專題訓練(六)分類討論思想1.2017·聊城如圖ZT6-1是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是()圖ZT6-1A.2個B.3個C.4個D.5個2.2017·義烏如圖ZT6-2,AOB=45°,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構成等腰三角形的點P恰好有三個,則x的值是. 圖ZT6-23.2017·齊齊哈爾如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是. 圖ZT6-34.2017·綏化在等腰三角形ABC中,ADBC交直線BC于點D,若AD=12BC,則ABC的頂角的度數(shù)為. 5.2018·安徽矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足PBEDBC,若APD是等腰三角形,則PE的長為. 6.2017·眉山如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,已知A(3,0),且M1,-83是拋物線上一點.圖ZT6-4 (1)求a,b的值;(2)連接AC,設點P是y軸上任一點,若以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標;(3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內的一動點(不與O,A重合),過點N作NHAC交拋物線的對稱軸于點H.設ON=t,ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式.7.2017·煙臺如圖ZT6-5,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.圖ZT6-5 (1)求拋物線的表達式.(2)如圖ZT6-5,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PHEO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值.(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.8.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.圖ZT6-6 (1)如圖ZT6-6,在ABC中,CD為角平分線,A=40°,B=60°,求證:CD為ABC的完美分割線.(2)在ABC中,A=48°,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù).(3)如圖,ABC中,AC=2,BC=2,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.參考答案1.B解析 由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有2個,以點A為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有1個,滿足條件的有3個.2.0或42-4或4<x<423.10或413或273解析 AB=AC=10,BC=12,底邊BC上的高是AD,ADB=ADC=90°,BD=CD=12BC=12×12=6,AD=102-62=8.用這兩個三角形拼成平行四邊形,可以分三種情況:(1)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是10.(2)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是82+122=413.(3)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是62+162=273.綜上所述,這個平行四邊形較長的對角線的長是10或413或273.4.30°或90°或150°解析 應分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖,AD=12BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°(2)若角A不是頂角,當三角形是銳角三角形時,如圖,則在ACD中,AD=12BC=12AC,所以頂角為30°若三角形是鈍角三角形,如圖,則ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°.5.3或65解析 由題意知,點P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,故點P為BD的中點,PEBC,故PECD,故PE=12DC=3;(2)如圖所示,若DA=DP,則DP=8,在RtBCD中,BD=BC2+CD2=10,BP=BD-DP=2.PBEDBC,PEDC=BPBD=15,PE=15CD=65.綜上所述,PE的長為3或65.6.解:(1)由題意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83,解得a=23,b=-43.(2)由(1)得,拋物線的關系式為y=23x2-43x-2,當x=0時,y=-2,C(0,-2).以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,分三種情況:若AC=AP(如圖),由AOCP,得OP=OC=2,P1(0,2);若CA=CP(如圖),AC=OA2+OC2=32+22=13,P2(0,-2+13),P3(0,-2-13);若AP=PC(如圖),設點P的坐標為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,(m+2)2=m2+32,解得m=54,P40,54.綜上所述,符合條件的點P有4個,坐標分別為P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54.(3)設拋物線的對稱軸交x軸于點D,交AC于點E,拋物線y=23x2-43x-2的對稱軸為直線x=1,D(1,0).又tanOAC=DEDA=OCOA,DE2=23,DE=43.NHAC,DHNDEA,DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2,DH=23|t-1|.分兩種情況:當0<t<1時(如圖),S=12·t·23(1-t)=-13t2+13t;當1<t<3時(如圖),S=12·t·23(t-1)=13t2-13t.綜上所述,S與t之間的函數(shù)關系式為S=-13t2+13t(0<t<1);13t2-13t(1<t<3).7.解:(1)將x=0代入拋物線的解析式,得y=2.C(0,2).四邊形OBDC為矩形,OB=CD=1.B(1,0).又AB=4,A(-3,0).設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1).將點C的坐標代入得-3a=2,解得a=-23,拋物線的解析式為y=-23x2-43x+2.(2)點E在CD上,yE=2.將y=2代入拋物線的解析式,得-23x2-43x+2=2,解得x=0或x=-2.E(-2,2).EC=OC=2,COE=45°.PGy軸,PGH=COE=45°.又PHOE,PH=22PG.設直線OE的解析式為y=kx,將點E的坐標代入,得-2k=2,解得k=-1.直線OE的解析式為y=-x.設點P的坐標為m,-23m2-43m+2,則點G的坐標為(m,-m).PG=-23m2-43m+2+m=-23m2-13m+2.l=22×-23m2-13m+2=-23m2-26m+2=-23m+142+49248.l的最大值為49248.(3)拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=-1.設點N的坐標為(-1,n),點M的坐標為(x,y).當AC為平行四邊形的對角線時,依據線段的中點坐標公式可知-1+x2=0-32,解得x=-2.將x=-2代入拋物線的解析式得y=2.M(-2,2).當AM為平行四邊形的對角線時,依據線段的中點坐標公式可知-3+x2=-1+02,解得x=2.將x=2代入拋物線的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103.M2,-103.當AN為平行四邊形的對角線時,依據線段的中點坐標公式可知0+x2=-1+(-3)2,解得x=-4.將x=-4代入拋物線的解析式得y=-103.M-4,-103.綜上所述,點M的坐標為(-2,2)或2,-103或-4,-103.8.解:(1)證明:A=40°,B=60°,ACB=80°,ABC不是等腰三角形,CD平分ACB,ACD=BCD=12ACB=40°,ACD=A=40°,ACD為等腰三角形,DCB=A=40°,CBD=ABC,BCDBAC,CD是ABC的完美分割線.(2)當AD=CD時,如圖,ACD=A=48°,BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=96°.當AD=AC時,如圖,ACD=ADC=180°-48°2=66°,BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=114°.當AC=CD時,如圖,ADC=A=48°,BDCBCA,BCD=A=48°,ADC>BCD,矛盾,舍去.ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,BCDBAC,BCBA=BDBC,設BD=x,(2)2=x(x+2),x>0,x=3-1,BCDBAC,CDAC=BDBC=3-12,CD=3-12×2=6-2.11