專題12 二次函數(shù) 專題知識回顧 1二次函數(shù)的概念：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。2.二次函數(shù)y=ax2 +bx+c(a0)的圖像與性質(zhì)yxO（1）對稱軸：（2）頂點坐標(biāo)：（3）與y軸交點坐標(biāo)（0，c）（4）增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減?。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小。3.二次函數(shù)的解析式三種形式。（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a0).已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式 已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。（3）交點式 已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式。4根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號（1）a 確定開口方向 ：當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下。（2）b 對稱軸與a 左同右異。（3）拋物線與y軸交點坐標(biāo)（0，c）5二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點的橫坐標(biāo)x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）的根。拋物線y=ax2 +bx+c，當(dāng)y=0時，拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2 +bx+c=0>0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點；=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個交點；<0時，一元二次方程有不等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點。6函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.圖像平移步驟（1）配方為： ，確定頂點（h,k）（2）對x軸， 左加右減；對y軸， 上加下減。7.二次函數(shù)的對稱性二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一個結(jié)論：當(dāng)橫坐標(biāo)為x1, x2 其對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，那么對稱軸專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北荊州）二次函數(shù)y2x24x+5的最大值是 【答案】7【解析】y2x24x+52（x+1）2+7，即二次函數(shù)yx24x+5的最大值是7，故答案為：7【例題2】（2019廣西賀州）已知拋物線的對稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，下列說法中：；當(dāng)時，正確的是（填寫序號）【答案】【解析】根據(jù)圖象可得：，對稱軸：，故正確；把代入函數(shù)關(guān)系式中得：，由拋物線的對稱軸是直線，且過點，可得當(dāng)時，故錯誤；，即：，故正確；由圖形可以直接看出正確故答案為：【例題3】（2019貴州省畢節(jié)市）某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元試銷階段每袋的銷售價x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表：x（元）152030y（袋）252010若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，試求：（1）日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式即可；利用每件利潤×總銷量總利潤，進而求出二次函數(shù)最值即可（1） 依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為ykx+b得，解得故日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：yx+40（2）依題意，設(shè)利潤為w元，得w（x10）（x+40）x2+50x+400整理得w（x25）2+22510當(dāng)x2時，w取得最大值，最大值為225故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤是225元 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019廣西河池）如圖，拋物線的對稱軸為直線，則下列結(jié)論中，錯誤的是ABCD【答案】【解析】由拋物線的開口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸的交點判斷與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.由拋物線的開口向下知，與軸的交點在軸的正半軸上，可得，因此，故本選項正確，不符合題意；.由拋物線與軸有兩個交點，可得，故本選項正確，不符合題意；.由對稱軸為，得，即，故本選項錯誤，符合題意；.由對稱軸為及拋物線過，可得拋物線與軸的另外一個交點是，所以，故本選項正確，不符合題意故選：2.（2019哈爾濱）將拋物線向上平移3個單位長度,再向右平移2個單位長度,所得到的拋物線為（ ）A BC D【答案】B【解析】將拋物線y2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為y2（x2）2+3，故選B3.（2019湖北咸寧）已知點A（1，m），B（1，m），C（2，mn）（n0）在同一個函數(shù)的圖象上，這個函數(shù)可能是（）AyxBy=-2xCyx2Dyx2【答案】D【解析】A（1，m），B（1，m），點A與點B關(guān)于y軸對稱；由于yx，y=-2x的圖象關(guān)于原點對稱，因此選項A、B錯誤；n0，mnm；由B（1，m），C（2，mn）可知，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，對于二次函數(shù)只有a0時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，D選項正確。