專(zhuān)題22 圖形的旋轉(zhuǎn) 考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】 【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角.如圖形上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變化點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫作這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).如圖所示，是繞定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，其中點(diǎn)與點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線(xiàn)段與線(xiàn)段叫作對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，與叫作對(duì)應(yīng)角，點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，（或）的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度.【注意】1.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定.2.旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形內(nèi)，也可以是圖形外?！緢D形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)的特征：Ø 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；Ø 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；Ø 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法：Ø 確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；Ø 找出圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)；Ø 連接圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；Ø 按原圖的順序連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即得旋轉(zhuǎn)后的圖形.平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)之間的聯(lián)系：變化后不改變圖形的大小和形狀，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等、對(duì)應(yīng)角相等。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)之間的區(qū)別：1） 變化方式不同：平移：將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定距離。旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)一定角度。軸對(duì)稱(chēng)：將一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)對(duì)折。2） 對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系不同平移： 變化前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行（或在一條直線(xiàn)上），對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)平行（或在一條直線(xiàn)上），對(duì)應(yīng)角的兩邊平行（或在一條直線(xiàn)上）、方向一致。旋轉(zhuǎn)： 變化前后任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所稱(chēng)的角都是旋轉(zhuǎn)角。軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)如果相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。3）確定條件不同平移：距離與方向旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)的三要素。軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)稱(chēng)軸1（2018·湖南中考模擬）如圖，將正方形ABCD中的陰影三角形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到的圖形為（）ABCD【答案】A【解析】順時(shí)針90°后，AD轉(zhuǎn)到AB邊上，所以，選A。2（2018·沭陽(yáng)縣馬廠(chǎng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn) 180°，得到數(shù)字“9”；將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn) 180°，得到數(shù)字 “6”現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn) 180°，得到的數(shù)字是（ ）A96B69C66D99【答案】B【詳解】解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：69故選B3（2014·湖南中考真題）下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是（ ）ABCD【答案】A【解析】試題分析：A、最小旋轉(zhuǎn)角度=120°；B、最小旋轉(zhuǎn)角度=90°；C、最小旋轉(zhuǎn)角度=180°；D、最小旋轉(zhuǎn)角度=72°；綜上可得：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是A故選A考查題型一 圖形旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)的應(yīng)用方法1（2018·甘肅中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE=2，則AE的長(zhǎng)為（）A5BC7D【答案】D【詳解】把ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABF的位置，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，AD=DC=5，DE=2，RtADE中， 故選D2（2019·天津中考模擬）如圖，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EDC若點(diǎn)A，D，E在同一條直線(xiàn)上，ACB=20°，則ADC的度數(shù)是A55°B60°C65°D70°【答案】C【詳解】將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EDCDCE=ACB=20°，BCD=ACE=90°，AC=CE，ACD=90°-20°=70°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線(xiàn)上，ADC+EDC=180°，EDC+E+DCE=180°，ADC=E+20°，ACE=90°，AC=CEDAC+E=90°，E=DAC=45°在ADC中，ADC+DAC+DCA=180°，即45°+70°+ADC=180°，解得：ADC=65°，故選C3（2018·天津中考模擬）如圖，將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到ADE若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則B的大小為（）A30°B40°C50°D60°【答案】B【解析】ADE是由ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)100°得到的，BAD=100°，AD=AB，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，B=ADB=.