課時訓練(二十六)圓的基本性質|夯實基礎|1.2018·鹽城 如圖K26-1,AB為O的直徑,CD為O的弦,ADC=35°,則CAB的度數(shù)為()圖K26-1A.35°B.45°C.55°D.65°2.2018·威海 如圖K26-2,O的半徑為5,AB為弦,點C為的中點,若ABC=30°,則弦AB的長為()圖K26-2A.B.5C.D.53.2017·南京 過三點A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標為()A.(4,)B.(4,3)C.(5,)D.(5,3)4.2018·安順 已知O的直徑CD=10 cm,AB是O的弦,ABCD,垂足為M,且AB=8 cm,則AC的長為()A.2 cmB.4 cmC.2 cm或4 cmD.2 cm或4 cm5.2018·杭州 如圖K26-3,AB是O的直徑,點C是半徑OA的中點,過點C作DEAB,交O于D,E兩點,過點D作直徑DF,連結AF,則DFA=. 圖K26-36.2018·臨沂 如圖K26-4,在ABC中,A=60°,BC=5 cm.能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形片的直徑是cm. 圖K26-47.2018·紹興 等腰三角形ABC中,頂角A為40°,點P在以A為圓心,BC長為半徑的圓上,且BP=BA,則PBC的度數(shù)為. 8.如圖K26-5,已知正方形ABCD內接于O,O的半徑為3,點E是弧AD上的一點,連結BE,CE,CE交AD于點H,作OG垂直BE于點G,且OG=,則=. 圖K26-59.如圖K26-6,在ABC中,AB=AC,以AC為直徑的O交AB于點D,交BC于點E.(1)求證:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的長.圖K26-610.2018·無錫 如圖K26-7,四邊形ABCD內接于O,AB=17,CD=10,A=90°,cosB=,求AD的長.圖K26-711.2017·武漢 如圖K26-8,ABC內接于O,AB=AC,CO的延長線交AB于點D.(1)求證:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=,求AC和CD的長.圖K26-8|拓展提升|12.2018·武漢 如圖K26-9,在O中,點C在優(yōu)弧AB上,將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.若O的半徑為,AB=4,則BC的長是()圖K26-9A.2B.3C.D.13.如圖K26-10,正方形ABCD和正三角形AEF都內接于O,EF與BC,CD分別相交于點G,H,則的值是()圖K26-10A.B.C.D.214.2018·臺州 如圖K26-11,ABC是O的內接三角形,點D在上,點E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.(1)求證:AC=CE.(2)求證:BC2-AC2=AB·AC.(3)已知O的半徑為3.若=,求BC的長; 圖K26-11當為何值時,AB·AC的值最大?參考答案1.C2.D解析 如圖,連結OA,OC,OC交AB于點M.根據(jù)垂徑定理可知OC垂直平分AB,因為ABC=30°,故AOC=60°,在RtAOM中,sin60°=,故AM=,即AB=5.故選D.3.A解析 根據(jù)題意,可知線段AB的垂直平分線為直線x=4,再由C點的坐標可求得圓心的橫坐標為4.設圓的半徑為r,則根據(jù)勾股定理可知r2=22+(5-2-r)2,解得r=,因此圓心的縱坐標為5-=,因此圓心的坐標為4,.4.C解析 由題可知,直徑CD=10 cm,ABCD,AB=8 cm,當點M在線段OC上時,OA=OC=5 cm,AM=4 cm.OA2=AM2+OM2,OM=3 cm,即CM=OC-OM=2 cm.由勾股定理,得AC2=AM2+CM2=2 cm.當點M在線段OD上時,CM=OC+CM=8 cm.由勾股定理,得AC2=AM2+CM2=4 cm.故AC的長為2 cm或4 cm.5.30°解析 連結DB,ABDE,且C為OA中點,OC=AC=DO,DOC=60°.DBA=DFA=30°.6.解析 能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形片是如圖所示的ABC的外接圓O,連結OB,OC,則BOC=2BAC=120°,過點O作ODBC于點D,BOD=BOC=60°.由垂徑定理得BD=BC=,OB=,能夠將ABC完全覆蓋的最小圓形片的直徑是 cm.7.30°或110°解析 分兩種情況:(1)如圖,BP=BA=AC,AP=BC,四邊形APBC為平行四邊形,BAC=ABP=40°,ABC=ACB=70°,PBC=ABP+ABC=40°+70°=110°.