專題18 全等形和全等三角形考點總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識要點】知識點1 全等三角形及其性質(zhì)全等圖形概念：能完全重合的圖形叫做全等圖形. 特征：形狀相同。大小相等。對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。全等三角形概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形. 小結(jié)：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.表示方法：全等用符號“”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時，要注意對應(yīng)頂點字母要寫在對應(yīng)位置上。全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。變換方式（常見）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。1（2017·四川中考模擬）已知四邊形ABCD各邊長如圖所示，且四邊形OPEF四邊形ABCD則PE的長為（）A3B5C6D10【答案】D【詳解】四邊形OPEF四邊形ABCDPE=BC=10，故選D.2（2019·福建中考模擬）如圖，若MNPMEQ，則點Q應(yīng)是圖中的（ ）A點AB點BC點CD點D【答案】D【詳解】MNPMEQ，點Q應(yīng)是圖中的D點，如圖，故選：D3（2018·廣西中考模擬）下列說法中不正確的是（）A全等三角形的周長相等 B全等三角形的面積相等C全等三角形能重合 D全等三角形一定是等邊三角形【答案】D【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知A，B，C命題均正確，故選項均錯誤；D.錯誤，全等三角也可能是直角三角，故選項正確.故選D.考查題型一 利用全等三角形性質(zhì)求線段與角1（2019·武岡市第七中學(xué)中考模擬）如圖，三角形紙片ABC，AB10cm，BC7cm，AC6cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使頂點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則AED的周長為（）A9cmB13cmC16cmD10cm【答案】A【解析】解：由折疊的性質(zhì)知，CD=DE，BC=BE=7cmAB=10cm，BC=7cm，AE=ABBE=3cmAED的周長=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）故選A2（2017·江蘇南京溧水孔鎮(zhèn)中學(xué)中考模擬）如圖，ABCDEF，點A與D，B與E分別是對應(yīng)頂點，且測得BC=5cm，BF=7cm，則EC長為（ ）A1cmB2cmC3cmD4cm【答案】C【詳解】解：ABCBAD，EF=BC=5cm，BF=7cm，BC=5cm，CF=EF-CF=3 cm，故選C3（2016·廣東中考模擬）如圖，ACBA'CB',ACA=30°，則BCB的度數(shù)為( )A20°B30°C35°D40°【答案】B【詳解】ACBACB，ACB=ACB，ACB-ACB=ACB-ACB，即BCB=ACA，又ACA=30°，BCB=30°，故選：B4（2019·沂源縣中莊中學(xué)初一月考）如圖，點B，C，D在同一條直線上，B=D=90°，ABCCDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求ABC的周長；（2）求ACE的面積.【答案】（1）24；（2）50【詳解】解：（1）ABCCDEAC=CEABC的周長=AB+BC+AC=24（2）ABCCDEAC=CE，ACB=CED，BAC=DCE又B=90°ACB+BAC=90°ACB+DCE=90°ACE=180°-（ACB+DCE）=90°ACE的面積=12×AC×CE=50考查題型二 利用全等三角形性質(zhì)證明線段、角相等1（2019·湖北黃石十四中初二期中）如圖，點E在AB上，ABCDEC，求證：CE平分BED【答案】見解析【詳解】ABCDEC，B=DEC，BC=EC，B=BEC，BEC=DEC，CE平分BED2（2018·潁上縣第五中學(xué)初二期中）若ABCDCB，求證：ABE=DCE.【答案】見解析【詳解】證明：ABCDCBABC=DCB，ACB=DBCABC-DBC=DCB-ACB即ABE=DCE知識點2：全等三角形的判定（重點）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等注： 判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等； 全等三角形周長、面積相等證題的思路（重點）：考查題型三 已知一邊一角（若邊為角的對邊，找任意角AAS）1（2018·四川中考模擬）如圖，AB=AE，1=2，C=D求證:AC=AD【答案】見解析【解析】詳解：1=21+EAC=2+EACBAC=EAD在ABC和AED中BAC=EADC=DAB=AEABCAED（AAS)AC=AD2（2014·北京中考模擬）已知：如圖，E是AC上一點，AB=CE，ABCD，ACB =D求證：BC =ED【答案】證明見解析.