第五單元四邊形第24課時(shí)矩形、菱形、正方形 (建議答題時(shí)間：60分鐘)基礎(chǔ)過關(guān)1. (2017益陽)下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是()A. 對(duì)角線互相平分B. 對(duì)角線互相垂直C. 對(duì)角線相等D. 既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形2. (2017海南)如圖，在菱形ABCD中，AC8，BD6，則ABC的周長為()A. 14 B. 16 C. 18 D. 20第2題圖3. (2017臨沂)在ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B、C兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)D作DEAC，DFAB，分別交AB，AC于E、F兩點(diǎn)，下列說法正確的是()A若ADBC，則四邊形AEDF是矩形B若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形C若BDCD，則四邊形AEDF是菱形D若AD平分BAC，則四邊形AEDF是菱形4. (2017河南)我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O.固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為()第4題圖A. (，1) B. (2，1) C. (1，) D. (2，)5. (2017黔東南州)如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)EAB，AF2AE，F(xiàn)C交BD于O，則DOC的度數(shù)為()A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°第5題圖6. (2017瀘州)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AEBD，垂足為F，則tanBDE的值為()第6題圖A. B. C. D. 第7題圖7. (2016棗莊)如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.若AB的長為2，則FM的長為()A. 2 B. C. D. 18. (2017呼和浩特)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E，F(xiàn)為BD所在直線上的兩點(diǎn)若AE，EAF135°，則以下結(jié)論正確的是()A. DE1 B. tanAFOC. AF D. 四邊形AFCE的面積為第8題圖9. (2017深圳)如圖，正方形ABCD的邊長是3，BPCQ，連接AQ、DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD，BC交于點(diǎn)F、E，連接AE.下列結(jié)論：AQDP；OA2OE·OP；SAODS四邊形OECF；當(dāng)BP1時(shí)，tanOAE.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()第9題圖A. 1 B. 2 C. 3 D. 410. (2017烏魯木齊)如圖，在菱形ABCD中，DAB60°，AB2，則菱形ABCD的面積為_第10題圖11. (2017安順)如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為_第11題圖12. (2017廣東)如圖所示，已知四邊形ABCD、ADEF都是菱形，BADFAD，BAD為銳角(1)求證：ADBF；(2)若BFBC，求ADC的度數(shù)第12題圖13. (2017邵陽)如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OBCOCB.(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使矩形ABCD為正方形第13題圖14. (2017上海)已知：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADCD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EAEC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BEBC，且CBEBCE23，求證：四邊形ABCD是正方形第14題圖,滿分沖關(guān))1. (2017河北)求證：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.求證：ACBD.以下是排亂的證明過程：又BODO，AOBD，即ACBD，四邊形ABCD是菱形，ABAD.證明步驟正確的順序是()A. B. C. D. 第1題圖第2題圖2. (2017蘭州)如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點(diǎn)G在CD上，DE2，將正方形DEFG繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到正方形DEFG，此時(shí)點(diǎn)G在AC上，連接CE，則CECG()A. B. 1 C. D. 3. 如圖，在菱形ABCD中，ABC120°，AB10 cm，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，A(P，A兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為_cm.第3題圖第4題圖4. (2017棗莊)在矩形ABCD中，B的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，BED的平分線EF與DC交于點(diǎn)F，若AB9，DF2FC，則BC_(結(jié)果保留根號(hào))5. (2017揚(yáng)州)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG、PF相交于點(diǎn)O.(1)若AP1，則AE_；(2)求證：點(diǎn)O一定在APE的外接圓上；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長；(3)在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，APE的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到AB邊的距離的最大值6. (2017河北)平面內(nèi)，如圖，在ABCD中，AB10，AD15，tanA.