考點強化練19解直角三角形及其應用夯實基礎(chǔ)1.(2018·云南)在RtABC中,C=90°,AC=1,BC=3,則A的正切值為()A.3B.13C.1010D.31010答案A解析根據(jù)正切的意義得tanA=BCAC=31=3.2.(2018·湖南益陽)如圖,小剛從山腳A出發(fā),沿坡角為的山坡向上走了300米到達B點,則小剛上升了()A.300sin B.300cos C.300tan D.300tan答案A解析sin=BCAB,BC=ABsin=300sin,故選A.3.(2018·吉林長春)如圖,某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道(點A、B在同一水平面上).為了測量A、B兩地之間的距離,一架直升飛機從A地出發(fā),垂直上升800米到達C處,在C處觀察B地的俯角為,則A、B兩地之間的距離為()A.800sin 米B.800tan 米C.800sin米D.800tan米答案D解析由題中條件可知,在RtABC中,ABC=,AC=800米,由tan=ACAB,可得AB=800tan米.4.(2018·江蘇蘇州)如圖,某海監(jiān)船以20海里/時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù),當海監(jiān)船由西向東航行至A處時,測得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達B處,測得島嶼P在其北偏西30°方向,保持航向不變又航行2小時到達C處,此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長)為()A.40海里B.60海里C.203海里D.403海里答案D解析本題解答時要利用直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理來進行計算.由題意可知AB=20,APB=30°,PA=203,BC=2×20=40,AC=60,PC=PA2+AC2=(203)2+602=403(海里),故選D.5.(2018·長豐一模)計算:2cos 60°+4sin 60°·tan 30°-cos245°=. 答案52解析原式=2×12+4×32×33-222=1+2-12=52.6.(2018·山東棗莊)如圖,某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°,AB的長為12米,則大廳兩層之間的高度為米.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字) (參考數(shù)據(jù):sin 31°=0.515,cos 31°=0.857,sin 31°=0.601)答案6.2解析在RtABC中,BCAB=sinBAC,即BC12=sin31°,BC=12×0.515=6.186.2(米),故填6.2.7.(2018·吉林)數(shù)學活動小組的同學為測量旗桿高度,先制定了如下測量方案,使用工具是測角儀和皮尺.請幫助組長林平完成方格內(nèi)容,用含a,b,c的代數(shù)式表示旗桿AB的高度.數(shù)學活動方案活動時間:2018年4月2日活動地點:學校操場填表人:林平課題測量學校旗桿的高度活動目的運用所學數(shù)學知識及方法解決實際問題方案示意圖測量步驟(1)用測得ADE=; (2)用測得BC=a米,CD=b米 計算過程解測量步驟:(1)測角儀(2)皮尺計算過程:如題圖,ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b,在RtADE中,AED=90°,tanADE=AEDE,DE=AE·tanADE=a·tan.AB=AE+BE=(b+a·tan)(米).8.(2018·遼寧撫順)如圖,BC是路邊坡角30°,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角DAN和DBN分別是37°和60°(圖中的點A,B,C,D,M,N均在同一平面內(nèi),CMAN).(1)求燈桿CD的高度;(2)求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米).(參考數(shù)據(jù):3=1.73,sin 37°0.60,cos 37°0.80,tan 37°0.75)解(1)延長DC交AN于E,DBN=60°,BC=10米,CBN=30°,DCM=90°,CMAN,BDE=30°,DEB=90°.CE=12BC=5(米),BE=BC2-CE2=32BC=53(米).tanDBE=DEBE=DC+CEBE=3,解得CD=10(米).(2)由(1)可知,DE=15米,BE=53米.AE=AB+BE,tanDAN=DEAE=DEAB+BE,DAN=37°,15AB+530.75,解得AB11.4(米).9.(2018·江蘇徐州)如圖,1號樓在2號樓的南側(cè),兩樓的高度均為90 m,樓間距為AB.冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為32.3°,1號樓在2號樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽光線與水平面所成的角為55.7°,1號樓在2號樓墻面上的影高為DA.已知CD=42 m.(1)求樓間距AB;(2)若2號樓共有30層,層高均為3 m,則點C位于第幾層?(參考數(shù)據(jù):sin 32.3°0.53,cos 32.3°0.85,tan 32.3°0.63,sin 55.7°0.83,cos 55.7°0.56,tan 55.7°1.47)解(1)過點C,D分別作CEPB,DFPB,垂足分別為E,F.則有AB=CE=DF,EF=CD=42.由題意可知:PCE=32.3°,PDF=55.7°,在RtPCE中,PE=CE×tan32.3°=0.63CE.在RtPDF中,PF=CE×tan55.7°=1.47CE.PF-PE=EF,1.47CE-0.63CE=42,AB=CE=50(m).答:樓間距為50m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,點C位于第20層.答:點C位于第20層.10.(2017·內(nèi)蒙古包頭)如圖,在ABC中,C=90°,B=30°,AD是ABC的角平分線,DEBA交AC于點E,DFCA交AB于點F,已知CD=3.(1)求AD的長;(2)求四邊形AEDF的周長.(注意:本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號)解(1)在ABC中,C=90°,B=30°,BAC=60°.AD是ABC的角平分線,CAD=BAD=12BAC=30°.在RtACD中,CAD=30°,CD=3,CD=12AD,AD=6.(2)DEBA,DFCA,四邊形AEDF為平行四邊形,BAD=EDA.CAD=BAD,CAD=EDA,AE=DE.四邊形AEDF為菱形.DEBA,CDE=B=30°,在RtCDE中,C=90°,cosCDE=CDED,ED=3cos30°=23.