考點強化練18相似三角形夯實基礎(chǔ)1.(2018·廣東)在ABC中,點D、E分別為邊AB、AC的中點,則ADE與ABC的面積之比為()A.12B.13C.14D.16答案C解析相似三角形面積比等于相似比的平方,由中位線性質(zhì)知相似比為12,所以ADE與ABC的面積之比為14.2.(2018·浙江義烏)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為()A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m答案C解析ABBD,CDBD,ABO=CDO=90°,AOB=COD(對頂角相等),AOBCOD,AOAB=COCD,41.6=1CD,CD=0.4m,故選C.3.(2017·四川攀枝花)如圖,D是等邊ABC邊AB上的點,AD=2,BD=4.現(xiàn)將ABC折疊,使得點C與點D重合,折痕為EF,且點E,F分別在邊AC和BC上,則CFCE=. 答案54解析由題易知A=B=EDF=60°,AED=FDB.AEDBDF,EDDF=AE+ED+ADDF+BF+DB.由翻折易知EC=ED,FC=FD,CFEC=BC+BDAC+AD.CFEC=54.4.(2018·四川巴中)如圖,已知在ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F,且BAC=45°,BD=6,CD=4,則ABC的面積為. 答案60解析先推導(dǎo)出ABE是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=BE,利用同角的余角相等求出1=2,然后利用“角邊角”證明AFE和BCE全等;求出BC的長為6+4=10,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=BC=10,然后求出ACD和BFD相似,設(shè)DF=x.ADCBDF,ADDC=BDDF,10+x4=6x.整理得x2+10x-24=0,解得x=2或-12(舍棄),AD=AF+DF=12,SABC=12·BC·AD=12×10×12=60.5.(2018·江蘇常州)如圖,在ABC紙板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點,過點P沿直線剪下一個與ABC相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么AP長的取值范圍是. 答案3AP<4解析如圖(1),當(dāng)P在AC上運動時,都有PEBC,PGAB,APD=B,有三種相似,即CPGCAB,APEABC,APDABC,圖(1)當(dāng)CPF=B時,點F如果與B重合如圖(2),則CBPCAB,CBAC=CPCB,求得CP=1,PA=3,圖(2)所以AP的取值范圍是3AP<4.6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5 m,斜邊AC長為2.5 m,面積為1.5 m2,工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面,請甲、乙兩位同學(xué)進行設(shè)計加工方案,甲設(shè)計方案如圖1,乙設(shè)計方案如圖2.你認為哪位同學(xué)設(shè)計的方案較好?試說明理由.(加工損耗忽略不計,計算結(jié)果中可保留分數(shù))解甲同學(xué)設(shè)計的方案較好,理由如下:由AB=1.5m,SABC=1.5m2,可得BC=2m.圖1中,甲設(shè)計的正方形桌面邊長為xm,由DEAB,得RtCDERtCBA.所以DEAB=CDBC,即x1.5=2-x2.所以3-1.5x=2x.解得x=67.圖2中,乙設(shè)計的桌面的邊長為ym,由AC·BH=AB·BC,得BH=1.2m.因為DEAC,所以RtBDERtBAC.所以BPBH=DEAC.即1.2-y1.2=y2.5.解得y=3037.因為67=3035>3037,所以x2>y2.所以甲同學(xué)設(shè)計的方案較好.7.(2018·山東萊蕪)已知ABC中,AB=AC,BAC=90°,D、E分別是AB、AC的中點,將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度(0°<<90°)得到AD'E',連接BD'、CE',如圖1.(1)求證:BD'=CE'.(2)如圖2,當(dāng)=60°時,設(shè)AB與D'E'交于點F,求BFFA的值.(1)證明AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,AD=BD=AE=EC.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:DAD'=EAE'=,AD'=AD,AE'=AE.AD'=AE',BD'ACE'A,BD'=CE'.(2)解連接DD'.DAD'=60°,AD=AD',ADD'是等邊三角形.ADD'=AD'D=60°,DD'=DA=DB.DBD'=DD'B=30°,BD'A=90°.D'AE'=90°,BAE'=30°,BAE'=ABD'.BFD'=AFE',BFD'AFE',BFAF=BD'AE'=BD'AD'.在RtABD'中,tanBAD'=BD'AD'=3,BFAF=3.8.(2016·浙江寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1)如圖1,在ABC中,CD為角平分線,A=40°,B=60°,求證:CD為ABC的完美分割線;(2)在ABC中,A=48°,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù);(3)如圖2,ABC中,AC=2,BC=2,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.解(1)證明:A=40°,B=60°,ACB=80°,ABC不是等腰三角形,CD平分ACB,ACD=BCD=12ACB=40°,BCD=A=40°,又A=40°,A=ACD,AD=CD,ACD為等腰三角形,又CBD=ABC,BCDBAC.CD是ABC的完美分割線.