第二部分　專題五 類型三 1．(2018·江西樣卷二)提出問題 如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)P是線段AD邊上的一動點(diǎn)(不與端點(diǎn)A，D重合)，連接PC，過點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，圖中各角和線段之間是否存在某種關(guān)系和規(guī)律？ 特殊求解 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且AP>AE時，求證：PE＝PC. 深入探究 當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動時，對應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動，求整個運(yùn)動過程中BE的取值范圍． 解：特殊求解 ∵PE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°. ∵∠D＝90°，∴∠DPC＋∠DCP＝90°. ∴∠APE＝∠DCP. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△APE∽△DCP，∴＝. 設(shè)AP＝x，則有DP＝3－x. 而AE＝BE＝1，∴x(3－x)＝2×1， 解得x1＝2，x2＝1. ∵AP>AE，∴AP＝2，AE＝PD＝1， ∴△APE≌△DCP，∴PE＝PC. 深入探究 設(shè)AP＝x，AE＝y(tǒng)，由AP·DP＝AE·DC， 可得x(3－x)＝2y. ∴y＝x(3－x)＝－x2＋x＝－(x－)2＋. ∴在0<x<3范圍內(nèi)，當(dāng)x＝時，y最大＝. ∵當(dāng)AE＝y(tǒng)取得最大值時，BE取得最小值為2－＝， ∴BE的取值范圍為≤BE<2. 2．(2018·江西樣卷一)如圖，在半徑為3 cm的⊙O中，A，B，C三點(diǎn)在圓上，∠BAC＝75°.點(diǎn)P從點(diǎn)B開始以 cm/s的速度在劣弧BC上運(yùn)動，且運(yùn)動時間為t s，∠AOB＝90°，∠BOP＝n°. (1)求n與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t的取值范圍； (2)試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時， ①在BP，PC，CA，AB四條線段中有兩條相互平行？ ②以P，B，A，C四點(diǎn)中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？ 解：(1)∵∠BOP＝n°，∴t＝，n＝12t. 當(dāng)n＝150時，150＝12t，t＝12.5. ∴t的取值范圍為0≤t≤12.5. (2)①∠BOP＝n°，n＝12t. 如答圖1，當(dāng)BP∥AC時，t＝5. 理由：∵∠PBA＝180°－75°＝105°，∠OBA＝45°， ∴∠OBP＝60°.∵OB＝OP， ∴∠BOP＝60°，∴60＝12t，t＝5. 如答圖2，當(dāng)PC∥AB時，t＝10. 理由：易得∠PBA＝∠BAC＝75°， ∴∠PBO＝∠BPO＝30°， ∴∠BOP＝120°， ∴120＝12t，t＝10. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為5 s時，BP∥AC. 當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為10 s時，PC∥AB. 　　　　 ②在△ABP中，以AB為腰時(如答圖3)，∠BPA＝∠BAP＝45°，∠BOP＝90°，∴t＝7.5. 以AB為底邊時(如答圖4)，∠BPA＝45°，∠BAP＝67.5°，∠BOP＝2×67.5°＝135°， ∴t＝11.25. 如答圖5，在△APC中，易得∠AOC＝120°， ∴∠APC＝60°，△APC是等邊三角形． ∴∠AOP＝120°，∴∠BOP＝30°，t＝2.5. 如答圖6，在△BPC中，∠BPC＝105°，只有BP＝PC這種情況． 此時點(diǎn)P是弧BC的中心， ∴∠BOP＝75°，t＝6.25. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為7.5 s或11.25 s時，△ABP為等腰三角形； 當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為2.5 s時，△APC為等邊三角形； 當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為6.25 s時，△BPC為等腰三角形． 3．(2018·東莞)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜邊OB＝4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖1，連接BC. (1)填空：∠OBC＝60°； (2)如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度； (3)如圖2，點(diǎn)M，N同時從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時運(yùn)動停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時y取得最大值．最大值為多少？ 解：(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知OB＝OC，∠BOC＝60°， ∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°. 第3題答圖1 (2)如答圖1中， ∵OB＝4，∠ABO＝30°， ∴OA＝OB＝2， AB＝OA＝2， ∴S△AOC＝·OA·AB＝×2×2＝2. ∵△BOC是等邊三角形， ∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝90°， ∴AC＝＝＝2， ∴OP＝＝＝. 第3題答圖2 (3)①當(dāng)0＜x≤時，M在OC上運(yùn)動，N在OB上運(yùn)動，此時過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E.如答圖2， 則NE＝ON·sin60°＝x， ∴S△OMN＝·OM·NE＝×1.5x×x， ∴y＝x2，∴當(dāng)x＝時，y有最大值，最大值為. 第3題答圖3 ②當(dāng)＜x≤4時，M在BC上運(yùn)動，N在OB上運(yùn)動．如答圖3， 作MH⊥OB于H.則BM＝8－1.5x，MH＝BM·sin60°＝(8－1.5x)，∴y＝×ON×MH＝－x2＋2x. 當(dāng)x＝時，y取得最大值，最大值為. 第3題答圖4 ③當(dāng)4＜x≤4.8時，M，N都在BC上運(yùn)動，作OG⊥BC于G.如答圖4， MN＝12－2.5x，OG＝AB＝2， ∴y＝·MN·OG＝12－x， 當(dāng)x＝4時，y有最大值，最大值為2. 綜上所述，y有最大值，最大值為. 4．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P是射線BD上一動點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化． (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是PB＝EC，CE與AD的位置關(guān)系是CE⊥AD； (2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理)； (3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時，連接BE.若AB＝2，BE＝2，求四邊形ADPE的面積． 第4題答圖1 解：(1)結(jié)論：PB＝EC，CE⊥AD. 理由：如答圖1中，連接AC. ∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°. ∵△APE是等邊三角形， ∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°， 延長CE交AD于H， ∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 第4題答圖2 (2)結(jié)論仍然成立． 理由：如答圖2，連接AC交BD于O，設(shè)CE交AD于H. ∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°. ∵△APE是等邊三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°， ∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 第4題答圖3 (3)如答圖3，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接CE交AD于點(diǎn)H， 由(2)可知EC⊥AD，CE＝BP， 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴EC⊥BC. ∵BC＝AB＝2，BE＝2， ∴在Rt△BCE中，EC＝＝8， ∴BP＝CE＝8. ∵AC與BD是菱形的對角線， ∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6， ∴OA＝AB＝，DP＝BP－BD＝8－6＝2， ∴OP＝OD＋DP＝5， 在Rt△AOP中，AP＝＝2， ∴S四邊形ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝DP·AO＋·AP2＝ ×2×＋×(2)2＝8. 7