27.2.1三角形相似 第4課時(shí) 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 1．如圖，在△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，則DC的長(zhǎng)等于(　　) A. B. C. D. 2.如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 3．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的長(zhǎng)度. 4．已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，圖中兩直角三角形相似？ 5．如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q. (1)求證：△APQ∽△CDQ； (2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，DP⊥AC? 6．如圖，在△ABC中，AD、BF分別是BC、AC邊上的高，過(guò)D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC的延長(zhǎng)線于H，求證：DE2＝EG·EH. 7．如圖，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，圖中兩直角三角形相似？ 8．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC＝∠A. (1)求證：△BDC∽△ABC； (2)如果BC＝，AC＝3，求CD的長(zhǎng)． 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，點(diǎn)P從O點(diǎn)開始沿OA邊向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BO邊向點(diǎn)O以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(單位：秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)，那么當(dāng)t為何值時(shí)，△POQ與△AOB相似？ 10．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD. (1)求證：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝AD·BC. 參考答案 1.A 2.C 3∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＋∠ACB＝90°. ∵AC⊥CE， ∴∠ACE＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90° .∴∠A＝∠ECD. ∴△ABC∽△CDE. ∴＝. 又∵C是線段BD的中點(diǎn)，BD＝4， ∴BC＝CD＝2.∴＝，即AB＝4. 4.①若△ABC∽△ADB，則＝. ∴AD＝3； ②若△ABC∽△DAB，則＝. ∴AD＝3. 綜上所述，當(dāng)AD＝3或3時(shí)，兩直角三角形相似． 5.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴△APQ∽△CDQ. (2) 當(dāng)DP⊥AC時(shí)，∠QCD＋∠QDC＝90°. ∵∠ADQ＋∠QDC＝90°， ∴∠DCA＝∠ADP. 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD. ∴＝， ∴＝，解得PA＝5. ∴t＝5. 6.證明：∵AD、BF分別是BC、AC邊上高， ∴∠ADB＝∠BED＝90° .∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE. ∴∠EBD＝∠EDA. ∴△AED∽△DEB. ∴DE2＝AE·BE. 又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF， ∴∠EBG＝∠H. ∵∠BEG＝∠HEA＝90°， ∴△BEG∽△HEA. ∴＝， 即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH. 7.解：①當(dāng)△ABC∽△ADB時(shí)， 則＝， ∴＝.∴AD＝3. ②當(dāng)△ABC∽△DAB時(shí)， 則＝， ∴＝.∴AD＝3. 綜上所述，當(dāng)AD＝3或3時(shí)，圖中兩直角三角形相似． 8．解：(1)證明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC. (2)∵△BDC∽△ABC， ∴＝. ∴＝. ∴CD＝2. 9．解：①∵∠POQ＝∠AOB， 若△POQ∽△BOA， 則＝，即＝.解得t＝2. ②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB， 則＝，即＝.解得t＝4. 綜上所述，當(dāng)t＝2或t＝4時(shí)，△POQ與△AOB相似． 10．證明：(1)∵AB是⊙O的切線， ∴OD⊥AB. ∴∠ADO＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠C＝∠ADO. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB. (2)由(1)知△ADO∽△ACB， ∴＝. ∴AD·BC＝AC·OD. 又∵OD＝1， ∴AC＝AD·BC. 7