第二部分專題五1在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)圖1圖2圖3(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明)；連接AC，請(qǐng)你直接寫出ACE為等腰三角形時(shí)CECD的值；(3)如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在直線DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖若AD2，試求出線段CP的最大值解：(1)AEDF，AEDF.理由：四邊形ABCD是正方形，ADDC，ADEDCF90°.動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，DECF.在ADE和DCF中， ADEDCF(SAS)，AEDF，DAEFDCADE90°，ADPCDF90°，ADPDAE90°，APD180°90°90°，AEDF.(2)是，CECD或2.【解法提示】有兩種情況：如答圖1，當(dāng)ACCE時(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長為a.由勾股定理得，ACCEa，則CECDaa ； 如答圖2，當(dāng)AEAC時(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得，ACAEa.四邊形ABCD是正方形，ADC90°，即ADCE，DECDa，CECD2aa2.即CECD或2.圖1 圖2圖3(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持APD90°，點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓上的一段弧如答圖3，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接CQ并延長交圓弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最大在RtQDC中，QC ，CPQCQP 1，即線段CP的最大值是1.2問題探究(1)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M和N分別是邊BC，CD上兩點(diǎn)，且BMCN，連接AM和BN，交于點(diǎn)P.猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論(2)如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC，CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)連接AM和BN，交于點(diǎn)P，求APB周長的最大值；問題解決(3)如圖3，AC是邊長為2的菱形ABCD的對(duì)角線，ABC60°.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)連接AM和BN，交于點(diǎn)P.求APB周長的最大值圖1 圖2圖3解：(1)AMBN.證明：四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABMBCN90°.BMCN，ABMBCN，BAMCBN.CBNABN90°，ABNBAM90°，APB90°，AMBN.(2)如答圖1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AEB，AEB90°，作EFPA于F，作EGPB交PB延長線于G，連接EP.答圖1EFPFPGG90°，四邊形EFPG是矩形，F(xiàn)EGAEB90°，AEFBEG.EAEB，EFAG90°，AEFBEG，EFEG，AFBG，四邊形EFPG是正方形，PAPBPFAFPGBG2PF2EF.EFAE，EF的最大值為AE2 ，APB周長的最大值為44 . (3)如答圖2，延長DA到K，使得AKAB，則ABK是等邊三角形，連接PK，取PHPB，連接BH.答圖2ABBC，ABMBCN，BMCN，ABMBCN，BAMCBN，APNBAMABPCBNABN60°，APB120°.AKB60°，AKBAPB180°，A，K，B，P四點(diǎn)共圓，BPHKAB60°.PHPB，PBH是等邊三角形，KBAHBP，BHBP，KBHABP.BKBA，KBHABP，HKAP，PAPBKHPHPK，當(dāng)PK的值最大時(shí)，APB的周長最大，當(dāng)PK是ABK外接圓的直徑時(shí)，PK的值最大，最大值為4，PAB的周長最大值為2 4.3(2016·貴陽)(1)閱讀理解：如圖1，在ABC中，若AB10，AC6，求BC邊上的中線AD的取值范圍解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DEAD，再連接BE(或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD)，把AB，AC,2AD集中在ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_2<AD<8_.(2)問題解決：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BECF>EF.(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，BD180°，CBCD，BCD140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明圖1圖2 圖3 (1)解：2<AD<8.【解法提示】AD是BC邊上的中線，BDCD在BDE和CDA中， BDECDA(SAS)，BEAC6.在ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得ABBE<AE<ABBE，106<AE<106，即4<AE<16，2<AD<8.(2)證明：如答圖1，延長FD至點(diǎn)M，使DMDF，連接BM，EM，答圖1同(1)得，BMDCFD(SAS)，BMCF.DEDF，DMDF，EMEF.在BME中，由三角形的三邊關(guān)系得BEBM>EM，BECF>EF.(3)解：BEDFEF.