2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 植樹問題綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹、種花的棵數(shù)是最簡單、最基本的“植樹問題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹問題”來解，或借助解“植樹問題”的思考方法來解。先介紹四類最簡單、最基本的植樹問題。為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。顯然，只有下面四種情形：(1)非封閉線的兩端都有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”“段數(shù)”1。(2)非封閉線只有一端有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。(3)非封閉線的兩端都沒有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”“段數(shù)”-1。(4)封閉線上，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。最簡單、最基本的植樹問題只有這四類情形。例如，一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？這是第(1)種情形，所以要栽樹420÷31141(棵)。又如，肖林家門口到公路邊有一條小路，長40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？由于門的一端不能栽樹，公路邊要栽樹，所以，屬于第(2)種情形，要栽樹40÷220(棵)。再如，兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，一直行能栽多少棵樹？因緊挨樓房的墻根不能栽樹，所以，屬于第(3)種情形，能栽樹30÷2-114(棵)。再例如，一個(gè)圓形水池的圍臺(tái)圈長60米。如果在此臺(tái)圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？這屬于第(4)種情形，共能放花60÷320(盆)。許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹問題求解。例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長多少米？解：這是第(1)種情形，所以，“段數(shù)”1019。這段路長為50×(10-1)450(米)。答：這段路長450米。例2小明要到高層建筑的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計(jì)算，他還需走多少秒？分析：因?yàn)?層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷(51)25(秒)。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需25×6150(秒)。解：100÷(5-1)×(11-5)150(秒)。答：還需150秒。例3一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過535米長的檢閱場地，需要多少時(shí)間？解：車隊(duì)間隔共有30-129(個(gè))，每個(gè)間隔5米，所以，間隔的總長為(30-1)×5145(米)，而車身的總長為30×4120(米)，故這列車隊(duì)的總長為(30-1)×5+30×4265(米)。由于車隊(duì)要行265535800(米)，且每秒行2米，所以，車隊(duì)通過檢閱場地需要(265535)÷2400(秒)6分40秒。答：這列車隊(duì)共長265米，通過檢閱場地需要6分40秒。例4下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？解：如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長6毫米)。根據(jù)植樹問題的第(3)種情形知，五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-14(個(gè))，所以重疊部分的長為6×(5-1)24(毫米)，又4厘米=40毫米，所以五個(gè)鐵環(huán)連在一起長40×5-6×(51)176(毫米)。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為40×10-6×(10-1)=346(毫米)。答：五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為176毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為346毫米。例5父子倆一起攀登一個(gè)有300個(gè)臺(tái)階的山坡，父親每步上3個(gè)臺(tái)階，兒子每步上2個(gè)臺(tái)階。從起點(diǎn)處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺(tái)階？(重復(fù)踏的臺(tái)階只算一個(gè))。解：因?yàn)閮啥说呐_(tái)階只有頂?shù)呐_(tái)階被踏過，根據(jù)已知條件，兒子踏過的臺(tái)階數(shù)為300÷2150(個(gè))，父親踏過的臺(tái)階數(shù)為300÷3100(個(gè))。由于2×3=6，所以父子倆每6個(gè)臺(tái)階要共同踏一個(gè)臺(tái)階，共重復(fù)踏了300÷650(個(gè))。所以父子倆共踏了臺(tái)階150100-50200(個(gè))。答：父子倆共踏了200個(gè)臺(tái)階。   練習(xí)1.學(xué)校有一條長60米的走道，計(jì)劃在道路一旁栽樹。每隔3米栽一棵。(1)如果兩端都各栽一棵樹，那么共需多少棵樹苗？(2)如果兩端都不栽樹，那么共需多少棵樹苗？(3)如果只有一端栽樹，那么共需多少棵樹苗？2.一個(gè)長100米，寬20米的長方形游泳池，在離池邊3米的外圍圈(仍為長方形)上每隔2米種一棵樹。共種了多少棵樹？3.一根90厘米長的鋼條，要鋸成9厘米長的小段，一共要鋸幾次？4.測(cè)量人員測(cè)量一條路的長度。先立了一個(gè)標(biāo)桿，然后每隔40米立一根標(biāo)桿。當(dāng)立桿10根時(shí)，第1根與第10根相距多少米？5.學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。參加入場式的儀仗隊(duì)共180人，每6人一行，前后兩行間隔120厘米。這個(gè)儀仗隊(duì)共排了多長？6.在一條長1200米的河堤邊等距離植樹(兩端都要植樹)。已挖好每隔6米植一棵樹的坑，后要改成每隔4米植一棵樹。還要挖多少個(gè)坑？需要填上多少個(gè)坑？7.