第二部分專題六1如圖，直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點，過點A作ACx軸于點C，過點B作BDx軸于點D(1)求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；(2)若點P在直線yx2上，且SACPSBDP，請求出此時點P的坐標；(3)在x軸正半軸上是否存在點M，使得MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，說明理由解：(1)直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3)，B(3，b)兩點，a23，32b，解得a1，b1，A(1,3)，B(3，1)點A(1,3)在反比例函數(shù)y圖象上，k1×33，反比例函數(shù)的解析式為y.(2)設點P(n，n2)A(1,3)，C(1,0)B(3，1)，D(3,0)SACPAC·|xPxA|×3·|n1|，SBDPBD·|xBxP|×1·|3n|.SACPSBDP，×3·|n1|×1·|3n|，解得n0或n3，P(0,2)或(3,5)(3)存在設M(m,0)(m0)，A(1,3)，B(3，1)，MA2(m1)29，MB2(m3)21，AB232，MAB是等腰三角形，當MAMB時，(m1)29(m3)21，m0(舍)；當MAAB時，(m1)2932，m1或m1(舍)，M(1，0)；當MBAB時，(m3)2132，m3或m3(舍)，M(3，0)則滿足條件的M(1，0)或(3，0)2如圖，在平面直角坐標系中，等腰RtAOB的斜邊OB在x軸上，直線y3x4經(jīng)過等腰RtAOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線y也經(jīng)過A點，連接BC(1)求k的值；(2)判斷ABC的形狀，并求出它的面積；(3)若點P為x正半軸上一動點，在點A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點M，使得PAM是以點A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)如答圖1，過點A分別作AQy軸于Q點，ANx軸于N點答圖1AOB是等腰直角三角形，AQAN.設點A的坐標為(a，a)，點A在直線y3x4上，a3a4，解得a2，則點A的坐標為(2,2)雙曲線y也經(jīng)過A點，k4.(2)由(1)知，A(2,2)，B(4,0)直線y3x4與y軸的交點為C，C(0，4)，AB2BC2(42)22242(4)240，AC222(24)240，AB2BC2AC2，ABC是直角三角形，且ABC90°，SABCAB·BC×2×48.(3)存在如答圖2，假設雙曲線上存在一點M，使得PAM是等腰直角三角形答圖2PAM90°OAB，APAM，連接BM.k4，反比例函數(shù)的解析式為y.OABPAM90°，OAPBAM.在AOP和ABM中，AOPABM(ASA)，AOPABM，OBMOBAABM90°，點M的橫坐標為4，M(4,1)則在雙曲線上存在一點M(4,1)，使得PAM是以點A為直角頂點的等腰三角形3如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點P(n，2)，與x軸交于點A(4,0)，與y軸交于點C，PBx軸于點B，點A與點B關于y軸對稱(1)求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：點C為線段AP的中點；(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說明理由并求出點D的坐標；如果不存在，說明理由解：(1)點A與點B關于y軸對稱，AOBO.A(4,0)，B(4,0)PBx軸于點B，P(4,2)把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m8，反比例函數(shù)的解析式為y.把A，P兩點坐標分別代入一次函數(shù)解析式可得解得一次函數(shù)的解析式為yx1.(2)證明：點A與點B關于y軸對稱，OAOBPBx軸于點B，PBACOA90°，PBCO，點C為線段AP的中點(3)存在點D，使四邊形BCPD為菱形理由如下：點C為線段AP的中點，BCAPPC，BC和PC是菱形的兩條邊由yx1可得C(0,1)如答圖，過點C作CDx軸，交PB于點E，交反比例函數(shù)圖象于點D，分別連接PD，BD，答圖D(8,1)，且PBCD，PEBE1，CEDE4，PB與CD互相垂直平分，即四邊形BCPD為菱形，存在滿足條件的點D，其坐標為(8,1)4(2018·金華)如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)y與y(x0,0mn)的圖象上，對角線BDy軸，且BDAC于點P.已知點B的橫坐標為4.(1)當m4，n20時若點P的縱坐標為2，求直線AB的函數(shù)表達式若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由(2)四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數(shù)量關系；若不能，試說明理由解：(1)如答圖1.m4，反比例函數(shù)y的解析式為y.當x4時，y1，B(4,1)，當y2時，2，解得x2，A(2,2)設直線AB的解析式為ykxb，將A(2,2)，B(4,1)兩點分別代入，得解得直線AB的函數(shù)表達式為yx3.四邊形ABCD是菱形理由如下：如答圖2，由知，B(4,1)，BDy軸，D(4,5)點P是線段BD的中點，P(4,3)當y3時，由y得x，由y得x，PA4，PC4，PAPCPBPD，四邊形ABCD為平行四邊形，BDAC，四邊形ABCD是菱形圖1圖2答圖(2)四邊形ABCD能成為正方形理由：當四邊形ABCD是正方形時，則PAPBPCPD(設為t，t0)，當x4時，y，B(4，)，A(4t，t)，C(4t，t)，(4t)(t)m，t4，C(8，4)，(8)×4n，mn32.