第2節(jié)矩形、菱形、正方形(建議答題時間：60分鐘)基礎(chǔ)過關(guān)1. (2017益陽)下列性質(zhì)中，菱形不一定具有的性質(zhì)是()A. 對角線互相平分 B. 對角線互相垂直C. 對角線相等 D. 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形2. (2017廣安)下列說法：四邊相等的四邊形一定是菱形；順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形；對角線相等的四邊形一定是矩形；經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，其中正確的有()個A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. (2017上海)已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是()A. BACDCA B. BACDACC. BACABD D. BACADB4(2017重慶八中一模)在菱形ABCD中，對角線AC8，BD6，則菱形的高為()A. B. 5 C. D. 5. (2017重慶南岸區(qū)期末模擬)矩形的兩條對角線的一個夾角為60°，對角線長為10，則這個矩形的面積為()A. 25 B. 25 C. 50 D. 1006. (2017蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，ADB30°，AB4，則OC()A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 第6題圖 第7題圖7(2017海南)如圖，在菱形ABCD中，AC8，BD6，則ABC的周長()A. 14 B. 16 C. 18 D. 208. (2017山西)如圖，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到BCD，CD與AB交于點E.若135°，則2的度數(shù)為()A. 20° B. 30° C. 35° D. 55° 第8題圖 第9題圖9. (2017淮安)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB3，點E在邊BC上，將ABE沿直線AE折疊，點B恰好落在對角線AC上的點F處，若EACECA，則AC的長是()A. 3 B. 6 C. 4 D. 510.(2017河北)求證：菱形的兩條對角線互相垂直已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O.求證：ACBD. 以下是排亂的證明過程：又BODO，AOBD，即ACBD. 四邊形ABCD是菱形，ABAD. 證明步驟正確的順序是()A. B. C. D. 第10題圖11. (2017陜西)如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC3.若點E是邊CD的中點，連接AE，過點B作BFAE交AE于點F，則BF的長為()A. B. C. D. 第11題圖 第12題圖12. (2017攀枝花)如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G，過點G作GHCE于點H，若SEGH3，則SADF()A. 6 B. 4 C. 3 D. 213(2017蘭州)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件下面給出了四組條件：ABAD，且ABAD；ABBD，且ABBD；OBOC，且OBOC；ABAD，且ACBD.其中正確的序號是：_(寫出所有正確的序號)14. (2017六盤水)如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，則AEB_度 第14題圖 第15題圖 第16題圖15. (2017徐州)如圖，矩形ABCD中，AB4，AD3，點Q在對角線AC上，且AQAD，連接DQ并延長，與邊BC交于點P，則線段AP_16. (2017重慶巴蜀一模)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且EAFCEF45°.若AD9，CD8，則EF的長為_17. (2017陜西)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AD和CD上的點，且AECF，連接AF、CE交于點G.求證：AGCG.第17題圖18. (2017邵陽)如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，OBCOCB. (1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形第18題圖 19. (2017張家界)如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E，交CB的延長線于點F，連接AF，BE.(1)求證：AGEBGF；(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由第19題圖20. (2018原創(chuàng))在ABC中，點D在BC邊上，點E是線段AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF，若AFDC.