第二部分 專題六 類型一 1．(2018·江西樣卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2＋2mx＋n經(jīng)過P(，5)，A(0,2)兩點． (1)求此拋物線的解析式； (2)設(shè)拋物線的頂點為B，將直線AB沿y軸向下平移兩個單位得到直線l，直線l與拋物線的對稱軸交于C點，求直線l的解析式； (3)在拋物線上是否存在一個點P，使P點與A，C兩點構(gòu)成等邊三角形？如果不存在，說明理由；如果存在，試求出它的坐標(biāo)． 　　 解：(1)根據(jù)題意得解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋x＋2. (2)由y＝x2＋x＋2，得拋物線的頂點坐標(biāo)為B(－，1)． 依題意，可得C(－，－1)，且直線l過原點． 設(shè)直線l的解析式為y＝kx， 則－k＝－1，解得k＝， ∴直線l的解析式為y＝x. (3)存在點P(－2，2)，使得△PAC為等邊三角形． 如答圖，連接AC， ∵A，B，C三點的坐標(biāo)為(0,2)，(－，1)，(－，－1)， ∴AB＝OA＝2，OC＝2，AC＝2. ∴tan∠BAO＝＝，∠BAO＝60°. 又∵AB∥l ，BC平行于y軸， ∴四邊形ABCO是菱形，∠CAO＝30°. 故要使△PAC為等邊三角形，只要使∠PAC＝60°，PA＝AC. 過A點作x軸的平行線，交拋物線于點P，則有∠PAC＝60°. ∵拋物線的對稱軸為x＝－，A點的坐標(biāo)為(0,2)，A點與P點關(guān)于對稱軸對稱， ∴PA＝2＝AC.即存在點P(－2，2)使得△PAC為等邊三角形． 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x＝1交x軸于點B.連接EC，AC.點P，Q為動點，設(shè)運(yùn)動時間為t秒． (1)填空：點A坐標(biāo)為 (1,4)；拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4_. (2)在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運(yùn)動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，△PCQ為直角三角形？ (3)在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運(yùn)動，過點P作PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ.當(dāng)t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？ 解：(1)∵拋物線的對稱軸為x＝1，矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)，點A在DE上，∴點A坐標(biāo)為(1,4)， 設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，把C(3,0)代入拋物線的解析式， 可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1. 故拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4. (2)依題意有OC＝3，OE＝4， ∴CE＝＝＝5， 當(dāng)∠QPC＝90°時，∵cos∠QCP＝＝， ∴＝，解得t＝； 當(dāng)∠PQC＝90°時，∵cos∠QCP＝＝， ∴＝，解得t＝. ∴當(dāng)t＝或t＝時，△PCQ為直角三角形． (3)∵A(1,4)，C(3,0)， 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，則 解得 故直線AC的解析式為y＝－2x＋6. ∵P(1,4－t)，將y＝4－t代入y＝－2x＋6中，得x＝1＋，∴Q點的橫坐標(biāo)為1＋， 將x＝1＋代入y＝－(x－1)2＋4中，得y＝4－. ∴Q點的縱坐標(biāo)為4－， ∴QF＝(4－)－(4－t)＝t－， ∴S△ACQ＝S△AFQ＋S△CFQ＝FQ·AG＋FQ·DG＝FQ(AG＋DG)＝FQ·AD＝×2×(t－)＝－＋t＝－(t－2)2＋1， ∴當(dāng)t＝2時，△ACQ的面積最大，最大值是1. 3．(2017·景德鎮(zhèn)二模)如圖，拋物線C1：y1＝tx2－1(t＞0)和拋物線C2：y2＝－4(x－h(huán))2＋1(h≥1)． (1)兩拋物線的頂點A，B的坐標(biāo)分別為 (0，－1)和 (h,1)； (2)設(shè)拋物線C2的對稱軸與拋物線C1交于點N，則t為何值時，A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形； (3)設(shè)拋物線C1與x軸的左交點為點E，拋物線C2與x軸的右邊交點為點F，試問，在第(2)問的前提下，四邊形AEBF能否為矩形？若能，求出h值；若不能，說明理由． 解：(1)拋物線C1：y1＝tx2－1的頂點坐標(biāo)是(0，－1)， 拋物線C2：y2＝－4(x－h(huán))2＋1的頂點坐標(biāo)是(h,1)． (2)∵AM∥BN， ∴當(dāng)AM＝BN時，A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形． ∵當(dāng)x＝h時，y2＝1，y1＝tx2－1＝th2－1， ∴BN＝|1－(th2－1)|＝|2－th2|. ①當(dāng)點B在點N的下方時，4h2－2＝th2－2， ∵h(yuǎn)2≠0，∴t＝4； ②當(dāng)點B在點N的上方時，4h2－2＝2－th2， 整理，得t＋4＝， ∵當(dāng)t＞0時，t＋4＞4；當(dāng)h≥1時，≤4， ∴這樣的t值不存在， ∴當(dāng)點B在點N的下方時，t＝4； 當(dāng)點B在點N的上方時t值不存在． (3)能，理由如下：由(2)可知，兩個函數(shù)二次項系數(shù)互為相反數(shù)， ∴兩拋物線的形狀相同，故它們成中心對稱． ∵點A和點B的縱坐標(biāo)的絕對值相同， ∴兩拋物線的對稱中心落在x軸上． ∵四邊形AEBF是平行四邊形， ∴當(dāng)∠EAF＝90°時，四邊形AFBE是矩形． ∵拋物線C1與x軸左交點坐標(biāo)是(－，0)，∴OE＝. ∵拋物線C2與x軸右交點坐標(biāo)是(h＋，0)且h≥1，∴OF＝h＋. ∵∠FAO＋∠EAO＝90°，∠EAO＋∠AEO＝90°， ∴∠FAO＝∠AEO. 又∵∠FOA＝∠EOA＝90°， ∴△AEO∽△FAO，＝， ∴OA2＝OE·OF，即(h＋)＝1，解得h＝＞1， ∴當(dāng)h＝時，四邊形AEBF為矩形. 4