考點(diǎn)強(qiáng)化練11　反比例函數(shù)及其應(yīng)用 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(2018·山東日照)已知反比例函數(shù)y=-8x,下列結(jié)論:①圖象必經(jīng)過(guò)(-2,4);②圖象在第二、四象限內(nèi);③y隨x的增大而增大;④當(dāng)x>-1時(shí),則y>8.其中錯(cuò)誤的結(jié)論有(　　)個(gè) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.2 C.1 D.0 答案B 解析將(-2,4)代入y=-8x成立,①正確;k=-8<0,所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限,②正確;雙曲線在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大,③錯(cuò)誤;當(dāng)-1<x<0時(shí),y>8,④錯(cuò)誤.所以錯(cuò)誤的結(jié)論有2個(gè),故選B. 2.(2018·江蘇無(wú)錫)已知點(diǎn)P(a,m),點(diǎn)Q(b,n)都在反比例函數(shù)y=-2x的圖象上,且a<0<b,則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n 答案D 解析∵k=-2<0, ∴反比例函數(shù)y=-2x的圖象位于第二、四象限. ∵a<0<b,∴點(diǎn)P(a,m)位于第二象限,點(diǎn)Q(b,n)位于第四象限,∴m>0,n<0,∴m>n. 3.(2018·山東威海)若點(diǎn)(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在雙曲線y=kx(k<0)上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是(　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 答案D 解析反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象位于第二、四象限;在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大,而-2<-1<0<3,∴y3<0<y1<y2.故選D. 4.(2018·湖南懷化)函數(shù)y=kx-3與y=kx(k≠0)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是(　　) 答案B 解析當(dāng)k>0時(shí),y=kx-3過(guò)第一、三、四象限,反比例函數(shù)y=kx過(guò)第一、三象限.當(dāng)k<0時(shí),y=kx-3過(guò)第二、三、四象限,反比例函數(shù)y=kx過(guò)第二、四象限,∴B正確. 5.(2018·陜西)若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,m)和B(2m,-1),則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為　　　　　.  答案y=4x 解析設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kx,則xy=k. 則m2=2m·(-1)=k. 解得:m1=0(舍去),m2=-2. ∴k=(-2)2=4. ∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=4x. 6.(2017·貴州黔東南)如圖,已知點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y1=-2x和y2=kx的圖象上,若點(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn),則k的值為　　　　　.  答案-8 解析 如圖,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D, 則△OAC∽△OBD, 因?yàn)辄c(diǎn)A是線段OB的中點(diǎn),所以BDAC=ODOC=OBOA=2,|k|=BD×OD=2AC×2OC=4AC×OC=4×2=8. 因?yàn)楹瘮?shù)y2=kx的圖象位于一、三象限, 所以k=-8. 7. (2018·湖南岳陽(yáng))如圖,某反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),作BC⊥y軸,垂足為點(diǎn)C,連接AB,AC. (1)求該反比例函數(shù)的解析式; (2)若△ABC的面積為6,求直線AB的表達(dá)式. 解(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx, ∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上, ∴將A(2,3)代入y=kx,得k=2×3=6. ∴反比例函數(shù)的解析式為y=6x. (2)設(shè)Bx,6x,則C0,6x, 點(diǎn)A到BC的距離d=3-6x,BC=x, S△ABC=x3-6x2=3x-62. ∵S△ABC=6, ∴3x-62=6,解得x=6, ∴B(6,1). 設(shè)AB的解析式為y=mx+n,m≠0, 則6m+n=1,2m+n=3,解得m=-12,n=4, ∴直線AB的解析式為y=-12x+4. 8.(2018·安慶模擬)某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示. (1)求這一函數(shù)的解析式; (2)當(dāng)氣體體積為1 m3時(shí),氣壓是多少?當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140 kPa時(shí),氣球?qū)⒈?為了安全起見(jiàn),氣體的體積應(yīng)不小于多少?(精確到0.01 m3) 解(1)設(shè)p=kV, 由題意知120=k0.8,所以k=96,故p=96V. (2)當(dāng)V=1m3時(shí),p=961=96(kPa); 當(dāng)p=140kPa時(shí),V=96140≈0.69(m3). 所以為了安全起見(jiàn),氣體的體積應(yīng)不少于0.69m3. 提升能力 9. (2018·貴州遵義)如圖,直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),∠OAB=30°,若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x(x>0)的圖象上,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為(　　) A.y=-6x B.y=-4x C.y=-2x D.y=2x 答案C 解析過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N,易得△BNO∽△OMA,相似比等于BOAO,Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以BOAO=tan30°=33,所以S△BNOS△OMA=13.