熱點(diǎn)17 銳角三角函數(shù)【命題趨勢】銳角三函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中必考內(nèi)容之一，所占比例815分，題目數(shù)量2-3題。一般小題會有一個，一般為填空或計(jì)算，考查學(xué)生對幾個特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況。大題一般也會有一題，主要是考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，往往會結(jié)合仰角和俯角，坡度等概念進(jìn)行設(shè)計(jì)問題，當(dāng)然在其他解答題中也可能會用到三角函數(shù)，比如在計(jì)算一些線段長度，會與解直角三角形，或者與圓、四邊形結(jié)合而形成難度中等的解答題。 【滿分技巧】一、 整體把握知識結(jié)構(gòu)二重點(diǎn)知識1.RtABC中(1)A的對邊與斜邊的比值是A的正弦，記作sinA (2)A的鄰邊與斜邊的比值是A的余弦，記作cosA (3)A的對邊與鄰邊的比值是A的正切，記作tanA (4)A的鄰邊與對邊的比值是A的余切，記作cota 2.特殊值的三角函數(shù)：asinacosatanacota30°45°1160°【限時檢測】（建議用時：30分鐘）一、 選擇題1. (2019 湖北省宜昌市)如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sinBAC的值為（）ABCD【答案】D【解析】如圖，過C作CDAB于D，則ADC90°，AC5sinBAC故選：D2. (2019 湖南省湘西市)如圖，在ABC中，C90°，AC12，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cosBDC，則BC的長是（）A10B8C4D2【答案】D【解析】C90°，cosBDC，設(shè)CD5x，BD7x，BC2x，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故選：D3. (2019 湖南省長沙市)如圖，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個動點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B【解析】如圖，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90°，tanA=2，設(shè)AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值為4故選：B4. (2019 山東省泰安市)如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（）kmA30+30B30+10C10+30D30【答案】B【解析】根據(jù)題意得，CAB65°20°，ACB40°+20°60°，AB30，過B作BEAC于E，AEBCEB90°，在RtABE中，ABE45°，AB30，AEBEAB30km，在RtCBE中，ACB60°，CEBE10km，ACAE+CE30+10，A，C兩港之間的距離為（30+10）km，故選：B5. (2019 陜西省)如圖，在ABC中，B=30°，C=45°，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，DEAB，垂足為E。若DE=1，則BC的長為 A.2+ B. C.2+ D.3 【答案】A【解析】過點(diǎn)D作DFAC于F如圖所示，AD為BAC的平分線，且DEAB于E，DFAC于F，DE=DF=1，在RtBED中，B=30°，BD=2DE=2，在RtCDF中，C=45°，CDF為等腰直角三角形，CD=DF=，BC=BD+CD=，故選A6. (2019 天津市) 2sin60°的值等于（）A1BCD2【答案】C【解析】2sin60°2×，故選：C7. (2019 浙江省杭州市)如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OCOB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知ABa，ADb，BCOx，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）Aasinx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDacosx+bsinx【答案】D【解析】作AEOC于點(diǎn)E，作AFOB于點(diǎn)F，四邊形ABCD是矩形，ABC90°，ABCAEC，BCOx，EABx，F(xiàn)BAx，ABa，ADb，F(xiàn)OFB+BOacosx+bsinx，故選：D8. (2019 浙江省臺州市)如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，ABEF2cm，BCFG8cm把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G重合當(dāng)兩張紙片交叉所成的角最小時，tan等于（）ABCD【答案】D【解析】如圖，ADCHDF90°CDMNDH，且CDDH，HC90°CDMHDN（ASA）MDND，且四邊形DNKM是平行四邊形四邊形DNKM是菱形KMDMsinsinDMC當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時，兩張紙片交叉所成的角a最小，設(shè)MDaBM，則CM8a，MD2CD2+MC2，a24+（8a）2，aCMtantanDMC故選：D9. (2019 重慶市)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動如圖，在一個坡度（或坡比）i1：的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD測得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC26米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)E處，測得古樹頂端D的仰角AED48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin48°，cos48°，tan48°）A米B米C米D米【答案】C【解析】如圖，1：，設(shè)CF5k，AF12k，AC13k26，k2，AF10，CF24，AE6，EF6+2430，DEF48°，tan48°1.11，DF，CD10，答：古樹CD的高度約為米，故選：C10. (2019 