8圓內(nèi)接正多邊形 1 了解正多邊形和圓的有關(guān)概念 2 理解并掌握正多邊形半徑和邊長 邊心距 中心角之間的關(guān)系 會應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識畫多邊形 你還能舉出更多正多邊形的例子嗎 正多邊形 的多邊形叫做正多邊形 正n邊形 如果一個正多邊形有n條邊 那么這個正多邊形叫做正n邊形 三條邊相等 三個角也相等 60 四條邊都相等 四個角也相等 90 各邊相等 各角也相等 菱形是正多邊形嗎 矩形是正多邊形嗎 為什么 求證 正五邊形的對角線相等 想一想 怎樣找圓的內(nèi)接正三角形 怎樣找圓的外切正三角形 怎樣找圓的內(nèi)接正方形 怎樣找圓的外切正方形 怎樣找圓的內(nèi)接正n邊形 怎樣找圓的外切正n邊形 E F G H A B C D 0 例1 把圓分成5等份 求證 依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內(nèi)接正五邊形 經(jīng)過各分點作圓的切線 以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊形 例題 證明 1 AB BC CD DE EA AB BC CD DE EA BCE CDA 3AB 1 2 同理 2 3 4 5 又 頂點A B C D E都在 O上 五邊形ABCDE是 O的內(nèi)接正五邊形 2 連接OA OB OC 則 OAB OBA OBC OCB TP PQ QR分別是以A B C為切點的 O的切線 OAP OBP OBQ OCQ PAB PBA QBC QCB 又 AB BC AB BC PAB與 QBC是全等的等腰三角形 P Q PQ 2PA 同理 Q R S T QR RS ST TP 2PA 五邊形PQRST的各邊都與 O相切 五邊形PQRST是 O的外切正五邊形 把圓分成n n 3 等份 依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形 經(jīng)過各分點作圓的切線 以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形 一個正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓 定理 正三角形有沒有外接圓和內(nèi)切圓 怎樣作出這兩個圓 這兩個圓有什么位置關(guān)系 正方形有沒有外接圓和內(nèi)切圓 怎樣作出這兩個圓 這兩個圓有什么位置關(guān)系 那么 正n邊形呢 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓 并且這兩個圓是同心圓 類比聯(lián)想 定理 以中心為圓心 邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系 O 中心角 半徑R 邊心距r 正多邊形的中心 一個正多邊形的外接圓的圓心 正多邊形的半徑 外接圓的半徑 正多邊形的中心角 正多邊形的每一邊所對的圓心角 正多邊形的邊心距 中心到正多邊形的一邊的距離 A B 以中心為圓心 邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓 O A B G R a 中心角 邊心距把 AOB分成2個全等的直角三角形 設(shè)正多邊形的邊長為a 邊數(shù)為n 圓的半徑為R 它的周長為L na 正多邊形是軸對稱圖形 正n邊形有n條對稱軸 若n為偶數(shù) 則其為中心對稱圖形 1 各邊相等 各角相等 2 圓的內(nèi)接正n邊形的各個頂點把圓分成n等份 3 圓的外切正n邊形的各邊與圓的n個切點把圓分成n等份 4 每個正多邊形都有一個內(nèi)切圓和外接圓 這兩個圓是同心圓 圓心就是正多邊形的中心 正多邊形的性質(zhì) 歸納 5 正多邊形都是軸對稱圖形 如果邊數(shù)是偶數(shù)那么它還是中心對稱圖形 6 正n邊形的中心角和它的每個外角都等于360 n 每個內(nèi)角都等于 n 2 180 n 7 邊數(shù)相同的正多邊形相似 周長比 邊長比 半徑比 邊心距比 對應(yīng)對角線比都等于相似比 面積比等于相似比的平方 在Rt OPC中 OC 4 PC 2 利用勾股定理 可得邊心距 解析 如圖 正六邊形ABCDEF的中心角為60 OBC是等邊三角形 從而正六邊形的邊長等于它的半徑 因此 亭子地基的周長 l 4 6 24 m 亭子地基的面積 O A B C D E F R P r 例2 有一個亭子 它的地基是半徑為4m的正六邊形 求地基的周長和面積 精確到0 1m2 跟蹤訓(xùn)練 分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形 正方形的邊長 邊心距和面積 解析 作等邊 ABC的BC邊上的高AD 垂足為D 連接OB 則OB R 在Rt OBD中 OBD 30 在Rt ABD中 BAD 30 A B C D O AB S ABC 邊心距OD 連接OB OC作OE BC 垂足為E OEB 90 OBE BOE 45 Rt OBE為等腰直角三角形 A B C D O E 1 下列圖形中 正五邊形 等腰三角形 正八邊形 正2n n為自然數(shù) 邊形 任意的平行四邊形 是軸對稱圖形的有 是中心對稱圖形的有 既是中心對稱圖形 又是軸對稱圖形的有 2 兩個正七邊形的邊心距之比為3 4 則它們的邊長比為 面積比為 外接圓周長比是 中心角度數(shù)比是 3 4 9 16 3 4 1 1 3 正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的 4 正方形ABCD的內(nèi)切圓 O的半徑OE叫做正方形ABCD的 5 若正六邊形的邊長為1 那么正六邊形的中心角是 度 半徑是 邊心距是 它的每一個內(nèi)角是 6 正n邊形的一個外角度數(shù)與它的 角的度數(shù)相等 中心 邊心距 60 1 120 中心 7 將一個正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn) 至少要旋轉(zhuǎn)度 才能與原來的圖形位置重合 72 1 正多邊形和圓的有關(guān)概念 正多邊形的中心 正多邊形的半徑 正多邊形的中心角 正多邊形的邊心距 2 正多邊形的半徑 正多邊形的中心角 邊長 正多邊形的邊心距之間的等量關(guān)系 通過本課時的學(xué)習(xí) 需要我們掌握 我的成功只依賴兩條 一條是毫不動搖地堅持到底 一條是用手把腦子里想出的圖形一絲不差地制造出來 蒙日