【詳解】ABCD，A=ECD.在ABC和ECD中，AECD，ACBD，ABCE，ABCECD（AAS）.BC=DE3（2018·四川中考模擬）已知，如圖，E、F分別為ABCD的邊BC、AD上的點，且1=2,.求證：AE=CF.【答案】詳見解析【詳解】四邊形ABCD為平行四邊形B=D，AB=CD在ABE與CDF中，1=2，B=D，AB=CDABECDFAE=CF4（2016·福建中考模擬）如圖，ACB90°，ACBC，BECE，ADCE求證：ACDCBE【答案】證明詳見解析.【詳解】ADCE，BECE，ADC=E=90°，ACB=90°，BCE+ACD=90°，B+BCE=90°，B=ACD，在BEC和CDA中，ADC=E=90°，B=ACD，AC=BC，ACDCBE（AAS）考查題型四 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知角的另一邊SAS）1（2016·四川中考真題）如圖，C是線段AB的中點，CD=BE，CDBE求證：D=E【答案】見解析【詳解】C是線段AB的中點，AC=CB，CDBE，ACD=B，在ACD和CBE中，AC=CB，ACD=B，CD=BE，ACDCBE（SAS），D=E2（2018·云南中考模擬）如圖，點E，F(xiàn)在AB上，ADBC，AB，AEBF求證：CD【答案】證明見解析【詳解】證明：AEBF，AE+EFBF+EF，AFBE，在ADF與BCE中，ADFBCE（SAS），CD3（2019·遼寧中考真題）如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求證：AF=DE【答案】見解析；【詳解】證明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在ABF和DCE中，AB=DCB=CBF=CE，ABFDCE AF=DE考查題型五 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知邊的對角AAS）1（2013·浙江中考真題）如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50°，求EBC的度數(shù)?！敬鸢浮恳娊馕觯?）EBC=25°【詳解】解（1）證明：在ABE和DCE中，A=DAEB=DECAB=DC，ABEDCE（AAS）（2）ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50°，EBC=25°2（2016·廣西中考模擬）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DEAB，DFBC，垂足分別是E、F，并且DE=DF求證：（1）ADECDF；（2）四邊形ABCD是菱形【答案】見解析【解析】證明：（1）DEAB，DFBC，AED=CFD=900。四邊形ABCD是平行四邊形，A=C。在AED和CFD中： &AED=CFD&A=C&DE=DF，AEDCFD（AAS）。（2）AEDCFD，AD=CD。四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是菱形。3（2019·陜西中考模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE、DF分別是ABC、ADC的平分線，且與對角線AC分別相交于點E、F求證：AE=CF【答案】見解析.【詳解】證明：平行四邊形ABCD中，ADBC，AD=BC，ACB=CADBE、DF分別是ABC、ADC的平分線，BEC=ABE+BAE=FDC+FCD=DFA，在BEC與DFA中，BECDFAACBCADADBC BECDFA（AAS），AF=CE，AE=CF考查題型六 已知一邊一角（邊為角的鄰邊（找已知邊的另一角ASA）1（2016·湖北中考真題）楊陽同學(xué)沿一段筆直的人行道行走,在由A步行到達(dá)B處的過程中,通過隔離帶的空隙O,剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標(biāo)語,其具體信息匯集如下:如圖,ABOHCD,相鄰兩平行線間的距離相等,AC,BD相交于O,ODCD,垂足為D,已知AB=20米,請根據(jù)上述信息求標(biāo)語CD的長度.【答案】20米.【解析】試題解析：ABCD，ABO=CDO，ODCD，CDO=90°，ABO=90°，即OBAB，相鄰兩平行線間的距離相等，OD=OB，在ABO與CDO中，ABOCDO（ASA），CD=AB=20（m）2（2015·北京中考模擬）如圖，已知，EC=AC，BCE=DCA，A=E；求證：BC=DC【答案】見解析【詳解】證明：BCE=DCA，BCE+ACE=DCA+ACE，即ACB=ECD.在ABC和EDC中，ACB=ECDAC=ECA=E，ABCEDC（ASA）.BC=DC3（2016·湖北中考模擬）如圖，已知EFMN，EGHN，且FH=MG，求證：EFGNMH【答案】證明見解析【解析】EFMN, EGHN,F=M, EGF=NHM.FH=MG，F(xiàn)G=MH.