基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中 為外接圓的半徑解應(yīng)用題的一般步驟解應(yīng)用題的一般步驟1.審題理解題意,明確背景,熟悉已知條件,了解所需要的條件(或量),明確試題的所求內(nèi)容.2.建立數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.3.解答數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題.4.總結(jié)與問題所求量進(jìn)行聯(lián)系,總結(jié)作答.:多應(yīng)用實(shí)際測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.(2)測量高度.)3(測量角度測量問題：測量問題：1 1、水平距離的測量、水平距離的測量兩點(diǎn)間不能到達(dá)，又不能相互看到。 需要測量CB、CA的長和角C的大小，由余弦定理， 可求得AB的長。 2222cosABCACBCA CBC兩點(diǎn)能相互看到，但不能到達(dá)。 需要測量BC的長、角B和角C的大小，由三角形的內(nèi)角和，求出角A然后由正弦定理， 可求邊AB的長。sinsinABBCCA例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出測出AC的距離是的距離是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm例例2.A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法。量兩點(diǎn)間的距離的方法。解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得，測得CD=a,并并且在且在C、D兩點(diǎn)分別測得兩點(diǎn)分別測得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得計算出計算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計中，應(yīng)用余弦定理計算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC思考思考? ?如何測量地球與月亮之間如何測量地球與月亮之間的距離的距離?AB 背景背景資料資料早在早在1671年年,兩位法國天文學(xué)家為了測量地兩位法國天文學(xué)家為了測量地球與月球之間的距離球與月球之間的距離,利用幾乎位于同一子利用幾乎位于同一子午線的柏林與好望角午線的柏林與好望角,測量計算出測量計算出,的大小的大小和兩地之間的距離和兩地之間的距離,從而算出了地球與月球從而算出了地球與月球之間的距離約為之間的距離約為385400km.解三角形應(yīng)用題中的幾個角的概念解三角形應(yīng)用題中的幾個角的概念1、仰角、俯角的概念：、仰角、俯角的概念：在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角。如圖：2、方向角：、方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫方向角，如圖 練習(xí)練習(xí)1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點(diǎn) 到直線的距離為則此船可以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個怎樣的三角）例題中涉及一個怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)與車廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長約長1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 測量垂直高度測量垂直高度 1 1、底部可以到達(dá)的；、底部可以到達(dá)的； 測量出角測量出角C C和和BCBC的長度，解直的長度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的長。的長。 2 2、底部不能到達(dá)的、底部不能到達(dá)的 測量邊測量邊CDCD，測量，測量CC和和ADBADB， .,. 3的方法物高度設(shè)計一種測量建筑為建筑物的最高點(diǎn)不可到達(dá)的一個建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識，只要能直角三角形的知識，只要能測出一點(diǎn)測出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測出由點(diǎn)并測出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計算的仰角，就可以計算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識測出法借助解三角形的知識測出CA的長的長。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測角儀器測得兩點(diǎn)用測角儀器測得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測角儀測角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測得在塔底的俯角面上一點(diǎn)處測得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計算出法計算出AB或或AC的長的長)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到后到達(dá)達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.分析：要測出高分析：要測出高CD,只要只要測出高所在的直角三角形測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以長。根據(jù)已知條件，可以計算出計算出BC的長。的長。例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到后到達(dá)達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應(yīng)該沿怎樣的方向出發(fā)到達(dá)航行直接從如果下次后到達(dá)海島的方向航行東沿北偏出發(fā)然后從后到達(dá)海島航行的方向沿北偏東出發(fā)一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC 解：如圖，在解：如圖，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 1.我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西由島沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時的速度航行問我艦需小時的速度航行問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？小時追上敵艦？CB405010 我艦的追擊速度為我艦的追擊速度為14海里海里/小時，小時，28 BC 練習(xí)練習(xí)又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：1435sinsinsinsin BCAACBABCBAC故故 38B故我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|故我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|503812;sinsinsin222222CBAcba例例9 9、在ABC中，求證：（1） （2）)coscoscos( 2222CabBcaAbccba總總 結(jié)結(jié)實(shí)際問題實(shí)際問題抽象概括抽象概括示意圖示意圖數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型推理推理演算演算數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解實(shí)際問題的解還原說明還原說明