27.2.1三角形相似 第3課時(shí) 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 1．如圖，在正方形網(wǎng)格上，若使△ABC∽△PBD，則點(diǎn)P應(yīng)在() A．P1B．P2 C．P3 D．P4 2．如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，則有() A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 3．如圖，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，AC＝3AD，AB＝3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件： ,可以使得△FDB∽△ADE. 4．如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BD上，且＝＝. (1)試問(wèn)：∠BAE與∠CAD相等嗎？為什么？ (2)試判斷△ABE與△ACD是否相似？并說(shuō)明理由． 5.如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F.求證：AC·CF＝BC·DF. 6. 如圖所示，BC⊥CD于點(diǎn)C，BE⊥DE于點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的長(zhǎng)． 7. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△ABC和△PQC相似？ 參考答案 1. C 2. B 3.＝ 4.解：(1)∠BAE與∠CAD相等． 理由：∵＝＝， ∴△ABC∽△AED. ∴∠BAC＝∠EAD. ∴∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF，即∠BAE＝∠CAD. (2)△ABE與△ACD相似． ∵＝， ∴＝. 又∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD. 5.解析：先證明△ADC∽△CDB可得＝，再結(jié)合條件證明△FDC∽△FAD，可得＝，則可證得結(jié)論． 證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°， ∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB， ∴＝. ∵E為BC的中點(diǎn)，CD⊥AB， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCE， ∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD， ∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FAD， ∴＝， ∴＝， ∴AC·CF＝BC·DF. 方法總結(jié)：證明等積式或比例式的方法：把等積式或比例式中的四條線(xiàn)段分別看成兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，然后證明兩個(gè)三角形相似，得到要證明的等積式或比例式 6.解析：因?yàn)锳C＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AD. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝＝＝5. ∵BC⊥CD，BE⊥DE， ∴∠C＝∠E， 又∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝， 解得AD＝， ∴CD＝AD＋AC＝＋3＝. 方法總結(jié)：利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計(jì)算時(shí)，應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解． 7.解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，設(shè)AB為5xcm，則AC＝3xcm， 在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根據(jù)勾股定理得25x2＝9x2＋64， 解得x＝2或x＝－2(舍去)， ∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm. 設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△ABC和△PQC相似， 則有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm， 分兩種情況： ①當(dāng)△ABC∽△PQC時(shí)，有＝，即＝，解得t＝； ②當(dāng)△ABC∽△QPC時(shí)，有＝，即＝，解得t＝.綜上可知，經(jīng)過(guò)或秒△ABC和△PQC相似． 方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同，分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來(lái)解決問(wèn)題． 6