(1)求證：BDCD；(2)當(dāng)四邊形ADCF為正方形時，線段AB與BC有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由第20題圖21. (2017鹽城)如圖，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F.(1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形；(2)當(dāng)ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由第21題圖22. (2018原創(chuàng))如圖，在菱形ABCD中，延長BD到E使得BDDE，連接AE，延長CD交AE于點F.(1)求證：AD2DF；(2)如果FD2，C60°，求菱形ABCD的面積第22題圖23. (2017北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，ADBC，AD2BC，ABD90°，E為AD的中點，連接BE.(1)求證：四邊形BCDE為菱形；(2)連接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的長第23題圖滿分沖關(guān)1(2017廣東)如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：SABFSADF；SCDF4SCEF；SADF2SCEF；SADF2SCDF，其中正確的是()A. B. C. D. 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2. 如圖，在菱形ABCD中，AB5，AC8，點P是AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將AEF沿EF折疊，使點A落在點A處，當(dāng)ACD是直角三角形時，AP的長為_3. (2017重慶八中二模)如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且DEAF于點G，H為線段DG上一點，連接AH，BH，BH交AF于點I，若GAH45°，GI1，正方形ABCD邊長為4，則AHD面積為_ 第4題圖 第5題圖4(2017濰坊)如圖，將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使點B落在AD上，記為B，折痕為CE，再將CD邊斜向下對折，使點D落在BC上，記為D，折痕為CG，BD2，BEBC. 則矩形紙片ABCD的面積為_5(2017重慶西大附中月考)如圖，正方形ABCD中，AB6，點E為邊BC的中點，連接AE，將ABE沿AE翻折，點B落在點F處，點O為對角線BD的中點，連接OF交CD于點G，連接BF、BG，則BFG的面積是_6. (2017杭州)如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上(不與點B，D重合)，GEDC于點E，GFBC于點F，連接AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的等量關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長為1，AGF105°，求線段BG的長第6題圖7(2017重慶沙坪壩區(qū)校級一模)如圖，在菱形ABCD中，BAD60°，M為對角線BD延長線上一點，連接AM和CM，E為CM上一點，且滿足CBCE，連接BE，交CD于點F.(1)若AMB30°，且DM3，求BE的長；(2)證明：AMCFDM.第7題圖答案基礎(chǔ)過關(guān)1. C【解析】菱形所具有的性質(zhì)包括：對角線互相平分，對角線互相垂直，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，而對角線相等是矩形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有2. C【解析】根據(jù)菱形的判定定理，四邊相等的四邊形一定是菱形，故正確；由于矩形的對角線相等，根據(jù)三角形的中位線定理，可得順次連接矩形各邊中點所得四邊形的四邊都相等，由此可判定所得四邊形是菱形，故錯誤；對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項錯誤；平行四邊形是中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，經(jīng)過對稱中心的任意一條直線都把它分成兩個全等圖形，面積必然相等，所以經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，故正確；綜上所述正確的說法有2個3. C【解析】要使平行四邊形變成矩形，可證兩對角線相等四個選項中只有BACABD符合4. C【解析】本題考查了菱形的有關(guān)性質(zhì)和菱形的面積計算，因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD，AOAC，BOBD，AB2AO2BO2，AC8，BD6，AB5，由公式S菱形ABCDAC·BDAB·DE，得×8×65·DE，DE，第4題解圖5. B【解析】如解圖，四邊形ABCD為矩形，ABC90°，AOBOCODO，BOC60°，ACBBOC60°，AC10，BCAC5，AB5，S矩形ABCDAB·CB5×525.