(2)當(dāng)AD=CD時(如圖),ACD=A=48°.BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=96°.當(dāng)AD=AC時(如圖),ACD=ADC=180°-48°2=66°.BDCBCA,BCD=A=48°,ACB=ACD+BCD=114°.當(dāng)AC=CD時,ADC=A=48°,BDCBCA,BCD=A=48°,這與ADC>BCD矛盾,舍去.綜上所述,ACB=96°或114°.(3)由已知得AC=AD=2.BCDBAC,BCBA=BDBC,設(shè)BD=x,則(2)2=x·(x+2),解得x=-1±3,x>0,x=3-1.BCDBAC,CDAC=BDBC=3-12,CD=3-12×2=2(3-1)=6-2.導(dǎo)學(xué)號16734121提升能力9.(2018·內(nèi)蒙古包頭)如圖,在RtACB中,ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一個動點(不與點A、B重合),連接CD,將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接DE,DE與AC相交于點F,連接AE.下列結(jié)論:ACEBCD;若BCD=25°,則AED=65°DE2=2CF·CA;若AB=32,AD=2BD,則AF=53.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號) 答案解析由題意易得BCD=ACE,由“邊角邊”證明ACEBCD,故正確;ACEBCD,CAE=CBD=45°.BCD=25°,ACE=BCD=25°.AED=AEC-CED=(180°-25°-45°)-45°=65°,故正確;CAE=CED=45°,ACE=FCE,ACEECF,ACEC=ECFC,即EC2=AC·FC.在RtDCE中,DE2=2CE2=2FC·AC,DE2=2CF·CA,故正確;作DMBC于點M,DM=BM=1.CM=3-1=2,DC=CE=5.由可知DE2=2CF·CA,(2CE)2=2×3×FC.FC=106=53.AF=3-53=43,故錯誤.10.(2018·海南)已知,如圖1,在ABCD中,點E是AB中點,連接DE并延長,交CB的延長線于點F.圖1圖2(1)求證:ADEBFE;(2)如圖2,點G是邊BC上任意一點(點G不與點B,C重合),連接AG交DF于點H,連接HC,過點A作AKHC,交DF于點K.求證:HC=2AK;當(dāng)點G是邊BC中點時,恰有HD=n·HK(n為正整數(shù)),求n的值.解(1)證明:在ABCD中,有ADBC,ADE=F.點E是AB中點,AE=BE.AED=BEF,ADEBFE.(2)在ABCD中,有ABCD,AB=CD.AEK=CDH,AKHC,AKE=CHD,AEKCDH.AECD=AKCH.E是邊AB的中點,2AE=AB=CD,HC=2AK.當(dāng)點G是邊BC中點時,在ABCD中,有ADBC,AD=BC,AHDGHF,ADGF=HDHF.由(1)得,ADEBFE,AD=BF.G是BC中點,2BG=AD=BF,ADGF=23=DHHF,DH=23HF.ADFC,ADK=F.AKHC,AKH=CHK,AKD=CHF.AKDCHF.ADCF=KDHF=12,KD=12HF,HK=HD-KD=16HF,HDHK=4,n=4.11.(2017·遼寧大連)如圖1,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,ABD+ADB=ACB.(1)填空:BAD與ACB的數(shù)量關(guān)系為; (2)求mn的值;(3)將ACD沿CD翻折,得到A'CD(如圖2),連接BA',與CD相交于點P.若CD=5+12,求PC的長.解(1)BAD+ACB=180°(2)如圖,作DEAB,交AC于點E,則DEA=BAE,OBA=ODE,又OB=OD,OABOED(AAS).AB=DE,OA=OE.設(shè)AB=DE=CE=x,OA=OE=y,EDA+DAB=180°,EDA=ACB.DEA=EAB,EADABC.EDAC=AEAB=DACB=mn,即xx+2y=2yx,4y2+2xy-x2=0.2yx2+2yx-1=0,解得2yx=-1+52.mn=5-12.(3)DE=CE,DCA=DCA',DECA'.ABDE,ABCA'.ABC+A'CB=180°.EADACB,DAE=BCA=DA'E.DA'E+BCA'=180°,A'DBC.PA'DPBC,PC=nm+nCD=1.導(dǎo)學(xué)號16734122創(chuàng)新拓展12.如圖,在RtABC中,ACB=90°,AC=5 cm,BAC=60°,動點M從點B出發(fā),在BA邊上以每秒2 cm的速度向點A勻速運動,同時動點N從點C出發(fā),在CB邊上以每秒3 cm的速度向點B勻速運動,設(shè)運動時間為t秒(0t5),連接MN.(1)若BM=BN,求t的值;(2)若MBN與ABC相似,求t的值;(3)當(dāng)t為何值時,四邊形ACNM的面積最小?并求出最小值.解(1)在RtABC中,ACB=90°,AC=5,BAC=60°,AB=10,BC=53.由題意知BM=2t,CN=3t,BN=53-3t,由BM=BN,得2t=53-3t.解得t=532+3=103-15.(2)當(dāng)MBNABC時,MBAB=BNBC,即2t10=53-3t53.解得t=52.當(dāng)NBMABC時,NBAB=BMBC,即53-3t10=2t53.解得t=157.綜上所述,當(dāng)t=52或t=157時,MBN與ABC相似.(3)如圖,過M作MDBC于點D,則MD=t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y,則y=SABC-SBMN=12AC·BC-12BN·MD=12×5×53-12(53-3t)·t=32t2-532t+2532=32t-522+7583.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t=52時,y的值最小,此時,y最小=7583.導(dǎo)學(xué)號1673412310