第二章極限與連續(xù) 數(shù)列極限函數(shù)極限變量極限無窮大與無窮小極限的運算法則兩個重要的極限函數(shù)的連續(xù)性 2 7函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)連續(xù)性的定義 函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài) 在通常意義下 對函數(shù)連續(xù)性有三種描述 當(dāng)自變量有微小變化時 因變量的變化也是微小的 自變量的微小變化不會引起因變量的跳變 連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成 不斷開 一 函數(shù)的連續(xù)性 1 函數(shù)的增量 2 連續(xù)的定義 注意 例1 證 由定義2知 3 單側(cè)連續(xù) 定理 例2 解 右連續(xù)但不左連續(xù) 4 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線 例3 證 二 函數(shù)的間斷點 1 跳躍間斷點 例5 解 2 可去間斷點 例6 解 注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點 如例6中 跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點 特點 3 第二類間斷點 例7 解 例8 解 注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點 狄利克雷函數(shù) 在定義域R內(nèi)每一點處都間斷 且都是第二類間斷點 僅在x 0處連續(xù) 其余各點處處間斷 在定義域R內(nèi)每一點處都間斷 但其絕對值處處連續(xù) 判斷下列間斷點類型 例9 解 例10討論 若有間斷點判別其類型 并作出圖形 解 三 連續(xù)函數(shù)的運算法則 定理 證明直接用極限的運算法則就可以了如 解 非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例 四 在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì) 這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析 研究中有著重大的價值 起著十分重要的作用 下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論 好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的 1 有界性定理 定理 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 2 最大最小值定理 最值定理 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 2 若區(qū)間內(nèi)有間斷點 定理不一定成立 3 零點定理 4 介值定理 推論 f x g x 證 構(gòu)造輔助函數(shù) 介值定理的證明 例1 證 由零點定理 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值 例2 證 由零點定理 五 利用函數(shù)性連續(xù)求函數(shù)極限 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì) 這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析 研究中有著重大的價值 起著十分重要的作用 下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論 好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的 注意 定理 七 小結(jié) 1 函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件 3 間斷點的分類與判別 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 第一類間斷點 可去型 跳躍型 第二類間斷點 無窮型 振蕩型 間斷點 見下圖 四個定理 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x 再利用零點定理 第一類間斷點 可去型 跳躍型 第二類間斷點 無窮型 振蕩型 思考題 思考題解答 且 但反之不成立 例 但 練習(xí)題 練習(xí)題答案 思考題 下述命題是否正確 思考題解答 不正確 例函數(shù) 注意 定理 七 小結(jié) 1 函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件 3 間斷點的分類與判別 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 第一類間斷點 可去型 跳躍型 第二類間斷點 無窮型 振蕩型 間斷點 見下圖 四個定理 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x 再利用零點定理 第一類間斷點 可去型 跳躍型 第二類間斷點 無窮型 振蕩型 思考題 思考題解答 且 但反之不成立 例 但 練習(xí)題 練習(xí)題答案 思考題 下述命題是否正確 思考題解答 不正確 例函數(shù) 思考題解答 不正確 例函數(shù)