第5題解圖6. B【解析】矩形ABCD中，AB4，ADB30°，BAD90°，BD8，矩形對角線相等且互相平分，OCACBD4.7. C【解析】在菱形ABCD中，AC8，BD6，ABBC，AOB90°，AO4，BO3，BCAB5，ABC的周長ABBCAC55818.8. A【解析】四邊形ABCD是矩形，C90°，CDAB，DBA135°，CBD55°，由折疊性質(zhì)可知CBDCBD55°，2CBDDBA20°.9. B【解析】由折疊可知，BAEEAC，EACECA，BAC2BCA，四邊形ABCD是矩形，B90°，3ACB90°，ACB30°，AB3AC2AB6.【一題多解】由折疊性質(zhì)得AFAB3，AFEABE90°，EACECA，EFEF，AFECFE90°，EFAEFC，F(xiàn)CAF3，AC6.10. B【解析】要證明ACBD，所以是第四步；由ABAD可知ABD是等腰三角形，又由BODO結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到結(jié)論，故是第二步，是第三步；而ABAD是根據(jù)四邊形ABCD是菱形得到的，故是第一步，所以證明步驟正確的順序是.11. B【解析】在矩形ABCD中，CDAB2，ADBC3，BADD90°，點E是邊CD的中點，DECD1，在RtADE中，AE，BFAE，AFB90°，F(xiàn)ABABF 90°，F(xiàn)AB EAD 90°，ABFEAD，ABFEAD，則，解得BF .12. A【解析】如解圖，由題易知，EAF60°，EFAFAE，ABEADF，BEDF，BAEDAF，CECF，AC垂直平分EF，CGEF，即EGH是等腰直角三角形，GHBC，EHEC，SEGHSEGCSECF，即SECF4SEGH，將ADF旋轉(zhuǎn)至ABF，作FKAE于點K，易知FAE30°，F(xiàn)KFAEF，SADFSAEFAE·FKEF2，又SECFEF·GCEF2，SADFSECF，SADF2SEGH2×36. 第12題解圖13. 【解析】四邊形ABCD是平行四邊形，ABAD，平行四邊形ABCD是矩形，又ABAD，矩形ABCD是正方形，故正確；ABBD，ABD90°，正方形對角線將一組內(nèi)角平分為兩個45°的角，四邊形ABCD不是正方形，故不正確；四邊形ABCD是平行四邊形，AOCO，BODO，又OBOC，AOCOBODO，四邊形ABCD是矩形，又OBOC，即對角線互相垂直，矩形ABCD是正方形，故正確；四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，若ABAD，則ABCDADBC，四邊形ABCD為菱形，又ACBD，菱形ABCD是正方形，故正確綜上所述，其中正確的序號是.14. 75【解析】四邊形ABCD是正方形，ABAD，BDBAD90°，在RtABE和RtADF中，ABEADF，BAEDAF(90°60°)÷215°，AEB75°.15. 【解析】AC5，AQAD3，CQ2.又ADAQ，ADQAQD.CQPAQD，ADQCQP.ADBC，ADQCPQ，CQPCPQ，CPCQ2，BP321，AP.16. 5【解析】如解圖，將ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到AEB，EAFCEF45°，BAD90°，EAF45°，AEFAEF(SAS)，EFEF，過點E作EGCF，交CF的延長線于G，則EGBD981，設(shè)CEx，則CFx，DGEBBE9x，DF8x，GF9x8x172x，又EF2CE2CF2，EF2EG2GF2CE2CF2EG2GF2，即2x2(172x)21，整理得x234x1450，解得x129(舍)，x25，CECF5，EF2525250，EF5.第16題解圖17. 證明：四邊形ABCD是正方形，ADFCDE90°，ADCD.AECF，DEDF，ADFCDE(SAS)，DAFDCE，又AGECGF，AECF，AGECGF(AAS)，AGCG.18. (1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAOOCB，ADOOBC，又OBCOCB，DAOADO，OBOC，OAOD.OBODOAOC，即ACBD，平行四邊形ABCD是矩形(2)解：使矩形ABCD為正方形的條件為：ABBC.(答案不唯一)19. (1)證明：在平行四邊形ABCD中，ADCF，則AEGBFG，AB的垂直平分線交AD于點E，AGBG，又AGEBGF，AGEBGF(AAS)；(2)解：四邊形AFBE為菱形理由如下：由(1)得AEBF，AEBF, 則四邊形AFBE為平行四邊形，EF垂直平分AB，AEBE，四邊形AFBE為菱形20. (1)證明：E是AD的中點，AEDE.AFBC，F(xiàn)AEBDE，AFEDBE.在AFE和DBE中，AFEDBE(AAS)AFBD.AFDC，BDDC.