四邊形AEDF的周長為4ED=4×23=83.提升能力11.(2018·北京)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,BACDAE.(填“>”“=”或“<”) 答案>解析如圖,取格點N,點H,連接NH、BC,過N作NPAD于P,SANH=2×2-12×1×2×2-12×1×1=12AH·NP,32=52PN,PN=35,RtANP中,sinNAP=PNAN=355=35=0.6,RtABC中,sinBAC=BCAB=222=22>0.6,正弦值隨著角度的增大而增大,BAC>DAE.12.(2018·內(nèi)蒙古通遼)我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰,如圖所示,其中山腳A、C兩地的海拔高度約為1 000米,山頂B處的海拔高度約為1 400米,由B處望山腳A處的俯角為30°,由B處望山腳C處的俯角為45°,若在A、C兩地間打通一條隧道,求隧道最短為多少米(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù)31.732).解作BDAC,垂足為D,如圖所示.由題意可得BD=1400-1000=400(米),BAC=30°,BCA=45°,在RtABD中,tan30°=BDAD,即400AD=33,AD=4003(米).在RtBCD中,BCA=45°,DC=DB=400(米).AC=AD+DC=4003+4001092.81093(米).答:隧道最短約為1093米.13.(2018·山東萊蕪,20)在小水池旁有一盞路燈,已知支架AB的長是0.8 m,A端到地面的距離AC為4 m,支架AB與燈柱AC的夾角為65°.小明在水池的外沿D測得支架B端的仰角為45°,在水池的內(nèi)沿E測得支架A端的仰角為50°(點C,E,D在同一直線上),求小水池的寬DE.(結(jié)果精確到0.1 m)(sin 65°0.9,cos 65°0.4,tan 50°1.2)解過點B作BFAC于F,BGCD于G.在RtBAF中,BAF=65°,BF=ABsinBAF=0.8×0.9=0.72,AF=ABcosBAF=0.8×0.4=0.32,FC=AF+AC=4.32.由題意可知四邊形FCGB是矩形,BG=FC=4.32,CG=BF=0.72.BDG=45°,DBG=GDB,GD=GB=4.32,CD=CG+GD=5.04.在RtACE中,AEC=50°,CE=ACtanAEC=41.23.33,DE=CD-CE=5.04-3.33=1.711.7.答:小水池的寬是1.7m.導學號1673412414.(2018·江蘇揚州)問題呈現(xiàn):如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點D、N和E、C,DN和EC相交于點P,求tanCPN的值.方法歸納:求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點M,N,可得MNEC,則DNM=CPN,連接DM,那么CPN就變換到RtDMN中.問題解決(1)直接寫出圖1中tanCPN的值為; (2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點P,求cosCPN的值;思維拓展(3)如圖3,ABBC,AB=4BC,點M在AB上,且AM=BC,延長CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線于點P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求CPN的度數(shù).解(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10,(22)2+(2)2=(10)2,DM2+MN2=DN2,DMN是直角三角形.MNEC,CPN=DNM.tanDNM=DMMN=222=2,tanCPN=2.(2)法1:如圖,cosCPN=cosQCM=22.法2:如圖中,取格點D,連接CD,DM.CDAN,CPN=DCM,DCM是等腰直角三角形,DCM=CDM=45°,cosCPN=cosDCM=22.(3)法1:如圖,CPN=CMQ=45°.法2:如圖,CPN=QAN=45°.法3:如圖中,取格點Q,連接AQ、NQ.PCQN,CPN=ANQ.AQ=QN,AQN=90°,ANQ=QAN=45°,CPN=45°.導學號1673412515.(2018·山東萊蕪)如圖,若ABC內(nèi)一點P滿足PAC=PCB=PBA,則稱點P為ABC的布羅卡爾點.三角形的布羅卡爾點是法國數(shù)學家和教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn),后來被數(shù)學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名,布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn),引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知ABC中,CA=CB,ACB=120°,P為ABC的布羅卡爾點,若PA=3,則PB+PC=. 答案1+33解析如圖,由“布羅卡爾點”的定義,設(shè)PAC=PCB=PBA=,又CA=CB,ACB=120°,ABC=BAC=30°,CBP=PAB=30°-=,BCPABP,PBPA=BCAB=PCPB,而在ABC中,作CDAB于D,則BD=12AB,而cosB=BDBC=32,BCAB=13,PB3=13=PCPB,PB=1,PC=33,PB+PC=1+33.故答案為1+33.創(chuàng)新拓展16.在邊長為2的等邊三角形ABC中,P是BC邊上任意一點,過點P分別作PMAB,PNAC,M,N分別為垂足.(1)求證:不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高;(2)求當BP的長為何值時,四邊形AMPN的面積最大,并求出最大值.(1)證明連接AP,ABC是等邊三角形,故不妨設(shè)AB=BC=AC=a,其中BC邊上的高記作h,PMAB,PNAC,SABC=SABP+SACP=12AB·MP+12AC·PN=12a(PM+PN),又SABC=12BC·h=12ah,PM+PN=h.即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高.(2)解設(shè)BP=x,在RtBNP中,BMP=90°,B=60°,BP=x,BM=BP·cos60°=12x,MP=BP·sin60°=32x,SBMP=12BM·MP=12·12x·32x=38x2;PC=2-x,同理可得SPNC=38(2-x)2,又SABC=34×22=3,S四邊形AMPN=SABC-SBMP-SPNC=3-38x2-38(2-x)2=-34(x-1)2+334,當BP=1時,四邊形AMPN的面積最大,是334.11