4.（2019年陜西省）已知拋物線，當(dāng)時，且當(dāng)時， y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】C【解析】根據(jù)“當(dāng)時，”，得到一個關(guān)于m不等式，在根據(jù)拋物線，可知拋物線開口向上，再在根據(jù)“當(dāng)時， y的值隨x值的增大而減小”，可知拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)或者是直線，從而列出第二個關(guān)于m的不等式，兩個不等式聯(lián)立，即可解得答案因為拋物線，所以拋物線開口向上因為當(dāng)時，所以 ，因為當(dāng)時， y的值隨x值的增大而減小，所以可知拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)或者是直線，所以，聯(lián)立不等式，解得5.（2019廣西梧州）已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，則下列結(jié)論正確的是ABCD【答案】A【解析】關(guān)于的一元二次方程的解為，可以看作二次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)，二次函數(shù)與軸交點坐標(biāo)為，如圖：當(dāng)時，就是拋物線位于軸上方的部分，此時，或；又，；，故選：A6.（2019四川瀘州）已知二次函數(shù)y（xa1）（xa+1）3a+7（其中x是自變量）的圖象與x軸沒有公共點，且當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（）Aa2Ba1C1a2D1a2【答案】D【解析】y（xa1）（xa+1）3a+7x22ax+a23a+6，拋物線與x軸沒有公共點，（2a）24（a23a+6）0，解得a2，拋物線的對稱軸為直線x=-2a2=a，拋物線開口向上，而當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小，a1，實數(shù)a的取值范圍是1a27.（2019四川省雅安市）在平面直角坐標(biāo)系中，對于二次函數(shù)y=(x-2) 2+1，下列說法中錯誤的是（ ）Ay的最小值為1B圖像頂點坐標(biāo)為（2，1），對稱軸為直線x=2C當(dāng)x2時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x2時，y的值隨x值的增大而減小D它的圖像可以由y=x2的圖像向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到【答案】C【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，由二次函數(shù)y=(x-2) 2+1，得它的頂點是（2，1），對稱軸為直線x=2，當(dāng)x=2時，函數(shù)的最小值是1，圖像開口向上，當(dāng)x2時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x2時，y的值隨x值的增大而減小，可由y=x2的圖像向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，所以C是錯誤的，故選C二、填空題8.（2019黑龍江哈爾濱）二次函數(shù)的最大值是 【答案】8【解析】a10，y有最大值，當(dāng)x6時，y有最大值8故答案為89. (2019黑龍江大慶)如圖拋物線y(p>0),點F(0,p),直線l:yp,已知拋物線上的點到點F的距離與到直線l的距離相等,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,AA1l,BB1l,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1Fa,B1Fb,則A1OB1的面積_(只用a,b表示).【答案】【解析】先由邊相等得到A1FB190°,進而得到A1B1的長度,由等面積法得到點F到A1B1的距離,進而得到A1OB1的高,求出三角形面積.設(shè)Ax,則B180°x,由題可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1,BFB1,所以A1FB190°,所以A1FB1是直角三角形,A1B1,所以點F到A1B1的距離為,因為點F(0,p),直線l:yp,A1OB1的高為,所以A1OB1的面積··10.（2019江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線yax24ax4a1（a0）過點A(m，3)，B(n，3)兩點，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2a1的最小值是 【答案】【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4，求出a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2a1的最小值yax24ax4a1a(x2)21，該拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，1)，對稱軸為直線x2拋物線過點A(m，3)，B(n，3)兩點，當(dāng)y3時，a(x2)213，(x2)2，當(dāng)a0時，x2±A(2，3)，B(2，3)AB2線段AB的長不大于4，24aa2a1(a)2，當(dāng)a，(a2a1)min(a)211.（2019江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線過點，兩點，若線段的長不大于4，則代數(shù)式的最小值是【答案】【解析】拋物線過點，兩點，線段的長不大于4，的最小值為：；故答案為12.（2019內(nèi)蒙古赤峰）二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)x1或x3時，y0上述結(jié)論中正確的是 （填上所有正確結(jié)論的序號）【答案】【解析】由圖可知，對稱軸x1，與x軸的一個交點為（3，0），b2a，與x軸另一個交點（1，0），a0，b0；錯誤；當(dāng)x1時，y0，ab+c0；正確；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函數(shù)yax2+bx+c與y1的交點，由圖象可知函數(shù)yax2+bx+c與y1有兩個不同的交點，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有兩個不相等的實數(shù)根；正確；由圖象可知，y0時，x1或x3正確；故答案為三、解答題13.