點D的縱坐標為2t2(4)8，D(4,8)，4(8)n，mn32.5如圖，已知一次函數(shù)y1k1xb的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y2的圖象分別交于C，D兩點，點D(2，3)，OA2.(1)求一次函數(shù)y1k1xb與反比例函數(shù)y2的解析式；(2)直接寫出k1xb0時自變量x的取值范圍；(3)動點P(0，m)在y軸上運動，當|PCPD|的值最大時，直接寫出P點的坐標解：(1)點D(2，3)在反比例函數(shù)y2的圖象上，k22×(3)6，y2.如答圖，過點D作DEx軸于E.答圖OA2，A(2,0)，A(2,0)，D(2，3)在y1k1xb的圖象上，解得y1x.(2)由圖可得，當k1xb0時，x4或0x2.(3)P點坐標為(0，)理由如下：由解得或C(4，)，如答圖，作C(4，)關于y軸對稱點C(4，)，延長CD交y軸于點P，由C和D的坐標可得，直線CD解析式為yx，令x0，則y，當|PCPD|的值最大時，點P的坐標為(0，)6如圖1，直線ykxb與雙曲線y(x0)相交于點A(1，m)，B(4，n)，與x軸相交于C點(1)求點A，B的坐標及直線ykxb的解析式；(2)求ABO的面積；(3)如圖2，在x軸上是否存在點P，使得PAPB的和最??？若存在，請說明理由并求出P點坐標解：(1)點A(1，m)，B(4，n)在雙曲線y(x0)上，m4，n1，A(1,4)，B(4,1)，解得直線ykxb的解析式為yx5.(2)如答圖1，設直線AB與y軸交于D點，由(1)知，直線AB的解析式為yx5，C(5,0)，D(0,5)，OC5，OD5.SAOBSCODSAODSBOC×5×5×5×1×5×1.(3)存在，理由：如答圖2，作點B(4,1)關于x軸的對稱點B(4，1)，連接AB交x軸于點P，連接BP，在x軸上取一點Q，連接AQ，BQ.點B與點B關于x軸對稱，點P，Q是BB中垂線上的點，PBPB，QBQB，在AQB中，AQBQAB，APBP的最小值為AB.A(1,4)，B(4，1)，直線AB的解析式為yx，令y0，則0x，解得x，P(，0)7如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，且A(6,0)，D(2，8)(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線AC下方的拋物線上一動點，不與點A，C重合，過點P作x軸的垂線交于AC于點E，求線段PE的最大值及P點坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得ACM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設拋物線的解析式為ya(x2)28，把A(6,0)代入得a(62)280，解得a.拋物線的解析式為y(x2)28，即yx22x6.(2)如答圖，當x0時，yx22x66，則C(0，6)設直線AC的解析式為ykxb，把A(6,0)，C(0，6)分別代入得解得直線AC的解析式為yx6.設P(x，x22x6)(6x0)，則E(x，x6)PEx6(x22x6)x23x(x3)2，當x3時，PE的長度有最大值，最大值為，此時點P的坐標為(3，)(3)存在如答圖，拋物線的對稱軸為直線x2，設M(2，t)A(6,0)，C(0，6)，AC2626272，AM2(26)2t2，CM2(2)2(t6)2.當AC2AM2CM2，ACM為直角三角形，即72(26)2t2(2)2(t6)2，解得t4，此時點M坐標為(2,4)；當AC2CM2AM2時，ACM為直角三角形，即72(2)2(t6)2(26)2t2，解得t8，此時點M的坐標為(2，8)；當CM2AM2AC2時，ACM為直角三角形，即(2)2(t6)2(26)2t272，解得t13，t23，此時點M的坐標為(2，3)或(2，3)綜上所述，點M的坐標為(2,4)或(2，8)或(2，3)或(2，3)8(2018·泰安)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yax2bxc的圖象交x軸于點A(4,0)，B(2,0)，交y軸于點C(0,6)，在y軸上有一點E(0，2)，連接AE.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求ADE面積的最大值；(3)拋物線對稱軸上是否存在點P，使AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由解：(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點A(4,0)，B(2,0)，C(0,6)，解得二次函數(shù)的表達式為yx2x6. (2)由A(4,0)，E(0，2)可得AE所在的直線解析式為yx2，過點D作DFx軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EHDF，垂足為H，如答圖，設D(m，m2m6)，則點F(m，m2)，DFm2m6(m2)m2m8，SADESADFSEDF·DF·AG·DF·EH×DF·(AGHE)×DF×42×(m2m8)(m)2，當m時，SADE最大，最大值為.(3)存在，P點的坐標為(1,1)或(1，±)或(1，2±)【解法提示】yx2x6的對稱軸為直線x1，設P(1，n)，又E(0，2)，A(4,0)，可得PA，PE，AE2，當PAPE時，解得n1，此時P(1,1)；當PAAE時，2，解得n±，此時P點的坐標為(1，±)；當PEAE時，2，解得n2±，此時P點的坐標為(1，2±)，綜上所述，P點的坐標為(1,1)或(1，±)或(1，2±)9如圖，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸相交于點E，連接BD(1)求拋物線的解析式(2)若點P在直線BD上，當PEPC時，求點P的坐標(3)在(2)的條件下，作PFx軸于F，點M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，G為拋物線上一動點，當以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標解：(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，解得即拋物線的解析式為yx22x3.