故選B.4（2019·天津中考真題）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接下列結(jié)論一定正確的是（ ）ABCD【答案】D【詳解】解：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，A=CDA=；EBC=BEC=,選項(xiàng)A、C不一定正確A =EBC選項(xiàng)D正確EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB不一定等于，選項(xiàng)B不一定正確；故選：D5（2011·浙江中考真題）如圖，已知AOB是正三角形，OCOB，OC=OB，將OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得OA與OC重合，得到OCD，則旋轉(zhuǎn)的角度是（ ）A150°B120°C90°D60°【答案】A【解析】AOC就是旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解解：旋轉(zhuǎn)角AOC=AOB+BOC=60°+90°=150°故選A考查題型二 確定旋轉(zhuǎn)中心1（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是（）A（1，0）B（1，2）C（0，0）D（1，1）【答案】B【詳解】解：作線(xiàn)段AB，線(xiàn)段CD，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN，線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)EF，直線(xiàn)MN交直線(xiàn)EF于點(diǎn)K，點(diǎn)K即為旋轉(zhuǎn)中心觀(guān)察圖象可知旋轉(zhuǎn)中心，故選：B考查題型三 通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)作圖1（2018·江蘇中考真題）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）（1）畫(huà)出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的A1B1C1；（2）畫(huà)出將ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的A2B2C2；（3）A1B1C1與A2B2C2成軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？若成軸對(duì)稱(chēng)圖形，畫(huà)出所有的對(duì)稱(chēng)軸；（4）A1B1C1與A2B2C2成中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？若成中心對(duì)稱(chēng)圖形，寫(xiě)出所有的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；（4）（， ）【詳解】解：（1）根據(jù)題意，作圖如下圖所示：（2）根據(jù)題意，作圖如下圖所示： （3）成軸對(duì)稱(chēng)圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸即連接兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段，作它的垂直平分線(xiàn)，或連接A1C1，A2C2的中點(diǎn)的連線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸 （4）成中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為線(xiàn)段BB2的中點(diǎn)P，坐標(biāo)是（，）2（2012·江蘇中考模擬）如圖，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3）、B（6，0）、C（1，0）（1）畫(huà)出ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的三角形ABC；（2）將ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出：以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】（1）圖略；（2）圖略，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）；（3）點(diǎn)D坐標(biāo)為（7，3）或（3，3）或（5，3）【詳解】解：（1）如圖所示ABC即為所求；（2）如圖所示，A''B''C' '即為所求；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）當(dāng)以BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)D3的坐標(biāo)為（-5，-3）；當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)D2的坐標(biāo)為（-7，3）；當(dāng)以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)D1坐標(biāo)為（3，3）考查題型四 旋轉(zhuǎn)與全等三角形相結(jié)合解題1（2019·珠海市前山中學(xué)中考模擬）如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D是 AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線(xiàn)段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE求證：AEBC【答案】見(jiàn)解析【解析】ABC是等邊三角形,AC=BC,B=ACB=60°,線(xiàn)段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE,CD=CE,DCE=60°,DCE=ACB,即BCD+DCA=DCA+ACE,BCD=ACE,在BCD與ACE中,BCDACE,EAC=B=60°,EAC=ACB,AEBC.2（2013·湖南中考真題）某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將RtAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（0°90°），如圖（2），AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P（1）求證：AM=AN；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角=30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）證明：用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將RtAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（0°90°），AB=AF，BAM=FAN.在ABM和AFN中，ABMAFN（ASA）.AM=AN.（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角=30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形.理由如下：連接AP，=30°，F(xiàn)AN=30°.FAB=120°.B=60°，AFBP.F=FPC=60°.FPC=B=60°.ABFP.四邊形ABPF是平行四邊形.AB=AF，平行四邊形ABPF是菱形.3（2019·山東中考模擬）如圖，已知ABC中，ABAC，把ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F（1）求證：AECADB；（2）若AB2，BAC45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BF【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ABCADE，且ABAC，AEAD，ACAB，BACDAE，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB（SAS）；（2）四邊形ADFC是菱形，且BAC45°，DBABAC45°，由（1）得：ABAD，DBABDA45°，ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，BD22AB2，即BD2，ADDFFCACAB2，BFBDDF22考查題型五 圖形旋轉(zhuǎn)綜合題1（2015·湖北中考真題）如圖，ABC中，ABAC1，BAC45°，AEF是由ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D。（1）求證：BECF ；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）-1 【詳解】（1）AEF是由ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC，在ACF和ABE中，ACFABEBE=CF.