shí)，44b，解得b8，81t，t7，4<t<7.t1時(shí)，落在y軸上；t2時(shí)，落在x軸上3(1)D(2)4x4(3)1<x<2(4)yx3；x3.4.(1)設(shè)油箱中的剩余油量y(升)與汽車行駛里程x(km)的解析式為ykxb，由于圖象經(jīng)過(50，56)(80，52)，解之得y與x之間的函數(shù)關(guān)系是yx；(2)由題意，x0，解得x470，即加滿一箱油汽車可行駛470km.【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)直線yx3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，函數(shù)yx3的坐標(biāo)三角形的三條邊長分別為3，4，5.(2)直線yxb與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(b，0)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)，當(dāng)b>0時(shí)，bbb16，得b4，此時(shí)，坐標(biāo)三角形面積為；當(dāng)b<0時(shí)，bbb16，得b4，此時(shí)，坐標(biāo)三角形面積為.綜上，當(dāng)函數(shù)yxb的坐標(biāo)三角形周長為16時(shí)，面積為.【錯(cuò)誤警示】因?yàn)橹本€ykxb與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，由函數(shù)的圖象可知當(dāng)y3時(shí)，x的取值范圍是x0.故選A.13