點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.(1)當(dāng)DPQ10°時(shí)，求APB的大?。?2)當(dāng)tanABPtanA32時(shí)，求點(diǎn)Q與點(diǎn)B間的距離(結(jié)果保留根號(hào))；(3)若點(diǎn)Q恰好落在ABCD的邊所在的直線上，直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積(結(jié)果保留),沖刺名校)第1題圖1. 如圖，在菱形ABCD中，AB5，AC8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作EFAC分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，將AEF沿EF折疊，點(diǎn)A落在A處，當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，AP的長為_答案基礎(chǔ)過關(guān)1C【解析】菱形所具有的性質(zhì)包括：對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，而對(duì)角線相等是矩形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有2. C【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則ACBD，又AC8，BD6，在RtOAB中，OA4，OB3，則AB5，所以ABC的周長為ABBCAC55818.3D【解析】由DEAC，DFAB可得四邊形AEDF是平行四邊形，若AD平分BAC可得BADCAD，再由ABDF，所以BADADF，則CADADF，可得AFDF，最后由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得D正確4D【解析】 ADDA2，AOAB1，OD，CD2，CDAB，C(2，)5A【解析】如解圖，連接BF，EFAB，AF2AE，cosFAE，F(xiàn)AE60°，E為AB的中點(diǎn)，EFAB，EF是線段AB的垂直平分線，AFBF，ABF是等邊三角形，ABF60°，BFAB，四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABC90°，F(xiàn)BCABFABC150°，BFBC，BCFBFC×(180°150°)15°，BD是正方形ABCD的角平分線，DBC45°，DOCDBCBCF45°15°60°.第5題解圖6A【解析】在矩形ABCD，中ADBC，BECE，BEADBFFDEFAF12，設(shè)EFx，則AF2x，BEFAEB，BEAEEFBE，BE2EF·AE3x2，BEx，AB2AE2BE26x2，ABx，AB·BEAE·BF，BFx.在RtBDC中，BD3x，DF2x，在RtDFE中，tanBDE.7B【解析】四邊形ABCD為正方形，AB2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，F(xiàn)BAB2，BM1，則在RtBMF中，F(xiàn)M.8. C【解析】選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤A正方形的邊長為1，OAOD，AE，OE，DE BEAF135°，BAD90°，F(xiàn)ABEAD45°，F(xiàn)ABBFAABD45°，BFAEAD，同理AEDFAB，EDAABF.，AF，BF，OFOBBF，tanAFOC由選項(xiàng)B得AFDS四邊形AFCE×AC×EF××229.C【解析】序號(hào)逐個(gè)分析正誤四邊形ABCD是正方形，ADABBC，DABABC90°，又BPCQ，APBQ，ADPBAQ(SAS)，QABADP，又QABQAD90°，ADPQAD90°，AOD90°，即AQDP在RtADP中，AODP，AODPOA，OA2OD·OP，由ADBC知AODQOE，1，ODOE，OA2OE·OP由知QP，QCDPBC90°，CQBP，CFQBEP(ASA)，CFBE，CDBC，CDCFBCBE，即DFCE，SADFSDCE，SADFSDOFSDCESDOF，即SAODS四邊形OECF在RtADP中，AD3，APABBP4，DP5，OADP，OA，OP，BEAD，BPEAPD，即，EP，OEOPEP，在RtAOE中，tanOAE.10.2【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，在菱形ABCD中，DAB60°，AB2，ADAB2，在RtAED中，DEAD·sinDAEAD·sin60°2×，菱形ABCD的面積為AB·DE2×2.第10題解圖11. 6【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以PDBP，所以PDPEBPPE.要使PDPE最短，應(yīng)使P、B、E三點(diǎn)共線，此時(shí)PDPEBPPEBE6.12(1)證明：四邊形ABCD、四邊形ADEF都是菱形，ABADAF，ABF是等腰三角形，又BADFAD，ADBF(三線合一)；(2)解：由(1)知ABADAF，又ABBC，BFBC，ABAFBF，ABF是等邊三角形，BAF60°，又BADFAD，BAD30°，又四邊形ABCD是菱形，ADCBAD180°，ADC180°BAD 150°.13(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAOOCB，ADOOBC，又OBCOCB，DAOADO，OBOC，OAOD.OBODOAOC，即ACBD，平行四邊形ABCD是矩形；(2)解：使矩形ABCD為正方形的條件可為：ABBC.