一個(gè)車隊(duì)以5米/秒的速度緩緩地通過一座210米長的大橋，共用100秒。已知每輛車長5米，兩車之間相隔10米，那么這個(gè)車隊(duì)共有多少輛車？附送：2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 橫式數(shù)字謎（一）在一個(gè)數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分?jǐn)?shù)字，或用字母、文字來代替部分?jǐn)?shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。例如，求算式324+=528中所代表的數(shù)。根據(jù)“加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”知，=582-324258。又如，求右豎式中字母A，B所代表的數(shù)字。顯然個(gè)位數(shù)相減時(shí)必須借位，所以，由12-B5知，B12-57；由A-13知，A314。解數(shù)字謎問題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力，又能加深對(duì)運(yùn)算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則：(1)一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)=和；(2)被減數(shù)-減數(shù)=差；(3)被乘數(shù)×乘數(shù)=積；(4)被除數(shù)÷除數(shù)=商。由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則：由(1)，得 和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)；其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如，8可用加法拆分為80817263544；24可用乘法拆分為241×24=2×123×84×6(兩個(gè)數(shù)之積)=1×2×122×2×6=(三個(gè)數(shù)之積)=1×2×2×62×2×2×3=(四個(gè)數(shù)之積)例1 下列算式中，*各代表什么數(shù)？(1)+513-6； (2)28-157；(3)3×=54； (4)÷387；(5)56÷*7。解：(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知，=13-6-52；(2)由減法運(yùn)算規(guī)則知，28-(157)6；(3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知，54÷318；(4)由除法運(yùn)算規(guī)則知，=87×3261；(5)由除法運(yùn)算規(guī)則知，*56÷78。例2 下列算式中，各代表什么數(shù)？(1)+=48；(2)621-；(3)5×-18÷612；(4)6×3-45÷13。解：(1)表示一個(gè)數(shù)，根據(jù)乘法的意義知，+=×3，故=48÷316。(2)先把左端(6)看成一個(gè)數(shù)，就有(6)21，×321-6，15÷35。(3)把5×，18÷6分別看成一個(gè)數(shù)，得到5×=1218÷6，5×=15，=15÷53。(4)把6×3，45÷分別看成一個(gè)數(shù)，得到45÷6×3-13，45÷5，45÷59。例3(1)滿足5812×71的整數(shù)等于幾？(2)180是由哪四個(gè)不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)按從小到大的次序填在下式的里。180=×××。(3)若數(shù)，滿足×=48和÷=3，則，各等于多少？分析與解：(1)因?yàn)?8÷12410，71÷12511，并且為整數(shù)，所以，只有=5才滿足原式。(2)拆分180為四個(gè)整數(shù)的乘積有很多種方法，如1801×4×5×91×2×3×30但拆分成四個(gè)“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如1802×2×5×92×3×5×6若再限制拆分成四個(gè)“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：1802×3×5×6。所以填的四個(gè)數(shù)字依次為2，3，5，6。(3)首先，由÷=3知，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時(shí)，有4848×124×216×312×48×6，其中，只有4812×4中，12÷4=3，因此=12，=4。這道題還可以這樣解：由÷=3知，=×3。把×=48中的換成×3，就有(×3)×48，于是得到×=48÷316。因?yàn)?64×4，所以=4。再把=×3中的換成4，就有=×3=4×3=12。這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。下面，我們?cè)俳Y(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號(hào)”問題。例4 在等號(hào)左端的兩個(gè)數(shù)中間添加上運(yùn)算符號(hào)，使下列各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因?yàn)?44424，所以必須填一個(gè)“×”。4×416，剩下的兩個(gè)4只需湊成8，因此，有如下一些填法：4×44424；44×4424；444×424。(2)因?yàn)?+1=6，等號(hào)左端有五個(gè)5，除一個(gè)5外，另外四個(gè)5湊成1，至少要有一個(gè)“÷”，有如下填法：5÷5+5-5+56；55÷55-56；55×5÷5÷5=6；55÷5×5÷56。由例4看出，填運(yùn)算符號(hào)的問題一般會(huì)有多個(gè)解。這些填法都是通過對(duì)問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：8 2 33 3。分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法：3+36； 3-30；3×39； 3÷3=1。再考察左端“8 2 3”，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“×”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法：8-233×3；8÷2-33÷3。填運(yùn)算符號(hào)可加深對(duì)四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí)，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。