變換和操作（A）年級 班 姓名 得分 一、填空題 1. 黑板上寫著8,9,10,11,12,13,14七個數,每次任意擦去兩個數,再寫上這兩個數的和減1.例如,擦掉9和13,要寫上21.經過幾次后,黑板上就會只剩下一個數,這個數是_.2. 口袋里裝有99張小紙片,上面分別寫著199.從袋中任意摸出若干張小紙片,然后算出這些紙片上各數的和,再將這個和的后兩位數寫在一張新紙片上放入袋中.經過若干次這樣的操作后,袋中還剩下一張紙片,這張紙片上的數是_.3. 用110十個數隨意排成一排.如果相鄰兩個數中,前面的大于后面的,就將它們變換位置.如此操作直到前面的數都小于后面的數為止.已知10在這列數中的第6位,那么最少要實行_次交換.最多要實行_次交換.4. 一個自然數,把它的各位數字加起來得到一個新數,稱為一次變換,例如自然數5636,各位數字之和為5+6+3+6=20,對20再作這樣的變換得2+0=2.可以證明進行這種變換的最后結果是將這個自然數,變成一個一位數.對數123456789101112272829作連續(xù)變換，最終得到的一位數是_.5. 5個自然數和為100,對這5個自然數進行如下變換,找出一個最小數加上2,找出一個最大數減2.連續(xù)進行這種變換,直至5個數不發(fā)生變化為止,最后的5個數可能是_.6. 在黑板上寫兩個不同的自然數,擦去較大數,換成這兩個數的差,我們稱之為一次變換.比如(15,40),40-15=25,擦去40,寫上25,兩個數變成(15,25),對得到的兩個數仍然可以繼續(xù)作這樣的變換,直到兩個數變得相同為止,比如對(15,40)作這樣的連續(xù)變換: (15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).對(1024,1111)作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個相同的 20個1數是_.7. 在一塊長黑板上寫著450位數123456789123456789（將123456789重復50次）.刪去這個數中所有位于奇數位上的數字:再刪去所得的數中所有位于奇數位上的數字:再刪去，并如此一直刪下去.最后刪去的數字是_.8. 將100以內的質數從小到大排成一個數字串,依次完成以下五項工作叫做一次操作: 將左邊第一個數碼移到數字串的最右邊； 從左到右兩位一節(jié)組成若干這兩位數； 劃去這些兩位數中的合數； 所剩的兩位質數中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去； 所余的兩位質數保持數碼次序又組成一個新的數字串。 經過1997次操作，所得的數字串是_.9. 一個三角形全涂上黑色,每次進行一次操作,即把全黑三角形分成四個全等的小三角形,中間的小正三角形涂上白色,經過5次操作后,黑色部分是整個三角形的_. (1) (2)10. 口袋里裝著分別寫有1,2,3,，135的紅色卡片各一張，從口袋里任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數的和除以17的余數，再把這個余數寫在另一張黃色的卡片上放回口袋內.經過若干次這樣的操作后，口袋內還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片.已知這兩張紅色卡片上寫的數分別是19和97.那么這張黃色卡片上寫的數是_.二、解答題11請說明例1中，對1980的連續(xù)變換中一定會出現(xiàn)重復.對其它的數作連續(xù)變換是不是也會如此?12. 將33方格紙的每一個方格添上奇數或偶數,然后進行如下操作:將每個方格里的數換成與它有公共邊的幾個方格里的數的和,問是否可以經過一定次數的操作,使得所有九個方格里的數都變成偶數?如果可以,需要幾次?13. 在左下圖中,對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1或減1算作一次操作,經過若干次操作后變?yōu)橄聢D.問:下圖A格中的數字是幾?為什么?0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 114. 在19971997的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個按鈕,按鈕每按一次,與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài),即由亮變不亮,不亮變亮.如果原來每盞燈都是不亮的,請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?答 案 1. 71所剩之數等于原來的七個數之和減6,故這個數是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.2. 50每次操作都不改變袋中所有數之和除以100的余數,所以最后一張紙片上的數等于199的和除以100的余數.(1+2+99)100=100 =4950100 =49100+50 故這張紙片上的數是50.3. 4次；40次.當排列順序為1,2,3,4,5,10,6,7,8,9時,交換次數最少,需交換4次；當排列順序為9，8，7，6，5，10，4，3，2，1時，交換次數最多，需交換40次.4. 3 一個整數被9除的余數等于它的各位數字之和被9除的余數,如果這個整數不是9的倍數,就可以根據這一點來確定題目要求的一位數.(1+2+9)3+110+210被9除余3，可見最終得到的一位數是3.5. 20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21或19,19,20,21, 21. 仿例2，5個數的差距會越來越小，最后最大與最小數最多差2.最終的5個數可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21.6. 1變換中的兩個數,它們的最大公約數始終末變,是后得到的兩個相同的數即為它們的最大公約數.因為1024=210,而111 20個1沒有質因子2，它們是互質的.所以最后得到的兩個相同的數是1. 7. 4事實上,在第一次刪節(jié)之后.留下的皆為原數中處于偶數位置上的數；在第二次刪節(jié)之后，留下的數在原數中所處的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次刪節(jié)之后,原數中只留下處于第28k=256k號位置上的數,這樣的數在所給的450位數中只有一個,即第256位數.由于256=928+4,所以該數處于第29組“123456789”中的第4個位置上.即為4. 8. 1731第1次操作得數字串711131131737；第2次操作得數字串11133173；第3次操作得數字串111731；第4次操作得數字串1173；第5次操作得數字串1731第6次操作得數字串7311；第7次操作得數字串3117；第8次操作得數字串1173；以下以4為周期循環(huán)，即4k次操作均為1173.1996=4499,所以第1996次操作得數字串1173,因此第1997次操作得數字串1731.9. 每一次黑三角形個數為整個的,所以5次變換為=10. 3卡片上的數字之和除以17的余數始終不變.(1+2+3+135)17=918017=540.(19+97)17=11617=614，因為黃色卡片上的數都小于17，所以黃色卡片上的數是17-14=3.11. 對1980的連續(xù)變換中,每個數都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之內必定會出現(xiàn)重復,對其它的數作連續(xù)變換也會如此.12. 如圖,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9個方格內的數字,0代表偶數.a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+id e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+fg h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0 g+c+a+i 0 g+c+a+i 0 0 0 d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0可見經過四次操作后,所有九個方格中的數全變?yōu)榕紨?13. 每次操作都是在相鄰的兩格,我們將相鄰的兩格染上不同的顏色(如右下圖),因為每次操作總是一個黑格與一個白格同時加1或減1,所以無論進行多少次操作,白格內的數字之和減去黑格內的數字之和總是常數.由原題左圖知這個常數是8,再由原題右圖可得(A+7)-8=8,由此解得A=9. 14. 1997次將第一列中的每一格都按一次,則除第一列外,每格的燈都只改變一次狀態(tài),由不亮變亮.而第一列每格的燈都改變1997次狀態(tài),由不亮變亮.如果少于1997次,則至少有一列和至少有一行沒有被按過,位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀,即不亮的狀態(tài).