理由如下：如答圖2，延長AB至點(diǎn)N，答圖2使BNDF，連接CN.ABCD180°，NBCABC180°，NBCD在NBC和FDC中， NBCFDC(SAS)，CNCF，NCBFCDBCD140°，ECF70°，BCEFCD70°，ECN70°ECF.在NCE和FCE中， NCEFCE(SAS)，ENEF.BEBNEN，BEDFEF.4(2018·湖北)問題：如圖1，在RtABC中，ABAC，D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為_BCDCEC_；探索：如圖2，在RtABC與RtADE中，ABAC，ADAE，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45°.若BD9，CD3，求AD的長圖1圖2圖3解：(1)BCDCEC【解法提示】BACDAE90°，BACDACDAEDAC，即BADCAE.在BAD和CAE中，BADCAE(SAS)，BDCE，BCBDCDECCD，即BCDCEC(2)BD2CD22AD2.證明：如答圖1，連接CE.由(1)得BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90°，CE2CD2ED2.在RtADE中，ADAE，DAE90°，DE22AD2.BD2CD22AD2.答圖1答圖2(3)如答圖2，作AEAD，使AEAD，連接CE，DE.BACCADDAECAD，BADCAE，在BAD和CAE中， BADCAE(SAS)，CEBD9.ADC45°，EDA45°，EDC90°，DE6 .DAE90°，ADAEDE6.5(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，EAF45°，連接EF，則EFBEDF，試說明理由；(2)類比引申：如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF45°，若B，D都不是直角，則當(dāng)B與D滿足等量關(guān)系_BD180°_時(shí)，仍有EFBEDF；(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在ABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且DAE45°，猜想BD，DE，EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程圖1圖2圖3解：(1)如答圖1.ABAD，把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，使AB與AD重合ADCB90°，F(xiàn)DG180°，即點(diǎn)F，D，G共線，則DAGBAE，AEAG，F(xiàn)AGFADGADFADBAE90°45°45°EAF，即EAFFAG.在EAF和GAF中，EAFGAF(SAS)，EFFGBEDF. 圖1 圖2(2)BD180°.【解法提示】ABAD，如答圖2，把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG，使AB與AD重合，BAEDAG.BAD90°，EAF45°，BAEDAF45°，DAGDAF45°，EAFFAG.ADCB180°，F(xiàn)DG180°，即點(diǎn)F，D，G共線在AFE和AFG中，AFEAFG(SAS)，EFFG，即EFBEDF.故BADC180°.答圖3(3)BD2CE2DE2.推理過程：如答圖，把ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到ABF的位置，連接DF，則FABCAE.BAC90°，DAE45°，BADCAE45°.FABCAE，F(xiàn)ADDAE45°.在ADF和ADE中，ADFADE(SAS)，DFDE.CABF45°，DBF90°，BDF是直角三角形，BD2BF2DF2，BD2CE2DE2.6(2018·衡陽)如圖，在RtABC中，C90°，ACBC4 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1 cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以 cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上？(2)是否存在某一時(shí)刻t，使APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設(shè)四邊形QNCP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式解：(1)如答圖1，連接BP.答圖1在RtACB中，ACBC4，C90°，AB4.點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，BPBQ.AQ t，CPt，BQ4t，PB242t2 ，(4t)216t2，解得t84或84(舍去)，當(dāng)t(84)s時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上(2)存在如答圖2，當(dāng)PQQA時(shí)，易知APQ是等腰直角三角形，AQP90°，則有PAAQ，4t·t，解得t；存在如答圖3，當(dāng)APPQ時(shí)，易知APQ是等腰直角三角形，APQ90°，則有AQAP，t(4t)，解得t2.綜上所述，當(dāng)t s或2 s時(shí)，APQ是以PQ為腰的等腰三角形圖2 圖3(3)如答圖4，連接QC，作QEAC于E，作QFBC于F.則QEAE，QFEC，可得QEQFAEECAC4，答圖4SSQNCSPCQCN·QFPC·QEt(QEQF)2t(0<t<4). 7(2018·婁底)如圖，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OAOC，OBOD，過O點(diǎn)作EFBD，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：AOECOF；(2)判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由(1)證明：OAOC，OBOD，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，EAOFCO.在AOE和COF中，AOECOF(ASA)(2)解：四邊形BEDF是菱形理由如下：AOECOF，AECF.ADBC，DEBF.DEBF，四邊形BEDF是平行四邊形OBOD，EFBD，EBED，四邊形BEDF是菱形10