在EFG和NMH中F=M, FG=MHEGF=NHM，EFGNMH（ASA）考查題型七 已知兩角，找兩角的夾邊ASA1（2010·河北中考真題）如圖，在ABC和ADE中，點E在BC邊上，BACDAE，BD， ABAD,（1）試說明ABCADE；（2）如果AEC75°，將ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一個銳角后與ABC重合，求這個旋轉(zhuǎn)角的大小【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、30°【詳解】（1）BAC=DAE，AB=AD，B=D，ABCADE.（2）ABCADEAC=AE，C=AEC=75°，CAE=180°CAEC=30°，ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后與ABC重合，這個旋轉(zhuǎn)角為30°.2（2019·河北中考模擬）某風(fēng)景區(qū)改建中，需測量湖兩岸游船碼頭A、B間的距離，于是工作人員在岸邊A、B的垂線AF上取兩點E、D，使EDAE再過D點作出AF的垂線OD，并在OD上找一點C，使B、E、C在同一直線上，這時測得CD長就是AB的距離請說明理由【答案】證明見解析.【詳解】證明：ABAD，CDAD，ACDE90°，又EDAE，AEBCED，ABECED(AAS)，ABCD3（2018·湖北中考模擬）如圖，BDAC于點D，CEAB于點E，AD=AE求證：BE=CD【答案】證明過程見解析【詳解】BDAC于點D，CEAB于點E， ADB=AEC=90°，在ADB和AEC中，ADB=AECAD=AEA=AADBAEC（ASA） AB=AC， 又AD=AE， BE=CD考查題型八 已知兩角，找任意一邊AAS 1（2017·湖北中考模擬）如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BECF，AD，BC，AF與DE交于點O(1)求證：ABDC；(2)試判斷OEF的形狀，并說明理由【答案】（1）證明略（2）等腰三角形，理由略【詳解】證明：（1）BECF，BEEFCFEF， 即BFCE 又AD，BC，ABFDCE（AAS）， ABDC （2）OEF為等腰三角形 理由如下：ABFDCE，AFB=DECOE=OFOEF為等腰三角形2（2019·山西中考真題）已知：如圖，點B，D在線段AE上，AD=BE，ACEF，C=H.求證：BC=DH.【答案】證明見解析.【詳解】AD=BE，AD-BD=BE-BD，即AB=DE.ACEH，A=E，在ABC和EDH中C=HA=EAB=DE，ABCEDH(AAS)，BC=DH.3（2019·廣西中考模擬）已知：如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，ABDE，AD，BFEC（1）求證：ABCDEF（2）若A120°，B20°，求DFC的度數(shù)【答案】（1）見解析；（2）DFC40°【詳解】（1）證明：ABDE，BE，BFECBF+FCEC+CF，即BCEF，在ABC和DEF中，&A=D&B=E&BC=EF ，ABCDEF（AAS）；（2）解：A120°，B20°，ACB40°，由（1）知ABCDEF，ACBDFE，DFE40°，DFC40°4（2016·江蘇中考模擬）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，A=90°，CEBD于E，AB=EC（1）求證：ABDECB；（2）若EDC=65°，求ECB的度數(shù)；（3）若AD=3，AB=4，求DC的長【答案】（1）證明見解析；（2）40°；（3）25【解析】（1）證明：ADBC，ADB=EBC，A=CEB=90°，在ABD與CEB中，A=CEBADB=EBCAB=CE，ABDECB；（2）由（1）證得ABDECB，BD=BC，BCD=BDC=65°，DCE=90°-65°=25°，ECB=40°；（3）由（1）證得ABDECB，CE=AB=4，BE=AB=3，BD=BC=42+32=5，DE=2，CD=22+42=25考查題型九 已知兩邊，找夾角SAS1（2013·湖北中考真題）如圖，點D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE【解析】證明：AB=AC，B=C。在ABD與ACE中，AB=ACB=CBD=EC，ABDACE（SAS）。AD=AE。2（2018·廣東中考真題）如圖，AB與CD相交于點E，AECE，DEBE求證：AC【答案】證明見解析【詳解】在AED和CEB中，AE=CEAED=CEBDE=BE，AEDCEB（SAS），AC（全等三角形對應(yīng)角相等）3（2019·江蘇中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,點D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點0；求證：（1）DBCECB（2）OB=OC【答案】（1）見解析；（2）見解析.