（2）四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE，AEB=ABE，ABE=BAC=45°，AEB=ABE=45°，ABE為等腰直角三角形，BE=AC=，BD=BEDE=2（2016·山東中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線(xiàn)BD上兩點(diǎn)，且EAF=45°，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到ABQ，連接EQ，求證：（1）EA是QED的平分線(xiàn)；（2）EF2=BE2+DF2【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】 (1)、將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到ABQ， QB=DF，AQ=AF，ABQ=ADF=45°，AQEAFE（SAS）， AEQ=AEF， EA是QED的平分線(xiàn)； (2)、由（1）得AQEAFE， QE=EF， 在RtQBE中，QB2+BE2=QE2， 則EF2=BE2+DF2考查題型六 圖形旋轉(zhuǎn)在開(kāi)放性問(wèn)題的應(yīng)用1（2019·遼寧中考真題）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過(guò)點(diǎn)C作CDAB交AP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD200米，那么A，B間的距離是 米思維探索：（2）在ABC和ADE中，ACBC，AEDE，且AEAC，ACBAED90°，將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，連接BD，點(diǎn)P是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE如圖2，當(dāng)ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是 ；如圖3，當(dāng)90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；當(dāng)150°時(shí)，若BC3，DEl，請(qǐng)直接寫(xiě)出PC2的值【答案】（1）200；（2）PCPE，PCPE；PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PCPE，PCPE，見(jiàn)解析；PC2.【分析】（1）由CDAB，可得CB，根據(jù)APBDPC即可證明ABPDCP，即可得ABCD，即可解題（2）延長(zhǎng)EP交BC于F，易證FBPEDP（SAS）可得EFC是等腰直角三角形，即可證明PCPE，PCPE作BFDE，交EP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CE、CF，易證FBPEDP（SAS），結(jié)合已知得BFDEAE，再證明FBCEAC（SAS），可得EFC是等腰直角三角形，即可證明PCPE，PCPE作BFDE，交EP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CE、CF，過(guò)E點(diǎn)作EHAC交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，CAE150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得FBCEAC，同可證可得PCPE，PCPE，再由已知解三角形得EC2CH2+HE2，即可求出【詳解】（1）解：CDAB，CB，在ABP和DCP中，ABPDCP（SAS），DCABAB200米CD200米，故答案為：200（2）PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PCPE，PCPE理由如下：如解圖1，延長(zhǎng)EP交BC于F，同（1）理，可知FBPEDP（SAS），PFPE，BFDE，又ACBC，AEDE，F(xiàn)CEC，又ACB90°，EFC是等腰直角三角形，EPFP，PCPE，PCPEPC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PCPE，PCPE理由如下：如解圖2，作BFDE，交EP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CE、CF，同理，可知FBPEDP（SAS），BFDE，PEPF，DEAE，BFAE，當(dāng)90°時(shí)，EAC90°，EDAC，EABCFBAC，F(xiàn)BC90，CBFCAE，在FBC和EAC中，F(xiàn)BCEAC（SAS），CFCE，F(xiàn)CBECA，ACB90°，F(xiàn)CE90°，F(xiàn)CE是等腰直角三角形，EPFP，CPEP，CPEP如解圖3，作BFDE，交EP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CE、CF，過(guò)E點(diǎn)作EHAC交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn)，當(dāng)150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，CAE150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，F(xiàn)BCEAC150°同可得FBPEDP（SAS），同F(xiàn)CE是等腰直角三角形，CPEP，CPEP，在RtAHE中，EAH30°，AEDE1，HE，AH，又ACAB3，CH3+，EC2CH2+HE2PC22（2013·湖南中考真題）小明在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，將邊長(zhǎng)為2和3的兩個(gè)正方形放置在直線(xiàn)l上，如圖a,他連接AD、CF，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)AD=CF（1）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖b，試判斷AD與CF還相等嗎？說(shuō)明理由（2）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線(xiàn)l上，如圖c，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）CF=17【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90°，然后求出AOD=COF，再利用“邊角邊”證明AOD和COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分可得DFOE，DG=OG12OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AD?！驹斀狻拷猓海?）AD=CF。理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90°，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF。在AOD和COF中，AO=CO，AOD=COF，OD=OF，AODCOF（SAS）。AD=CF。（2）與（1）同理求出CF=AD，如圖，連接DF交OE于G，則DFOE，DG=OG=12OE，正方形ODEF的邊長(zhǎng)為2，OE=2×2=2。DG=OG=12OE=12×2=1。AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=AG2+DG2=42+12=17，CF=AD=17。知識(shí)點(diǎn)二 中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱(chēng)中心（簡(jiǎn)稱(chēng)中心）.這兩個(gè)圖形再旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).如圖，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，與完全重合，則稱(chēng)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).中心對(duì)稱(chēng)圖形概念：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心.中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)圖形區(qū)別（1）是針對(duì)兩個(gè)圖形而言的.（2）是指兩個(gè)圖形的（位置）關(guān)系.（3）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在兩個(gè)圖形上.（4）對(duì)稱(chēng)中心在兩個(gè)圖形之間.（1）是針對(duì)一個(gè)圖形而言的.（2）是指具有某種性質(zhì)的一個(gè)圖形.（3）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在一個(gè)圖形上.（4）對(duì)稱(chēng)中心在圖形上.聯(lián)系（1）都是通過(guò)把圖形旋轉(zhuǎn)重合來(lái)定義的.（2）兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這“一個(gè)圖形”就是中心對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，如果把一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形相互對(duì)稱(chēng)的兩部分看成兩個(gè)圖形，那么這“兩個(gè)圖形”中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：Ø 中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分；Ø 中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.作中心對(duì)稱(chēng)圖形的一般步驟（重點(diǎn)）：Ø 作出已知圖形各頂點(diǎn)（或決定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)）關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接關(guān)鍵點(diǎn)和中心，并延長(zhǎng)一倍確定關(guān)鍵的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).