(答案不唯一)14證明：(1)由題意知：ADDC，AECE，DEDEDEADEC(SSS)，CDEADE，ADBC，CBDADBCDB，BCDCAD，四邊形ABCD為平行四邊形；又ADCD，四邊形ABCD是菱形(2)CBEBCE23，可設(shè)CBE2x，BCE3x，由BEBC可得BECBCE3x，BEC中2x3x3x180°，解得x22.5°，CBEBDC2x45°，BCD90°，由(1)得四邊形ABCD是菱形，四邊形ABCD為正方形滿分沖關(guān)1. B【解析】要證明ACBD，所以是第四步；由ABAD可知ABD是等腰三角形，又由BODO結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到結(jié)論，故是第二步，是第三步；而ABAD是根據(jù)四邊形ABCD是菱形得到的，故是第一步，所以證明步驟正確的順序是.2A【解析】如解圖，過G作GHAD于點(diǎn)H，四邊形ABCD和四邊形DEFG均為正方形，ADDC，DGDE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DGDG，EDGEDG90°，旋轉(zhuǎn)角EDE60°，ADGCDE30°，ADGCDE(SAS)，CEAG，又AGCGAC，CECGAC，DGDG2，DHDG·cos30°，HGDG·sin30°1，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，DAC45°，AHHG1，CEAG，ADAHDH1，ACAD，CECGAC；第2題解圖【一題多解】如解圖，過點(diǎn)G作GMCD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作ENCD于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CDG60°，四邊形ABCD和四邊形DEFG均為正方形，且DE2，DGDE2，GDE30°，GMDG·sinCDG，DMDG·cosCDG1，DNDE·cosCDE，ENDE·sinCDE1，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，ACD45°，GMCM，CG，CDDMCMCNDN1，CN1，CE，CECG.第2題解圖31010【解析】PBC是等腰三角形，有以下三種情況：(1)當(dāng)以點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，如解圖所示，此時(shí)最短距離是10；(2)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖易知，P，A兩點(diǎn)間最短距離是與點(diǎn)A重合，又點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，故舍去；(3)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是在以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖易知線段AF的長即為最短距離，在RtABE中，AB10，ABE180°120°60°，AEAB×sin60°5；在RtAEC中，AE5，ACE30°，AC2AE10，AFACCF1010，即P，A兩點(diǎn)間的最短距離為(1010) cm.第3題解圖4. 63【解析】如解圖，延長EF和BC延長線交于點(diǎn)G，在矩形ABCD中，B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，ABEAEB45°，ABAE9，在RtABE中，BE9，又BED的平分線EF與DC交于點(diǎn)F，BEGDEF，ADBC，GDEF，BEGG，BGBE9，由GDEF，EFDGFC，可得EFDGFC，設(shè)CGx，則DE2x，則ADAEDE92xBC，BGBCCG，992xx，解得x33，BC92×(33)63.第4題解圖5解：(1)；(2)證明：AEOP90°，AEOP180°，A、E、O、P四點(diǎn)共圓，點(diǎn)一定在APE的外接圓上；(也可取EF中點(diǎn)K，連接AK，OK進(jìn)行證明)如解圖，連接AO、AC.作OMDA于點(diǎn)M，ONAB于點(diǎn)N，EOOP，MOENOPRtMOERtNOPMONOOA是DAB的角平分線，第5題解圖點(diǎn)在對(duì)角線AC上當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，O點(diǎn)在A點(diǎn)處；當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí)，O點(diǎn)在AC中點(diǎn)處，正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長為AC2；(3)如解圖，取PE中點(diǎn)M，連接AM，作MHAP于點(diǎn)H，第5題解圖AMPMEM，點(diǎn)M為AEP外心，MHEA，MEMP，MH為AEP的中位線，MHEA，EPACPB90°，PCBCPB90°，EPAPCB，設(shè)APx，則PB4x，tanEPA，tanPCB，EAx2x，當(dāng)x2時(shí)，EA1，此時(shí)MHEA，即圓心到邊的距離的最大值為.6解：(1)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B在PD異側(cè)時(shí)，由DPQ10°，BPQ90°得BPD80°，APB180°BPD100°；當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B在PD同側(cè)時(shí)，如解圖所示，APB180°BPQDPQ80°，APB的大小是80°或100°；(2)如解圖，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，連接BQ，第6題解圖tanABPtanA32，AHHB32，AB10，AH6，HB4，在RtPHA中，PHAH·tanA8，PQPB4，在RtPQB中，QBPB4；(3) 16或20或32. 【解法提示】當(dāng)點(diǎn)Q在AD上時(shí)，如解圖中圖，由tanA得PBAB·sinA8，SPB掃 16；當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，如解圖中圖，過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，交CD的延長線于點(diǎn)K，由題意得K90°，KDPA，設(shè)AHx，則PHAH·tanAx，BPHKQP90°KPQ，PBQP，RtHPBRtKQP，KPHB10x，APx，PD(10x)，AD15x(10x)，解得x6，PB2PH2HB280，SPB掃20；當(dāng)點(diǎn)Q在BC的延長線上時(shí)，如解圖中的圖，過點(diǎn)B作BMAD于點(diǎn)M，由得BM8，又MPBPBQ45°，PB8，SPB掃32.第6題解圖沖刺名校1.或【解析】四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD5，DACBAC，EFAA，EPAFPA90°，EAPAEP90°，F(xiàn)APAFP90°，AEPAFP，AEAF，AEF是由AEF翻折所得，AEEA，AFFA，AEEAAFFA，四邊形AEAF是菱形，APPA，當(dāng)CBCA時(shí)，AAACCA3，APAA；當(dāng)ACAB時(shí)，ACBABCBAC，ACBBAC，解得AC，AA8，APAA，綜上所述，AP的長為或.21