(2)由(1)知，拋物線的解析式為yx22x3，C(0，3)，拋物線的頂點坐標為D(1，4)，E(1,0)設直線BD的解析式為ymxn，解得直線BD的解析式為y2x6.設點P(a，2a6)C(0，3)，E(1,0)，根據(jù)勾股定理得，PE2(a1)2(2a6)2，PC2a2(2a63)2.PCPE，(a1)2(2a6)2a2(2a63)2，解得a2，y2×(2)62，P(2，2)(3)如答圖，作PFx軸于F，F(xiàn)(2,0)設M(d,0)，G(d，d22d3)，N(2，d22d3)以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形，必有FMMG，|d2|d22d3|，解得d或，點M的坐標為(，0)，(，0)，(，0)或(，0)10(2018·岳陽)已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過坐標原點O，且與x軸另一交點為(，0)圖1圖2(1)求拋物線F的解析式；(2)如圖1，直線l：yxm(m0)與拋物線F相交于點A(x1，y1)和點B(x2，y2)(點A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m，設點A是點A關于原點O的對稱點，如圖2.判斷AAB的形狀，并說明理由；平面內(nèi)是否存在點P，使得以點A，B，A，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(0,0)和(，0)，解得拋物線F的解析式為yx2x.(2)將yxm代入yx2x，得x2m，解得x1，x2，y1m，y2m，y2y1(m)(m)(m0)(3)如答圖，m，點A的坐標為(，)，點B的坐標為(，2)點A是點A關于原點O的對稱點，點A的坐標為(，)AAB為等邊三角形理由如下：A(，)，B(，2)，A(，)，AA，AB，AB，AAABAB，AAB為等邊三角形存在AAB為等邊三角形，以點A，B，A，P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為(x，y)如答圖a當AB為對角線時，有解得點P的坐標為(2，)b當AB為對角線時，有解得點P的坐標為(，)c當AA為對角線時，有解得點P的坐標為(，2)綜上所述，平面內(nèi)存在點P，使得以點A，B，A，P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為(2，)，(，)或(，2)11(2018·永州)如圖1，拋物線的頂點A的坐標為(1,4)，拋物線與x軸相交于B，C兩點，與y軸交于點E(0,3)圖1 圖2(1)求拋物線的表達式；(2)已知點F(0，3)，在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EGFG最?。咳绻嬖?，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由(3)如圖2，連接AB，若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線，分別與線段AB，拋物線相交于點M，N(點M，N都在拋物線對稱軸的右側(cè))，當MN最大時，求PON的面積解：(1)設拋物線的表達式為ya(x1)24.把(0,3)代入得3a(01)24，解得a1，故拋物線的表達式為y(x1)24x22x3.(2)存在如答圖1，作E關于對稱軸的對稱點E，連接EF交對稱軸于G，此時EGFG的值最小E(0,3)，E(2,3)，易得直線EF的解析式為y3x3，當x1時，y3×130，G(1,0)圖1 圖2(3)如答圖2，過N作NHx軸于H，交AB于Q，設對稱軸交x軸于D，A(1,4)，B(3,0)，直線AB的解析式為y2x6，設N(m，m22m3)，則Q(m，2m6)(1m3)，NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH，DABNQM.ADBQMN90°，QMNADB，即，MN(m2)2.0，當m2時，MN有最大值過N作NIy軸于I，IPNABD，NIPADB90°，NIPADB，PINIm，OPOIPIm22m3mm2m3，SPONOP·IN(m2m3)·m，當m2時，SPON×(433)×22.12(2018·東營)如圖，拋物線ya(x1)(x3)(a>0)與x軸交于A，B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使OCAOBC(1)求線段OC的長度；(2)設直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)當y0時，a(x1)(x3)0，解得x11，x23，即A(1,0)，B(3,0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC2OA·OB3，則OC.(2)C是BM的中點，即OC為RtOBM斜邊BM的中線，OCBC，點C的橫坐標為.又OC，點C在x軸下方，C(，)設直線BM的解析式為ykxb，把點B(3,0)，C(，)代入，得解得直線BM的解析式為yx.又點C(，)在拋物線上，將C(，)代入拋物線的解析式，解得a，拋物線的解析式為yx2x2.(3)存在如答圖，過點P作PQx軸交直線BM于點Q，設點P的坐標為(x，x2x2)，則Q(x，x)，PQx(x2x2)x23x3，當BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x，當x時，SBCP有最大值，則四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為(，)17