Ø 把各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)按已知圖形的連接方式依次連接起來(lái)，則所得到的圖形就是已知圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)的圖形.找對(duì)稱(chēng)中心的方法和步驟：對(duì)于中心對(duì)稱(chēng)圖形和關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)稱(chēng)中心非常重要，找不對(duì)稱(chēng)中心是解決先關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.由中心對(duì)稱(chēng)的特征可知，對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)或兩組相對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的交點(diǎn)，因此找對(duì)稱(chēng)中心的步驟如下：方法1：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，則中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.方法2：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(-x，-y)1（2019·山東中考模擬）以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個(gè)標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，中心對(duì)稱(chēng)圖形是圖形沿對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，只有選項(xiàng)B符合條件。故選B。2（2015·湖南中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）ABCD【答案】B【解析】試題解析：點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，1），且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-1）故選B3（2019·四川中考真題）不考慮顏色，對(duì)如圖的對(duì)稱(chēng)性表述，正確的是( )A軸對(duì)稱(chēng)圖形B中心對(duì)稱(chēng)圖形C既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形D既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形又不是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】B【詳解】解：如圖所示：是中心對(duì)稱(chēng)圖形故選：B4（2017·河南中考模擬）下列四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）ABCD【答案】A【詳解】A既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形;B是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形;C既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形;D既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形;5（2019·深圳市龍崗區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬）下列“數(shù)字圖形”中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【詳解】2是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，9既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是是中心對(duì)稱(chēng)圖形；0和1既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故選B.考查題型七 對(duì)稱(chēng)中心確定方法1.（2019·河北中考模擬）如圖是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，則此圖形的對(duì)稱(chēng)中心為（）AA點(diǎn)BB點(diǎn)CC點(diǎn)DD點(diǎn)【答案】B【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線(xiàn)段AC與DE相交于點(diǎn)B，所以點(diǎn)B是對(duì)稱(chēng)中心故選：B考查題型八 中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的運(yùn)用1（2019·福建中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（20，a）與點(diǎn)Q（b，13）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a+b的值為（）A33 B33 C7 D7【答案】D【解析】試題分析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)根據(jù)性質(zhì)可得：a=13，b=20，則a+b=13+20=72（2019·廣西中考真題）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則的值是（）A1B3C5D7【答案】C【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ， 解得：， 則故選C.3（2018·全國(guó)中考模擬）若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(m-1,6),B(-2,n)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則m+n的值為()A9B-3C3D5【答案】B【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(m-1，6)，B(-2，n)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，m-1+(-2)=0，6+n=0，m=3，n=-6，m+n=3+(-6)=-3.故選B.4（2015·四川中考模擬）已知點(diǎn)A（a，2015）與點(diǎn)A（2016，b）是關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的值為（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，則a=2016，b=2015，則a+b=1考查題型九 利用中心對(duì)稱(chēng)等分面積1（2018春 平原區(qū)期末）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線(xiàn)將其分為面積相等的兩部分【答案】答案見(jiàn)解析【分析】思路1：先將圖形分割成兩個(gè)矩形，找出各自的對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心做直線(xiàn)即可；思路2：先將圖形補(bǔ)充成一個(gè)大矩形，分別找出圖中兩個(gè)矩形各自的對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心做直線(xiàn)即可【詳解】如圖所示，有三種思路：考查題型十 平面直角坐標(biāo)系利用中心對(duì)稱(chēng)作圖1（2018·安徽中考模擬）在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)BC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)上） （1）先作ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的A1B1C1，再把A1B1C1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到A2B2C2；（2）A2B2C2與ABC是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)？若是，直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）（0，2）.【解析】（1）如圖所示，A1B1C1和A2B2C2即為所求； （2）由圖可知，A2B2C2與ABC關(guān)于點(diǎn)（0，2）成中心對(duì)稱(chēng)30（2018·廣東省珠海市文園中學(xué)初二期中）ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上（1）作出ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）求ABC的面積.【答案】（1）（3，2）；（2）2.5【解析】（1）如圖，C1坐標(biāo)為（3，2）；（2） .26