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線y=6x上,所以S△AOM=3,所以S△BNO=1,故k=-2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=-2x,故選C. 10. (2018·浙江溫州)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,AC∥BD∥y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為32,則k的值為(　　) A.4 B.3 C.2 D.32?導(dǎo)學(xué)號(hào)16734110? 答案B 解析因?yàn)锳B在反比例函數(shù)y=1x上,所以A(1,1),B2,12,又因?yàn)锳C∥BD∥y軸,利用平行于y軸的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,所以利用A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1求出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是1,B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,所以D點(diǎn)橫坐標(biāo)也是2.代入y=kx得到C(1,k),D2,k2,所以AC=k-1,BD=k2-12,因?yàn)閷?duì)應(yīng)的高都是1,所以S△OAC=12(k-1),S△ABD=12k2-12,所以△OAC與△ABD的面積之和=12(k-1)+12k2-12=32,解得k=3,故選B. 11.(2017·四川樂(lè)山)某公司從2014年開(kāi)始投入技術(shù)改進(jìn)資金,經(jīng)技術(shù)改進(jìn)后,其產(chǎn)品的成本不斷降低,具體數(shù)據(jù)如下表: 年　　度 2013 2014 2015 2016 投入技改資金x(萬(wàn)元) 2.5 3 4 4.5 產(chǎn)品成本y(萬(wàn)元/件) 7.2 6 4.5 4 (1)請(qǐng)你認(rèn)真分析表中數(shù)據(jù),從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一個(gè)函數(shù)能表示其變化規(guī)律,給出理由,并求出其解析式. (2)按照這種變化規(guī)律,若2017年已投入資金5萬(wàn)元. ①預(yù)計(jì)生產(chǎn)成本每件比2016年降低多少萬(wàn)元? ②若打算在2017年把每件產(chǎn)品成本降低到3.2萬(wàn)元,則還需要投入技改資金多少萬(wàn)元?(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元). 解(1)設(shè)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0), 所以6=3k+b,4.5=4k+b, 解這個(gè)方程組得k=-1.5,b=10.5. 所以y=-1.5x+10.5. 當(dāng)x=2.5時(shí),y=6.75≠7.2. 所以一次函數(shù)不能表示其變化規(guī)律. 設(shè)y=kx(k為常數(shù),k≠0),所以7.2=k2.5, 所以k=18,所以y=18x. 當(dāng)x=3時(shí),y=6;當(dāng)x=4時(shí),y=4.5;當(dāng)x=4.5時(shí),y=4; 所以所求函數(shù)為反比例函數(shù)y=18x. (2)①當(dāng)x=5時(shí),y=3.6;4-3.6=0.4(萬(wàn)元),所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)成本每件比2016年降低0.4萬(wàn)元. ②當(dāng)y=3.2時(shí),x=5.625,5.625-5=0.625≈0.63(萬(wàn)元). 所以要把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬(wàn)元,還需投入技改資金約0.63萬(wàn)元. 創(chuàng)新拓展 12. (2018·湖南長(zhǎng)沙)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=mx(m為常數(shù),m>1,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸,y軸分別交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為A、B. (1)求∠OCD的度數(shù); (2)當(dāng)m=3,1<x<3時(shí),存在點(diǎn)M使得△OPM∽△OCP,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo); (3)當(dāng)m=5時(shí),矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請(qǐng)說(shuō)明你的理由. 解(1)設(shè)直線DC解析式為y=kx+b(k≠0),將P(m,1)和Q(1,m)代入,可得1=km+b,m=k+b, 所以k=-1,b=m+1, 所以y=-x+m+1,令x=0,得y=m+1, 所以D(0,m+1);令y=0,得x=m+1, 所以C(m+1,0),所以O(shè)C=OD. 又因?yàn)椤螩OD=90°, 所以∠OCD=45°. (2)連接OP,假設(shè)存在△OPM∽△OCP,即OMOP=OPOC,而m=3時(shí),P(3,1),C(4,0), 所以O(shè)P=32+12=10,OC=4, 所以O(shè)M=OP2OC=52. 設(shè)Mt,3t,則t2+3t2=52, 所以t1=2,t2=32, 所以M12,32,M232,2. (3)當(dāng)m=5時(shí),P(5,1),Q(1,5), 設(shè)Mx,5x,lOP:y=15x,lOQ:y=5x, 當(dāng)1<x<5時(shí),如圖①. 圖① E1x,5x,Fx,x5, S=SOAMB-S△OAF-S△OBE=5-x2·x5-12·1x·5x=4.1, 化簡(jiǎn)得,x4-9x2+25=0,因?yàn)棣?lt;0,所以該方程無(wú)解. 當(dāng)x≤1時(shí),如圖②. 圖② S=S△OGH<S△OAM=12S矩形OAMB=2.5,所以不存在. 當(dāng)x≥5時(shí),如圖③. 圖③ S=S△OST<S△OBM=12S矩形OAMB=2.5,所以不存在. 綜上所述,矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積不可能等于4.1.?導(dǎo)學(xué)號(hào)16734111? 9