【詳解】(1)AB=AC，ECB=DBC，在DBC與ECB中 BD=CEDBC=BC=CBECB， DBCECB；(2)由(1) DBCECB，DCB=EBC，OB=OC.4（2018·江蘇中考模擬）如圖，在五邊形ABCDE中，BCD=EDC=90°，BC=ED，AC=AD（1）求證：ABCAED；（2）當(dāng)B=140°時，求BAE的度數(shù)【答案】（1）詳見解析；（2）80°【詳解】證明：（1）AC=AD，ACD=ADC，又BCD=EDC=90°，ACB=ADE，在ABC和AED中，BC=EDACB=ADEAC=AD，ABCAED（SAS）；解：（2）當(dāng)B=140°時，E=140°，又BCD=EDC=90°，五邊形ABCDE中，BAE=540°140°×290°×2=80°5（2019·河北中考模擬）如圖，BAD是由BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，且ABBC，BECE，連接DE（1）求證：BDEBCE；（2）試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由【答案】證明見解析.【詳解】（1）證明：BAD是由BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，DB=CB，ABD=EBC，ABE=60°，ABEC，ABC=90°，DBE=CBE=30°，在BDE和BCE中，DB=CBDBE=CBEBE=BE，BDEBCE；（2）四邊形ABED為菱形；由（1）得BDEBCE，BAD是由BEC旋轉(zhuǎn)而得，BADBEC，BA=BE，AD=EC=ED，又BE=CE，BA=BE=ED= AD四邊形ABED為菱形考查題型十已知兩邊，找直角HL1（2018·江蘇中考真題）如圖，A=D=90°，AC=DB，AC、DB相交于點O求證：OB=OC【答案】證明見解析.【解答】證明：在RtABC和RtDCB中BD=CABC=CB，RtABCRtDCB（HL），OBC=OCB，BO=CO2（2019·江蘇中考模擬）如圖所示，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別是點E，F(xiàn)，且BE=CF，求證：AD是ABC的角平分線【答案】見解析【詳解】證明：DEAB，DFAC，BDEDCF是直角三角形在RtBDE與RtDCF中，BE=CFBD=DC，RtBDERtDCF（HL），DE=DF，又DEAB，DFAC，AD是ABC的角平分線3（2019·福建省詔安縣霞葛初級中學(xué)中考模擬）如圖，D、C、F、B四點在一條直線上，ACBD，EFBD，垂足分別為點C、點F，CD=BF求證：（1）ABCEDF；（2）AB/DE【答案】（1）見解析；（2）見解析.【詳解】證明：（1）ACBD，EFBD，ABC和EDF為直角三角形，CD=BF，CF+BF=CF+CD，即BC=DF，在RtABC和RtEDF中，AB=DEBC=DF，RtABCRtEDFHL；（2）由（1）可知ABCEDF，B=D，AB/DE考查題型十一 已知兩邊，找第三邊SSS1（2018·四川中考模擬）如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，ABDE，ACDF，BECF，求證：ABDE【答案】詳見解析.【解析】證明：由BECF可得BCEF，又ABDE，ACDF，故ABCDEF（SSS），則B=DEF，ABDE2（2018·廣西中考真題）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求證：ABCDEF；(2)若A=55°，B=88°，求F的度數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）37°【解析】（1）AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，AB=DEBC=EFAC=DFABCDEF（SSS）（2）由（1）可知，F(xiàn)=ACBA=55°，B=88°ACB=180°（A+B）=180°（55°+88°）=37°F=ACB=37°3（2019·遼寧中考模擬）已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AEBF【答案】證明見解析.【解析】AD=BC，AC=BD，在ACE和BDF中，ACBDAEBFCEDF，ACEBDF（SSS）A=B，AEBF；知識點3 角平分線角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等； 判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上三角形中角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這點到三條邊距離相等。考查題型十二 圖中有角平分線，向兩邊作垂線1.（2019·襄樊市月考）在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF【答案】證明見解析.【詳解】過D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90°，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分線性質(zhì)），EAF+EDF=180°，MED+AFD=360°-180°=180°，AFD+NFD=180°，MED=NFD，在EMD和FND中MED=DFNDME=DNFDM=DN，EMDFND（AAS），DE=DF2. （2019·襄樊市月考）在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF【答案】證明見解析.