第一部分　第六章　課時23 命題點一　切線的性質(zhì)與判定 1．(2016·遵義)如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6.P是底邊BC上的一個動點(P與B，C不重合)，以P為圓心，PB為半徑的⊙P與射線BA交于點D，射線PD交射線CA于點E. (1)若點E在線段CA的延長線上，設BP＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； (2)當BP＝2時，試說明射線CA與⊙P是否相切； (3)連接PA，若S△APE＝S△ABC，求BP的長． 解：(1)過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，如答圖1. ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝6， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵PB＝PD， ∴∠PDB＝∠B＝30°，CF＝AC·cos30°＝6×＝3，∴∠ADE＝30°，∴∠DAE＝∠CPE＝60°. ∴∠CEP＝90°，∴CE＝AC＋AE＝6＋y， ∴PC＝＝.∵BC＝6，∴PB＋CP＝x＋＝6，∴y＝－x＋3. ∵BD＝2BH＝x＜6，∴x＜2，∴x的取值范圍是0＜x＜2. (2)∵BP＝2，∴CP＝4，∴PE＝PC＝2＝PB，∴射線CA與⊙P相切． (3)當D點在線段BA上時，連接AP，如答圖1.∵S△ABC＝BC·AF＝×6×3＝9，∴S△APE＝AE·PE＝y(tǒng)·×(6＋y)＝S△ABC＝，解得y＝，代入y＝－x＋3，得x＝4－. 當D點在BA的延長線上時，如答圖2，PC＝EC＝(6－y)，∴PB＋CP＝x＋(6－y)＝6，∴y＝x－3. ∵∠PEC＝90°，∴PE＝＝＝(6－y)， 答圖 ∴S△APE＝AE·PE＝y(tǒng)·(6－y)＝S△ABC＝. 解得y＝或，代入y＝x－3，得x＝3或5. 綜上，BP的長為4－或3或5. 命題點二　三角形的外接圓與內(nèi)切圓 2．(2016·遵義)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，則PQ的長是(　B　) A．　 B．　 C．　　 D．2 【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴△ACD≌△CAB， ∴⊙P和⊙Q的半徑相等. 在Rt△ABC中， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5， ∴⊙P的半徑r＝＝＝1. 如答圖，連接PQ，過點Q作QE∥BC，過點P作PE∥AB交QE于點E，則∠QEP＝90°， 答圖 ∵在Rt△QEP中，QE＝BC－2r＝3－2＝1， EP＝AB－2r＝4－2＝2， ∴PQ＝＝＝. 3．(2014·遵義)如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝BC，△ACD的外接圓⊙O交BC于E點，連接DE并延長，交AC于P點，交AB延長線于F. (1)求證：CF＝DB； (2)當AD＝ 時，試求E點到CF的距離． 　 (1)證明：如答圖，連接AE， 答圖∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC為等邊三角形． ∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝∠DAB＝90°， ∴AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC， ∴BE＝CE. ∵CD∥BF，∴∠DCE＝∠FBE. 在△DCE和△FBE中， ∴△DCE≌△FBE(ASA), ∴DE＝FE， ∴四邊形BDCF為平行四邊形，∴CF＝DB. (2)解：如答圖，作EH⊥CF于H， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°. 在Rt△ADC中，AD＝， ∴DC＝AD＝1，AC＝2CD＝2， ∴AB＝AC＝2，BF＝CD＝1，∴AF＝3. 在Rt△ABD中，BD＝＝， 在Rt△ADF中，DF＝＝2， ∴CF＝BD＝，EF＝DE＝DF＝. ∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAE＝30°， ∴∠EDC＝∠CAE＝30°. 而∠DCA＝∠BAC＝60°，∴∠DPC＝90°. 在Rt△DPC中，DC＝1，∠CDP＝30°， ∴PC＝DC＝. ∵∠HFE＝∠PFC，∴Rt△FHE∽Rt△FPC， ∴＝，即＝ ，∴EH＝ ， 即E點到CF的距離為. 4