第二部分專題五 類型一1(2018·南昌模擬)我們定義：有一組鄰角相等且對(duì)角線相等的凸四邊形叫做鄰對(duì)等四邊形概念理解(1)我們所學(xué)過的特殊四邊形中的鄰對(duì)等四邊形是矩形或正方形；性質(zhì)探究(2)如圖1，在鄰對(duì)等四邊形ABCD中，ABCDCB ，ACDB ，AB>CD，求證：BAC與CDB互補(bǔ)；拓展應(yīng)用(3)如圖2，在四邊形ABCD中，BCD2B，ACBC5，AB6，CD4.在BC的延長(zhǎng)線上是否存在一點(diǎn)E，使得四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形？如果存在，求出DE的長(zhǎng)；如果不存在，說明理由(1)解：矩形或正方形(2)證明：如答圖1，延長(zhǎng)CD至E，使CEBA，連接BE.在ABC和ECB中，ABCECB(SAS)，BECA，BACE.ACDB，BDBE，BDEE，CDBBDECDBEBACCDB180°，即BAC與CDB互補(bǔ)(3)解：存在這樣一點(diǎn)E，使得四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形，如答圖2，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得CECD4，連接DE，AE，BD，則四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形理由如下：CECD，CDECED.BCD2ABC，ABCDEB，ACEBCD.在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS)，BDAE，四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形CBACABCDECED，ABCDEC，DE.2(2018·淮安)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足290°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”(1)若ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，C90°，A60°，則B15°；(2)如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC5.若AD是BAC的平分線，不難證明ABD是“準(zhǔn)互余三角形”試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D)，使得ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)解：(1)ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，C90°，A60°，2BA90°，解得B15°.(2)如答圖1，在RtABC中，BBAC90°，BAC2BAD，B2BAD90°，ABD是“準(zhǔn)互余三角形”ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”，只有2BBAE90°.BBAEEAC90°，CAEB.CC90°，CAECBA，CA2CE·CB，CE，BE5.(3)如答圖2，將BCD沿BC翻折得到BCF，CFCD12，BCFBCD，CBFCBD.ABD2BCD，BCDCBD90°，ABDDBCCBF180°，點(diǎn)A，B，F(xiàn)共線，AACF90°，2ACBCAB90°，只有2BACACB90°，F(xiàn)CBFAC.FF，F(xiàn)CBFAC，CF2FB·FA，設(shè)FBx，則有x(x7)122，x9或x16(舍去)，AF7916，在RtACF中，AC20.3(2015·江西)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AFBE，垂足為P，像ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BCa，ACb，ABc.特例探索(1)如圖1，當(dāng)ABE45°，c2時(shí)，a_2_，b_2_.如圖2，當(dāng)ABE30°，c4時(shí)，a_2_，b_2_.歸納證明(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式拓展應(yīng)用(3)如圖4，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BEEG，AD2，AB3，求AF的長(zhǎng)解：(1)AFBE，ABE45°，APBPAB2.AF，BE是ABC的中線，EFAB，EFAB，PFEPEF45°，PEPF1.在RtFPB和RtPEA中，AEBF，ACBC2，ab2.如答圖1，連接EF.同理可得EF×42.EFAB，PEFPBA，.在RtABP中，AB4，ABP30°，AP2，PB2，PF1，PE.在RtAPE和RtBPF中，AE，BF，a2，b2.(2)猜想：a2b25c2，證明如下：如答圖2，連接EF.設(shè)ABP，APcsin，PBccos，由(1)同理可得PFPA，PEPB，AE2AP2PE2c2sin2，BF2PB2PF2c2cos2，()2c2sin2，()2c2cos2，c2cos2c2sin2，a2b25c2.(3)如答圖3，連接AC，EF交于點(diǎn)H，AC與BE交于點(diǎn)Q，設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P.點(diǎn)E，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，EGAC.BEEG，BEAC.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC2，EAHFCH.E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AEAD，BFBC，AEBFCFAD.AEBF，四邊形ABFE是平行四邊形，EFAB3，APPF.在AEH和CFH中，AEHCFH，EHFH，EP，AH分別是AFE的中線，由(2)的結(jié)論得AF2EF25AE2，AF25()2EF216，AF4.或連接F與AB的中點(diǎn)M，證MF垂直BP，構(gòu)造出“中垂三角形”，由AB3，BCAD及(2)中的結(jié)論，直接可求AF.4(2017·江西)我們定義：如圖1，在ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°180°)得到AB，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AC，連接BC.當(dāng)180°時(shí)，我們稱ABC是ABC的“旋補(bǔ)三角形”，ABC邊BC上的中線AD叫做ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”特例感知(1)在圖2，圖3中，ABC是ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是ABC的“旋補(bǔ)中線”如圖2，當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為ADBC；如圖3，當(dāng)BAC90°，BC8時(shí)，則AD長(zhǎng)為4.猜想論證(2)在圖1中，當(dāng)ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明拓展應(yīng)用(3)如圖4，在四邊形ABCD，C90°，D150°，BC12，CD2，DA6.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使PDC是PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說明理由圖1 圖2 圖3 圖4解：(1)ABC是等邊三角形，ABBCACABAC.DBDC，ADBC.BAC60°，BACBAC180°，BAC120°，BC30°，ADABBC.BAC90°，BACBAC180°，BACBAC90°.ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC.BDDC，ADBCBC4.(2)結(jié)論：ADBC.證明如下：如答圖1，延長(zhǎng)AD到M，使得ADDM，連接BM，CM.BDDC，ADDM，四邊形ACMB是平行四邊形，ACBMAC.第4題答圖1BACBAC180°，BACABM180°，BACMBA.ABAB，BACABM，BCAM，ADBC.(3)存在理由：如答圖2，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于M，作BEAD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA，PD，PC，作PCD的中線PN，第4題答圖2連接DF交PC于O.ADC150°，MDC30°.在RtDCM中，CD2，DCM90°，MDC30°，CM2，DM4，M60°.在RtBEM中，BEM90°，BM14，MBE30°，EMBM7，DEEMDM3.AD6，AEDE.BEAD，PAPD，PBPC.在RtCDF中，CD2，CF6，tanCDF，CDF60°CPF，易證FCPCFD，CDPF.CDPF.四邊形CDPF是矩形，CDP90°，ADPADCCDP60°，ADP是等邊三角形，ADP60°.BPFCPF60°，BPC120°，APDBPC180°，PDC是PAB的“旋補(bǔ)三角形”在RtPDN中，PDN90°，PDAD6，DN，PN.8