廣西防城港市)小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課中測量路燈的高度如圖，已知她的目高為1.5米，她先站在處看路燈頂端的仰角為，再往前走3米站在處，看路燈頂端的仰角為，則路燈頂端到地面的距離約為（）（已知，A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【答案】C【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，設(shè)，故選：C二、填空題11. (2019 甘肅省)在ABC中C90°，tanA，則cosB 【答案】【解析】利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解在RtABC中，C90°，tanA，設(shè)ax，b3x，則c2x，cosB故答案為：12. (2019 湖南省張家界市)如圖：正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tanAPD 【答案】2【解析】連接AF，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAECBF，又BAE+BEA90°，CBF+BEA90°，BPEAPF90°，ADF90°，ADF+APF180°，A、P、F、D四點(diǎn)共圓，AFDAPD，tanAPDtanAFD2，故答案為：213. (2019 江蘇省常州市)如圖，半徑為的O與邊長為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，連接OC，則tanOCB 【答案】【解析】連接OB，作ODBC于D，O與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，OBCOBAABC30°，tanOBC，BD3，CDBCBD835，tanOCB故答案為14. (2019 江蘇省淮安市)如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中點(diǎn)，將CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tanHAP 【答案】【解析】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，BHPH，又H為AB的中點(diǎn)，AHBH，AHPHBH，HAPHPA，HBPHPB，又HAP+HPA+HBP+HPB180°，APB90°，APBHEB90°，APHE，BAPBHE，又RtBCH中，tanBHC，tanHAP，故答案為：15. (2019 江蘇省蘇州市)如圖，一塊含有角的直角三角板，外框的一條直角邊長為，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為，則圖中陰影部分的面積為_（結(jié)果保留根號） 【答案】14+16【解析】如右圖：過頂點(diǎn)A作AB大直角三角形底邊由題意： = = 16. (2019 山東省臨沂市)計(jì)算：×tan45° 【答案】【解析】×tan45°11，故答案為：117. (2019 山東省濰坊市)如圖，RtAOB中，AOB90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y（x0）與y（x0）的圖象上，則tanBAO的值為 【答案】【解析】過A作ACx軸，過B作BDx軸于D，則BDOACO90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y（x0）與y（x0）的圖象上，SBDO，SAOC，AOB90°，BOD+DBOBOD+AOC90°，DBOAOC，BDOOCA，（）25，tanBAO，故答案為：18. (2019 四川省自貢市)如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，、如圖所示，則cos（+） 【答案】【解析】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示在ABC中，ABC120°，BABC，30°同理，可得出：CDECED30°又AEC60°，AEDAEC+CED90°設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE2a，DE2×sin60°aa，ADa，cos（+）故答案為：19. (2019 浙江省杭州市)在直角三角形ABC中，若2ABAC，則cosC 【答案】或【解析】若B90°，設(shè)ABx，則AC2x，所以BCx，所以cosC；若A90°，設(shè)ABx，則AC2x，所以BCx，所以cosC；綜上所述，cosC的值為或故答案為或20. (2019 廣西百色市)四邊形具有不穩(wěn)定性如圖，矩形按箭頭方向變形成平行四邊形，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時，則【答案】30°【解析】，平行四邊形的底邊AD邊上的高等于AD的一半，故答案為：30°三、解答題21. (2019 天津市)如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處，測得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60【解析】在RtCAD中，tanCAD，則ADCD，在RtCBD中，CBD45°，BDCD，ADAB+BD，CDCD+30，解得，CD45，答：這座燈塔的高度CD約為45m22. (2019 山東省威海市)如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖已知汽車貨廂高度BG2米，貨廂底面距地面的高度BH0.6米，坡面與地面的夾角BAH，木箱的長（FC）為2米，高（EF）和寬都是1.6米通過計(jì)算判斷：當(dāng)sin，木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合時，木箱上部頂點(diǎn)E會不會觸碰到汽車貨廂頂部【解析】BH0.6米，sinAB1米，AH0.8米，AFFC2米，BF1米，作FJBG于點(diǎn)J，作EKFJ于點(diǎn)K，EFFBAB1米，EKFFJBAHB90°，EFKFBJABH，EFKFBJABH，EKFJAH，BJBH，BJ+EK0.6+0.81.42，木箱上部頂點(diǎn)E不會觸碰到汽車貨廂頂部22