(2)如圖,AP=BC,BP=AC,AB=AB,BAPABC,PBA=BAC=40°,PBC=ABC-ABP=70°-40°=30°.8.解析 連結AC,BD,DE,OGBE,BG=GE,又BO=OD,OG=DE,則DE=2OG=2,由勾股定理得,BE=8,BC=6.EBD=ECD,BED=CDH=90°,CDHBED,=,DH=,AH=6-=,CH=.CAD=DEC,ACE=ADE,ACHEDH,=,則EH=,=.9.解:(1)證明:如圖,連結AE.AC為O的直徑,AEC=90°,AEBC.又AB=AC,BE=CE.(2)如圖,連結DE.四邊形ACED為O的內接四邊形,BED=BAC.又B=B,BEDBAC,=.BE=CE=3,BC=6.又BD=2,=,BA=9,AC=9.10.解:如圖所示,延長AD,BC交于點E,四邊形ABCD內接于O,A=90°,EDC=B,ECD=A=90°,ECDEAB,=.cosEDC=cosB=,=,CD=10,=,ED=,EC=.=,AD=6.11.解:(1)證明:連結OB,AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,即AO平分BAC.(2)如圖,過點D作DKAO于K,延長AO交BC于H.由(1)知AHBC,OB=OC,BC=6,BH=CH=BC=3,COH=BOC.BAC=BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90°,sinCOH=,CH=3,CO=AO=5,OH=4,AH=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK=.在RtACH中,AHC=90°,AH=9,CH=3,tanCAH=,AC=3.由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH=.設DK=3a,在RtADK中,tanBAH=,在RtDOK中,tanDOK=,OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5,a=,DO=5a=,CD=OC+OD=5+=.AC=3,CD=.12.B解析 連結AC,DC,OD,過C作CEAB于E,過O作OFCE于F.設D關于直線BC的對稱點為H.連結CH,BH,CO,OA.沿BC折疊,CDB=H.H+CAB=180°,CDA+CDB=180°,CAB=CDA,CA=CD.CEAD,AE=ED=1,OA=,AD=2,OD=1.ODAB,OFED為正方形,OF=1,OC=,CF=2,CE=3,CB=3.13.C解析 如圖,連結AC,BD,OF,AC與EF相交于點I.設O的半徑是r,則OF=r.依題意有AO是EAF的平分線,OAF=60°÷2=30°.OA=OF,OFA=OAF=30°,FOI=60°,FI=r·sin 60°=r,EF=r×2=r.AO=2OI,OI=r,CI=r-r=r,=,GH=BD=×2r=r,=,即的值是.故選C.14.解:(1)四邊形BDCE是菱形,EBC=DBC,CD=CE,=,AC=CD,AC=CE.(2)如圖所示,延長BA到點F,使AF=AC,連結FC,AC=CE,CEA=CAE,BEC=CAF.BE=CE,AC=AF,EBC=ECB=ACF=F,BCEFBC,=,即BC2=CE·BF.AC=CE,AC=AF,BC2=CE·BF=AC(AB+AF)=AC(AB+AC)=AB·AC+AC2,BC2-AC2=AB·AC.(3)如圖所示:連結ED,交BC于點H,連結OB.由=得AB=AC,BC2-AC2=AB·AC=AC2,即BC2=AC2,BC=AC.四邊形BDCE是菱形,EDBC,BH=CH,即ED是BC的垂直平分線.點O是外心,點O在ED上.BH=BC,BH=AC,設AC=3k,BH=k,則BD=CE=AC=3k.在RtBDH中,DH=k,OH=OD-DH=3-k.在RtOBH中,BH2+OH2=OB2,即(k)2+(3-k)2=32,解得k=,AC=2,BC=AC=×2=4.如圖所示:設=x,則AB=AC·x.BC2-AC2=AB·AC=AC2·x,BC2=AC2(x+1),BC=AC,BH=AC.四邊形BDCE是菱形,BD=CE=AC.在RtBDH中,DH2=BD2-BH2=AC2-(AC)2=AC2,DH=AC,OH=OD-DH=3-AC,在RtBOH中,BH2+OH2=BO2,即(AC)2+(3-AC)2=32,整理得AC=3,AB·AC=AC·x·AC=3·x·3=9x(3-x)=-9x2+27x.a=-9<0,AB·AC有最大值.AB·AC=-9x2+27x=-9x-2+,當x=時,AB·AC取到最大值,即=時,AB·AC取到最大值.17