專題04 實(shí)數(shù)考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識要點(diǎn)】知識點(diǎn)一 平方根算術(shù)平方根概念：一般的如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2= a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。算術(shù)平方根的表示方法：非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根記作a，讀作根號a，其中a是被開方數(shù)。平方根概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。平方根的性質(zhì)與表示：表示：正數(shù)a的平方根用±a表示， a叫做正平方根，也稱為算術(shù)平方根， -a叫做a的負(fù)平方根。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根：±a （根指數(shù)2省略）且他們互為相反數(shù)。0有一個(gè)平方根，為0，記作0=0負(fù)數(shù)沒有平方根平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系：1（2017·甘肅中考模擬）正數(shù)9的平方根是( )A3B±3CD【答案】B【詳解】因?yàn)?3的平方都等于9，所以答案為B2（2016·山東中考模擬）81的算術(shù)平方根是（ ）A9 B±9 C3 D±3【答案】A【解析】試題解析：92=81，81的算術(shù)平方根是9故選A3（2018·江蘇中考模擬）9的算術(shù)平方根是（ ）A3B±3C3D【答案】C【解析】試題分析：9的算術(shù)平方根是3故選C4（2019·寧波市慈湖中學(xué)中考模擬）的平方根是()A4B±2C±4D4【答案】B【詳解】4216，4，的平方根是±2, 故選B5（2018·河南中考模擬）的算術(shù)平方根為（ ）ABCD【答案】B【解析】=2，而2的算術(shù)平方根是，的算術(shù)平方根是，故選B6（2019·浙江中考模擬）的算術(shù)平方根是（）A4B±4C2D±2【答案】C【詳解】4，4的算術(shù)平方根是2，所以的算術(shù)平方根是2，故選C7（2019·四川中考模擬）的算術(shù)平方根是（ ）A9B±9C±3D3【答案】D【詳解】=9，又（±3）2=9，9的平方根是±3，9的算術(shù)平方根是3即的算術(shù)平方根是3故選:D8（2019·黑龍江中考模擬）的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】詳解：，故選：A.9（2017·江蘇中考真題）若方程的兩根為和，且，則下列結(jié)論中正確的是 （ ）A是19的算術(shù)平方根B是19的平方根C是19的算術(shù)平方根D是19的平方根【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)平方根的意義，可知x-5是19的一個(gè)平方根，由ab，可知a-5是19的算術(shù)平方根，b-5是其負(fù)的平方根.故選：C考查題型一 利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題1（2015·內(nèi)蒙古中考真題）若則的值是（ ）A2 B 、1 C、0 D、【答案】B【解析】試題分析：由題意得，3a=0，2+b=0，解得，a=3，b=2，a+b=1，故選B2（2016·山西中考模擬）若(m-1)2+0，則mn的值是（ ）A1B0C1D2【答案】A【詳解】(m-1)2+0，m1=0，n+2=0；m=1，n=2，m+n=1+(2)=1故選：A.3（2018·山東中考模擬）已知，且，則的值為（ ）A2或12B2或C或12D或【答案】A【解析】根據(jù)=5，=7，得，因?yàn)?，則，則=5+7=12或-5+7=2.故選A.考查題型二 利用平方根的性質(zhì)解題1（2019·南票區(qū)九龍街道初級中學(xué)中考模擬）若a24，b29，且ab0，則ab的值為（）A2B±5C5D5【答案】B【解析】a2=4,b2=9，a=±2，b=±3，ab<0，a=2時(shí),b=3,ab=2(3)=2+3=5，a=2時(shí)，b=3，ab=23=5，所以，ab的值為5或5.故選：B.2（2019·黑龍江中考模擬）對于實(shí)數(shù)a，b下列判斷正確的是（ ）A若，則 B若，則 C若，則D若，則【答案】D【詳解】解：A也可能是a=-b，故A錯(cuò)誤；B，只能說明|a|b，故B錯(cuò)誤；C，a，b也可能互為相反數(shù)；D，都表示算術(shù)平方根，故D正確；3（2018·江蘇中考模擬）如果a，b分別是2016的兩個(gè)平方根，那么a+bab=_【答案】2016【詳解】a，b分別是2016的兩個(gè)平方根， a，b分別是2016的兩個(gè)平方根，a+b=0，ab=a×（a）=a2=2016，a+bab=0（2016）=2016，故答案為：2016知識點(diǎn)二 立方根和開立方立方根概念：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根，表示方法：數(shù)a的立方根記作3a，讀作三次根號a立方根的性質(zhì)：任何實(shí)數(shù)都有唯一確定的立方根。正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)。負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。的立方根是.開立方概念：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算。開平方的表示：3a3=a 3a3=a 3-a=-3a （a取任何數(shù)） 這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。注意:的平方根和立方根都是本身。n次方根(擴(kuò)展)概念：如果一個(gè)數(shù)的n次方（n是大于的整數(shù)）等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的n次方根。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)叫做a的奇次方根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)叫做a的偶次方根。性質(zhì)： 正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)：±na；的偶次方根為：n0=0；負(fù)數(shù)沒有偶次方根。