(2)解：ABBC，理由如下：四邊形ADCF為正方形，ADDC且ADDC，由(1)知BDCD，ADBD，ABBD，BDBC，ABBC.21. (1)證明：四邊形ABCD是矩形ABDC，ADBC，ABDCDB，BE平分ABD，DF平分CDB，EBDABD，F(xiàn)DBCDB，EBDFDB，DFEB，又ADBC，四邊形BEDF是平行四邊形；(2)解：當(dāng)ABE30° 時，四邊形BEDF是菱形，理由如下：BE平分ABD，ABD2ABE60°，EBDABE30°，四邊形ABCD是矩形，A90°，EDBEBD30°，EBED，又四邊形BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是菱形22. (1)證明：四邊形ABCD是菱形，ADAB，CDAB，BDDE，EFFA，DF是EAB的中位線，AB2DF，AD2DF；(2)解：如解圖，過點D作DMAB，F(xiàn)D2，AB4，C60°，DAB60°，DAB為等邊三角形，ADM30°，AM2，DM，可得DM2，S菱形ABCDAB·DM4×28.第22題解圖23. (1)證明： 在RtABD中，ABD90°，點E為AD的中點，AEDEBEAD，又AD2BC，DEBC，又ADBC，四邊形BCDE為平行四邊形，又BEDE, 四邊形BCDE為菱形； (2)解：如解圖，連接AC.第23題解圖AC平分BAD，12，又ADBC，13，23，ABBC，又AEBEBC，ABAEBE，ABE為等邊三角形，BAE60°，在RtABD中，ADB90°BAE30°，12ADB30°，在菱形BCDE中，ADC2ADB60°，ACD180°1ADC 90°，又BC1，在菱形BCDE中， CDBC1，在RtACD中，AC CD·tanADC.滿分沖關(guān)1. C【解析】序號逐個分析正誤如解圖，過點F分別作FMAB，F(xiàn)PAD，延長MF、PF，分別交CD、BC于點N、Q，四邊形ABCD是正方形，ABBCCDAD，AC分別平分BAD、BCD，F(xiàn)MFP，F(xiàn)NFQ.SABFAB·FM，SADFAD·FP，SABFSADF第1題解圖SCDFCD·FN，SCEFCE·FQ×BC·FQ×CD·FNSCDF，SCDF2SCEF4SCEF×ADBC，SADFSCEF, SADFSCEF(ADCE)241，SADF4SCEF2SCEF×SCDF2SCEF，SADF4SCEF, SADF2SCDF綜上所述，結(jié)論正確，故選C.2. 2或【解析】如解圖，連接BD交AC于O；四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD5，DACBAC，ACBD，OAOC4，OBOD，OBOD3，EFAA，EPAFPA90°，EAPAEP90°，F(xiàn)APAFP90°，AEPAFP，AEAF，AEF是由AEF翻折，AEEA，AFFA，AEEAAFFA，四邊形AEAF是菱形，APPA，分兩種情況：當(dāng)DAC90°時，A與O重合，此時AA4，AP2；當(dāng)ADC90°時，設(shè)APPAx，則OA42x，ACBD，AODDOC90°，由角的互余關(guān)系得：ADODCO，AODDOC，即，解得x，即AP.第2題解圖3. 1【解析】如解圖，延長DE到M，使GMGH，連接AM，BM，DEAF，GAH45°，AHG45°，AMAH，AMH45°，MAH90°，MABHAD，可證MABHAD(SAS)，則HDBM，AMBAHD135°，DMB90°，GIMB，DHMB2GI2，設(shè)AGx，則DG2x，AG2DG2AD2，x242，解得x11(舍)，x21，SADHDH·AG×2×1.第3題解圖4. 15【解析】設(shè)CDx，則CDx，BCx2，則BE，AEABBE，在RtBAE和RtBDC中，由勾股定理得AB，BD，又ABBDBCx2，即x2，化簡得x2x0，解得x3或x0(舍)，則CD3，BC5，故面積為15.5. 2.4【解析】如解圖，延長GO交AB于點H，過點F作PQBC于點Q，交AD于點P，交BD于點M，易證APFFQE，2，設(shè)PFx，則EQx，F(xiàn)Q6x，又EQ2QF2EF2，即()2(6x)232，解得x6(舍) 或x3.6，PF3.6, FQ2.4, EQ1.8, BQ4.8, PDCQ1.2，DM，OMODDM3，又FMPFPM3.61.22.4，且，DG4，HG過點O易得BHDG4，又，即SBFG2.4.第5題解圖6. 解：(1)AG2GE2GF2；理由如下：如解圖，連接CG，四邊形ABCD是正方形，ADGCDG45°，ADCD，DGDG，ADGCDG，AGCG，又GEDC，GFBC，ECF90°，四邊形CEGF是矩形，CFGE，在RtGFC中，由勾股定理得，CG2GF2CF2，AG2GE2GF2；(2)過點A作AMBD于點M，GFBC，ABGGBC45°，BAMBGF45°，ABM，BGF都是等腰直角三角形，AB1，AMBM，AGF105°，AGM60°，tan 60°，GM ，BGBMGM.第6題解圖7. (1)解：四邊形ABCD是菱形，BAD60°，ABD，BCD是等邊三角形，ABDCBDADBBAD60°，BABC，AMB30°，ADBAMBDAM，DAMDMA30°，BAM90°，DADMABBCCE3，在BMA和BMC中，BMABMC(SAS)，BCMBAM90°，在RtBCE中，BE3；(2)證明：如解圖，在BD上取一點G，使得BGDF，連接CG交BE于O，第7題解圖BGDF，CBGBDF，BDBC，GBCFDB，BGCBFD，DBFBCG，MGCBFC，COFCBOOCBCBODBF60°，在COE中，ECOEOCCEO180°，在BCF中，BFCCBFBCF180°，CBCE，CBECEO，BCFCOE60°，ECOBFCMGC，MCMG.由(1)可知BMABMC，AMMCMG，MGDGDM，BDCD，BGDF，DGCF，AMCFDM.20