（2019北京市）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B，點B在拋物線上（1）求點B的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）求拋物線的對稱軸；（3）已知點，若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍【答案】見解析?！窘馕觥肯惹蟪鯝點的坐標(biāo)為，由平移規(guī)律求得點B的坐標(biāo)；由A、B兩點的縱坐標(biāo)相同，得A、B為對稱點進而求出拋物線對稱軸方程；根據(jù)a的符號分類討論分析解答即可.（1）當(dāng)x=0時，拋物線；拋物線與y軸交點A點的坐標(biāo)為，由點A向右平移2個單位長度得點B的坐標(biāo)為；即.（2） 由A、B兩點的縱坐標(biāo)相同，得A、B為對稱點.拋物線對稱軸方程為；即直線.（3） 當(dāng)時，. 分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；也不可能同時經(jīng)過點B和點Q，所以線段PQ和拋物線沒有交點.當(dāng)時，. 分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；但當(dāng)點Q在點B上方或與點B重合時，拋物線與線段PQ恰好有一個公共點，此時，即. 綜上所述：當(dāng)時，拋物線與線段PQ恰好有一個公共點.14.（2019遼寧本溪）工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，工廠將該產(chǎn)品進行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？【答案】見解析。【解析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用.認(rèn)真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整數(shù)；根據(jù)利潤=（售價-成本）×件數(shù)，列出利潤的表達式，求出最值（1） 當(dāng)0x20且x為整數(shù)時，y=40；當(dāng)20x60且x為整數(shù)時，y=-x+50；當(dāng)x60且x為整數(shù)時，y=20；（2）設(shè)所獲利潤w（元），當(dāng)0x20且x為整數(shù)時，y=40，w=(40-16)×20=480元，當(dāng)0x20且x為整數(shù)時，y=40，當(dāng)20x60且x為整數(shù)時，y=-x+50，w=(y-16)x=(-x+50-16)x，w=-x2+34x，w=-（x-34）2+578，-0，當(dāng)x=34時，w最大，最大值為578元答：一次批發(fā)34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元15（2019湘潭）湘潭政府工作報告中強調(diào)，2019年著重推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，做優(yōu)做響湘蓮等特色農(nóng)產(chǎn)品品牌小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店A、B兩種湘蓮禮盒一個月的銷售情況，A種湘蓮禮盒進價72元/盒，售價120元/盒，B種湘蓮禮盒進價40元/盒，售價80元/盒，這兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元（1）求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？（2）小亮調(diào)査發(fā)現(xiàn)，A種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒若B種湘蓮禮盒的售價和銷量不變，當(dāng)A種湘蓮禮盒降價多少元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是多少元？【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，B種禮盒為y盒，列二元一次方程組即可解題；根據(jù)題意，可設(shè)A種禮盒降價m元/盒，則A種禮盒的銷售量為：（10+）盒，再列出關(guān)系式即可（1）根據(jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，B種禮盒為y盒，則有，解得故該店平均每天銷售A禮盒10盒，B種禮盒為20盒（2）設(shè)A種湘蓮禮盒降價m元/盒，利潤為W元，依題意總利潤W（120m72）（10+）+800化簡得Wm2+6m+1280（m9）2+1307a0當(dāng)m9時，取得最大值為1307，故當(dāng)A種湘蓮禮盒降價9元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是1307元16. （2019廣西省貴港市）如圖，已知拋物線的頂點為，與軸相交于點，對稱軸為直線，點是線段的中點（1）求拋物線的表達式；（2）寫出點的坐標(biāo)并求直線的表達式；（3）設(shè)動點，分別在拋物線和對稱軸上，當(dāng)以，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求，兩點的坐標(biāo)【答案】見解析?！窘馕觥亢瘮?shù)表達式為：，將點坐標(biāo)代入上式，即可求解；、，則點，設(shè)直線的表達式為：，將點坐標(biāo)代入上式，即可求解；分當(dāng)是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可（1）函數(shù)表達式為：，將點坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：；（2）、，則點，設(shè)直線的表達式為：，將點坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故直線的表達式為：；（3）設(shè)點、點，當(dāng)是平行四邊形的一條邊時，點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，同樣點向左平移2個單位、向下平移4個單位得到，即：，解得：，故點、的坐標(biāo)分別為、；當(dāng)是平行四邊形的對角線時，由中點定理得：，解得：，故點、的坐標(biāo)分別為、；故點、的坐標(biāo)分別為或、或14