正數(shù)的奇次方根為正。的奇次方根為。負(fù)數(shù)的奇次方根為負(fù)。1（2019·江蘇中考模擬）8的立方根是( )A±2B2C2D24【答案】C【詳解】23=8，8的立方根是2，故選B2（2018·湖南中考真題）下列各式中正確的是ABCD【答案】D【詳解】A.原式=3，不符合題意；B.原式=|-3|=3，不符合題意；C.原式不能化簡，不符合題意；D.原式=2-=，符合題意，故選D3（2011·山東中考模擬） 的相反數(shù)是（）A2B2C4D4【答案】B【詳解】的相反數(shù)是-=2故選B.4（2019·山東中考真題）下列計(jì)算正確的是（）ABCD【答案】D【詳解】解：A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，正確故選：D5（2019·湖南中考模擬）下列說法正確的是（ ）A一個(gè)有理數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù) B負(fù)數(shù)沒有立方根C無理數(shù)都是開不盡的方根數(shù) D無理數(shù)都是無限小數(shù)【答案】D【詳解】（1）由平方根的性質(zhì)可以得知，負(fù)有理數(shù)沒有平方根，0的平方根是0，A錯(cuò)誤 （2）任何實(shí)數(shù)都有立方根，B答案錯(cuò)誤 （3）無理數(shù)的定義是無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，C答案錯(cuò)誤 D答案正確 故選D6（2019·浙江中考模擬）下列計(jì)算正確的是（ ）A=4B=±4C=4D=4【答案】D【解析】根據(jù)二次根式的意義，可知被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，因此A不正確；根據(jù)算術(shù)平方根是平方根中帶正號的，故B不正確；根據(jù)二次根式的性質(zhì) 可知=4，故C不正確；根據(jù)立方根的意義可知=-4，故D正確.故選D7（2013·廣東中考模擬）一個(gè)立方體的體積為64，則這個(gè)立方體的棱長的算術(shù)平方根為（ ）A±4B4C±2D2【答案】D【解析】立方體的體積為64，它的棱長=，它的棱長的平方根為：.故選D.8（2019·來賓市第四中學(xué)中考模擬）下列說法5的絕對值是5；1的相反數(shù)是1；0的倒數(shù)是0；64的立方根是±4，是無理數(shù)，4的算術(shù)平方根是2，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A2B3C4D5【答案】B【詳解】5的絕對值是5，正確；1的相反數(shù)是1，正確；0沒有倒數(shù)，錯(cuò)誤；64的立方根是4，錯(cuò)誤，不是無理數(shù)，是有理數(shù)，錯(cuò)誤，4的算術(shù)平方根是2，正確，故選B考查提醒三 利用立方根的性質(zhì)解題1下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）A2與B2與C2與（-）2D|-|與【答案】A【解析】選項(xiàng)A. 2與 =2， 選項(xiàng)B. 2與 =-2， 選項(xiàng) C. 2與（-）2=2, 選項(xiàng)D. |-|=與,故選A.2.（2018·福建中考模擬）若實(shí)數(shù)滿足，則的立方根為_【答案】【詳解】由題意得：2x-3=0，9+4y=0，解得：x=，y=，xy=，xy的立方根是，故答案為：.考查題型四 立方根、算術(shù)平方根、平方根的綜合1（2018·合肥市第四十五中學(xué)初一期中）已知a+3和2a15是某正數(shù)的兩個(gè)平方根，b的立方根是2，c算術(shù)平方根是其本身，求2a+b3c的值【答案】當(dāng)a4，b8，c0，2a+b3c0；當(dāng)a4，b8，c1，2a+b3c3【詳解】某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3和2a15，b的立方根是2c算術(shù)平方根是其本身a+3+2a150，b8，c0或1，解得a4當(dāng)a4，b8，c0，2a+b3c8800；當(dāng)a4，b8，c1，2a+b3c88332已知3x+1的算術(shù)平方根是4，x+y-17的立方根是-2，求x+y的平方根【答案】±3【詳解】根據(jù)題意得：3x+1=16，x+y-17=-8，解得：x=5，y=4，則x+y=4+5=9，9的平方根為±3所以x+y的平方根為±33.已知的算術(shù)平方根足，的立方根是，求的平方根【答案】±【詳解】解：由題意得：2a-1=9，3a+b-1=8，解得：a=5，b=-6，則a-2b=5-2×(-6)=17，17的平方根是±4.已知a+1的算術(shù)平方根是1，27的立方根是b12，c3的平方根是±2，求a+b+c的平方根【答案】±4【詳解】解：a+1的算術(shù)平方根是1，a+1=1，即a=0；27的立方根是b12，b12=3，即b=9；c3的平方根是±2，c3=4，即c=7；a+b+c=0+9+7=16，則a+b+c的平方根是±45（2019·貴州省畢節(jié)梁才學(xué)校初二期中）已知是49的算術(shù)平方根，的立方根是2，求的平方根【答案】±13【詳解】解：x+2是49的算術(shù)平方根，x+2=7，解得x=5，的立方根是2，=8，解得y=12，=169，（±13）2=169，的平方根是±13知識點(diǎn)三 實(shí)數(shù)無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。實(shí)數(shù)概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的分類：1.按屬性分類： 2.按符號分類 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系（重點(diǎn)）：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)2的畫法：畫邊長為1的正方形的對角線在數(shù)軸上表示無理數(shù)通常有兩種情況：1.尺規(guī)可作的無理數(shù)，如 2.尺規(guī)不可作的無理數(shù) ，只能近似地表示，如，1.010010001實(shí)數(shù)大小比較的方法（常用）：1）平方法2）根號法3）求差法實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)： 1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。2.