滾動(dòng)小專題(七)與圓有關(guān)的計(jì)算與證明類型1與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明1如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D為O上一點(diǎn)，ODAC，垂足為E，連接BD.(1)求證：BD平分ABC；(2)當(dāng)ODB30°時(shí)，求證：BCOD.證明：(1)ODAC，OD為半徑，.CBDABD.BD平分ABC.(2)OBOD，OBDODB30°.AODOBDODB30°30°60°.又ODAC于E，OEA90°.A180°OEAAOD30°.又AB為O的直徑，ACB90°.在RtACB中，BCAB.又ODAB，BCOD.2(2018·溫州)如圖，D是ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作ABD的外接圓，將ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在O上(1)求證：AEAB；(2)若CAB90°，cosADB，BE2，求BC的長(zhǎng)解：(1)證明：由題意，得ADEADC，AEDACD，AEAC.ABDAED，ABDACD.ABAC，AEAB.(2)過點(diǎn)A作AHBE于點(diǎn)H.ABAE，BE2.BHEH1.ABEAEBADB，cosADB，cosABEcosADB.ACAB3.BAC90°，ACAB，BC3.3(2018·包頭)如圖，在RtACB中，ACB90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，BA的延長(zhǎng)線交A于點(diǎn)E，連接CD，CE，F(xiàn)是A上一點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)C位于BE兩側(cè)，且FABABC，連接BF.(1)求證：BCDBEC；(2)若BC2，BD1，求CE的長(zhǎng)及sinABF的值解：(1)證明：ACB90°，BCDACD90°.DE是A的直徑，DCE90°.BECCDE90°.ADAC，CDEACD.BCDBEC.(2)BCDBEC，CBDEBC，BDCBCE.BC2，BD1，BE4，EC2CD.DEBEBD3.在RtDCE中，DE2CD2CE29.CD.CE.過點(diǎn)F作FMAB于點(diǎn)M，F(xiàn)ABABC，F(xiàn)MAACB90°，AFMBAC.DE3，ADAFAC，AB.FM.過點(diǎn)F作FNBC于點(diǎn)N，F(xiàn)NC90°.FABABC，F(xiàn)ABC.FACACB90°.四邊形FNCA是矩形FNAC，NCAF，BN.在RtFBN中，BF，在RtFBM中，sinABF.類型2與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明4(2018·濱州)如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上，ADCD于點(diǎn)D，且AC平分DAB.求證：(1)直線DC是O的切線；(2)AC22AD·AO.證明：(1)連接OC.OAOC，OACOCA.AC平分DAB，OACDAC.DACOCA.OCAD.又ADCD，OCDC.OC為O的半徑，DC是O的切線(2)連接BC.AB為O的直徑，AB2AO，ACB90°.ADDC，ADCACB90°.又DACCAB，DACCAB.，即AC2AB·AD.AC22AD·AO.5(2017·金華)如圖，已知：AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，CD是O的切線，ADCD于點(diǎn)D，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交O于點(diǎn)F，連接OC，AC.(1)求證：AC平分DAO；(2)若DAO105°，E30°.求OCE的度數(shù)；若O的半徑為2，求線段EF的長(zhǎng)解：(1)證明：直線CD與O相切，OCCD.又ADCD，ADOC.DACOCA.又OCOA，OACOCA.DACOAC.AC平分DAO.(2)ADOC，EOCDAO105°，E30°，OCE45°.過點(diǎn)O作OGCE于點(diǎn)G，可得FGCG.OC2，OCE45°，OGCG2.FG2.在RtOGE中，E30°，GE2.EFGEFG22.6(2018·蘇州)如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E，延長(zhǎng)DA交O于點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G，連接OC.(1)求證：CDCE；(2)若AEGE，求證：CEO是等腰直角三角形證明：(1)連接AC.CD為O的切線，OCCD.又ADCD，DCOD90°.ADOC，DACACO.又OCOA，CAOACO.DACCAO.又CEAB，CEA90°.在CDA和CEA中，CDACEA(AAS)CDCE.(2)證法一：連接BC.CDACEA，DCAECA.CEAG，AEEG，CACG.ECAECG.AB是O的直徑，ACB90°.又CEAB，ACEB.又BF，F(xiàn)ACEDCAECG.又D90°，DCFF90°.FDCAACEECG22.5°.AOC2F45°.CEO是等腰直角三角形證法二：設(shè)Fx°，則AOC2F2x°.ADOC，OAFAOC2x°.CGAOAFF3x°.CEAG，AEEG，CACG.EACCGA.DACEACCGA3x°.又DACEACOAF180°，3x°3x°2x°180°.x22.5.AOC2x°45°.CEO是等腰直角三角形7(2017·孝感)如圖，O的直徑AB10，弦AC6，ACB的平分線交O于D，過點(diǎn)D作DEAB交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，BD.(1)由AB，BD，圍成的曲邊三角形的面積是；(2)求證：DE是O的切線；(3)求線段DE的長(zhǎng)解：(2)證明：連接OD.CD平分ACB，ACDBCD.ADDB.又AB為直徑，ADDB，ADB90°.ODAB.DEAB，ODDE.又OD為O的半徑，DE是O的切線(3)AB10，AC6，BC8.過點(diǎn)A作AFDE于點(diǎn)F，則四邊形AODF是正方形，AFODFD5，BAF90°.EAFCAB90°，ABCCAB90°，EAFABC.tanEAFtanABC.，即.EF.DEDFEF5.8(2018·株洲)如圖，已知AB為O的直徑，AB8，點(diǎn)C和點(diǎn)D是O上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，連接OC，AC，且BOC90°，直線BC和直線AD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，與直線AD相交于點(diǎn)G，且GAFGCE.(1)求證：直線CG為O的切線；(2)若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接CH，滿足CBCH.求證：CBHOBC；求OHHC的最大值解：(1)證明：C，D關(guān)于AB對(duì)稱， GAFCAF.GAFGCE，GCECAF.OAOC，CAFACO.GCEACO.AB為直徑，ACOOCB90°.GCEOCB90°，即OCG90°.又OC為O的半徑，CG為O的切線(2)證明：OCOB，CHBC，OCBOBC，CHBCBH，CBHOBCOCBCHB.CBHOBC.CBHOBC，.BH.設(shè)BCx，則CHx，BH.OHHCx2x4(x2)25.當(dāng)x2時(shí)，OHHC的最大值為5.9(2018·婁底)如圖，C，D是以AB為直徑的O上的點(diǎn)，弦CD交AB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)PB是O的切線時(shí)，求證：PBDDAB；(2)求證：BC2CE2CE·DE；(3)已知OA4，E是半徑OA的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)解：(1)證明：AB是O的直徑，ADB90°，即DABABD90°.PB是O的切線，ABP90°，即PBDABD90°.DABPBD.(2)證明：AC，AEDCEB，ADECBE.，即DE·CEAE·BE.連接OC.設(shè)圓的半徑為r，則OAOBOCr，則DE·CEAE·BE(OAOE)(OBOE)r2OE2.，AOCBOC90°.CE2OE2OC2OE2r2，BC2BO2CO22r2，則BC2CE22r2(OE2r2)r2OE2.BC2CE2DE·CE.(3)OA4，OBOCOA4.BC4.又E是半徑OA的中點(diǎn)，AEOE2.則CE2.BC2CE2DE·CE，(4)2(2)2DE·2.DE.7