【詳解】過D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90°，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分線性質(zhì)），EAF+EDF=180°，MED+AFD=360°-180°=180°，AFD+NFD=180°，MED=NFD，在EMD和FND中MED=DFNDME=DNFDM=DN，EMDFND（AAS），DE=DF3（2017·廣東中考模擬）如圖，OC是AOB的平分線，P是OC上一點，PDOA于點D，PD=6，則點P到邊OB的距離為_【答案】6【解析】作PEOB于E，如圖，OC是AOB的平分線，PDOA，PEOB，PE=PD=6，即點P到邊OB的距離為6故答案為6考查題型十三 角平分線加垂線，三線合一試試看1.如圖，已知AEFE，垂足為E，且E是DC的中點(1)如圖，如果FCDC，ADDC，垂足分別為C，D，且ADDC，判斷AE是FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)(2)如圖，如果(1)中的條件“ADDC”去掉，其余條件不變，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請說明理由；(3)如圖，如果(1)中的條件改為“ADFC”，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請說明理由【答案】（1）AE是FAD的角平分線（2）成立（3）成立【詳解】（1）AE是FAD的角平分線；（2）成立，如圖，延長FE交AD于點B，E是DC的中點，EC=ED，F(xiàn)CDC，ADDC，F(xiàn)CE=EDB=90°，在FCE和BDE中，F(xiàn)EC=DEBEC=EDFCE=EDB,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分線；（3）成立，如圖，延長FE交AD于點B，AD=DC，F(xiàn)CE=EDB，在FCE和BDE中，F(xiàn)EC=DEBEC=EDFCE=EDB,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分線.考查題型十四 角平分線平行線，等腰三角形來填1.（2017春 贛州市期末）如圖，在ABC中，ABC與ACB的平分線交于點O，過點O作DE/BC，分別交AB,AC于點D,E,若AB=4，AC=3，則ADE的周長是_?！敬鸢浮?【解析】解：BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，BD=DO，同理OE=EC，ADE的周長=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7故答案為：72.（2018·江蘇中考模擬）如圖，ABCD，CB平分ACD，ABC=35°，則BAE=_度.【答案】70【詳解】ABCD，ABC=35°，BCD=B=35°，CB平分ACD，BAE=2BCD=70°故正確答案為：70.考查題型十五 圖形對折問題1（2017 丹陽市月考）如圖a是長方形紙帶，DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的CFE的度數(shù)是_°【答案】105°【解析】由圖a知，EFC=155°.圖b中，EFC=155°，則GFC=EFC-EFG=155°-25°=130°.圖c中，GFC=130°，則CFE=130°-25°=105°. 故答案為：105°.2.（2019 道外區(qū)期末）如圖a是長方形紙帶（提示：ADBC），將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿GF折疊成圖c（1）若DEF20°，則圖b中EGB_，CFG_；（2）若DEF20°，則圖c中EFC_；（3）若DEF，把圖c中EFC用表示為_；（4）若繼續(xù)按EF折疊成圖d，按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住EFG，整個過程共折疊了9次，問圖a中DEF的度數(shù)是多少【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°3；（4）18°【詳解】（1）長方形的對邊是平行的，BFEDEF20°，EGBBFE+DEF40°，F(xiàn)GDEGB40°，CFG180°FGD140°；故答案為：40°，140°；（2）長方形的對邊是平行的，BFEDEF20°，圖a、b中的CFE180°BFE，以下每折疊一次，減少一個BFE，圖c中的EFC度數(shù)是120°；故答案為：120°；（3）由（2）中的規(guī)律，可得CFE180°3故答案為：180°3；（4）設(shè)圖a中DEF的度數(shù)是x°，由（2）中的規(guī)律，可得180(9+1)x0解得：x18故答案為：18°考查題型十六 角平分線與實際問題1（2019·深圳市文錦中學(xué)中考模擬）已知：如圖所示，三條公路兩兩分別相交于點A、B、C，在甲區(qū)內(nèi)求作一點P，使點P到三條公路的距離都相等?！敬鸢浮看鸢敢娊馕觥驹斀狻拷猓狐cP位置如圖所示：32