非負(fù)數(shù)有三種形式 任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即|a|0； 任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即a20；任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即a03.非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)非負(fù)數(shù)有最小值零；非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于01（2019·四川中考模擬）下列實(shí)數(shù)0，其中，無理數(shù)共有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【詳解】解：無理數(shù)有：，.故選B.2（2013·貴州中考真題）下列各數(shù)中，3.14159，-38，0.131131113，-，25，-17，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】B【解析】試題分析：無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，由此可得出無理數(shù)的個(gè)數(shù)，因此，由定義可知無理數(shù)有：0.131131113，共兩個(gè)。故選B。3（2018·山東中考真題）下列各數(shù)：-2，0，0.020020002，其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】是有理數(shù)，0是有理數(shù)，是有理數(shù)，0.020020002是無理數(shù)，是無理數(shù)，是有理數(shù)，所以無理數(shù)有2個(gè)，故選C.4（2019·山東中考模擬）在實(shí)數(shù)，2，0.121 221 222 1（兩個(gè)”1”之間依次多一個(gè)“2”）中，有理數(shù)有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【詳解】，=-3是有理數(shù)；，2，0.121 221 222 1（兩個(gè)”1”之間依次多一個(gè)“2”）是無理數(shù).故選B.5（2018·貴州中考模擬）下列說法： ；數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)成一一對應(yīng)關(guān)系；2是的平方根；任何實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；兩個(gè)無理數(shù)的和還是無理數(shù)；無理數(shù)都是無限小數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)有( )A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)【答案】C【詳解】，是錯(cuò)誤的；數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)成一一對應(yīng)關(guān)系，故說法正確；4，故-2是 的平方根，故說法正確；任何實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)，故說法正確；兩個(gè)無理數(shù)的和還是無理數(shù)，如 和 是錯(cuò)誤的；無理數(shù)都是無限小數(shù)，故說法正確；故正確的是共4個(gè)；故選C.6（2018·四川中考模擬）的相反數(shù)是（）A2B2C4D【答案】A【解析】的相反數(shù)是，即2.故選A.7（2018·山東中考模擬）1的相反數(shù)是（）A1B1CD1【答案】B【詳解】根據(jù)a的相反數(shù)為-a即可得，1的相反數(shù)是1.故選B.8（2018·黑龍江中考模擬）實(shí)數(shù)的絕對值是A3BCD【答案】B【詳解】解：=故選B.9（2018·四川中考模擬）的絕對值是（ ）AB C D【答案】C【解析】， .故選C.考查題型五 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用方法1（2013·湖北中考模擬）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|b|，則化簡的結(jié)果為（ ）A2a+bB-2a+bCbD2a-b【答案】C【解析】由數(shù)軸可知，b0a，且 |a|b|，.故選C2（2013·廣西中考模擬）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）.A10B5C3D2【答案】B【詳解】由圖象可知，2p352.236，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是5故選B3（2018·天津中考模擬）在如圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是和1，則點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是( )A1+B2+C21D2+1【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是x根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，對稱點(diǎn)到對稱中心的距離相等，則有，解得.故選D.考查題型六 實(shí)數(shù)大小比較1（2018·湖南中考模擬）、5三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（   ）A        BC                D【答案】A【詳解】這一組數(shù)據(jù)可化為、272524，即25故選A2.（2018·天津中考模擬）比較的大小，正確的是( )ABCD【答案】A【詳解】2，2；，故選A3（2019·天津中考模擬）若，則下列關(guān)系正確的為( )ABCD【答案】C【詳解】25<30<36，5<<6，即5<a<6，b=，b=6，64<65<125，4<<5，即4<c<5，b>a>c，故選C.考查題型七 無理數(shù)估算方法1.（2019·遼寧中考模擬）估計(jì)5的值應(yīng)在（）A5和6之間B6和7之間C7和8之間D8和9之間【答案】C【詳解】5=，49<54<64， 7<<8， 5的值應(yīng)在7和8之間，故選C2.（2019·天津中考模擬）3+ 的結(jié)果在下列哪兩個(gè)整數(shù)之間（）A6和7B5和6C4和5D3和4【答案】A【詳解】解：34，63+ 7，故選：A3（2018·海南中考模擬）若，則估計(jì)m的值所在范圍是ABCD【答案】C【詳解】因?yàn)椋?所以，,即故選C17