專題02 代數(shù)式與整式【思維導(dǎo)圖】 【知識要點】知識點一 代數(shù)式概念：用基本的運算符號(運算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.【注意】1.代數(shù)式中除了含有字母、數(shù)字、運算符號外還可以有括號。2.代數(shù)式中不含有=、<、>、 等3.對于用字母表示的數(shù)，如果沒有特別說明，就應(yīng)理解為它可以表示任何一個數(shù)。代數(shù)式的分類：列代數(shù)式方法列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運算關(guān)系，其次應(yīng)抓住題中的一些關(guān)鍵詞語，如和、差、積、商、平方、倒數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語，反復(fù)咀嚼，認真推敲，列好一般的代數(shù)式就不太難了.列代數(shù)式時應(yīng)該注意的問題(1)數(shù)與字母、字母與字母相乘時常省略“×”號或用“·”.(2)數(shù)字通常寫在字母前面.(3)帶分數(shù)與字母相乘時要化成假分數(shù).(4)除法常寫成分數(shù)的形式.代數(shù)式的值一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.1（2019·河北中考模擬）今年蘋果的價格比去年便宜了20%，己知去年蘋果的價格是每千克元，則今年蘋果每千克的價格是( )ABCD【詳解】由題意可得，今年每千克的價格是(1-20%)a元，故選D2（2014·江西中考真題）如圖1，將一個邊長為a的正方形紙片剪去兩個小矩形，得到一個“”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個小矩形拼成一個新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長可表示為（ ）A2a3bB4a8bC2a4bD4a10b【詳解】根據(jù)題意得：2（ab+a3b）=2（2a4b）=4a8b，故選B3（2017·河南中考模擬）兩位數(shù)，十位數(shù)字是x，個位數(shù)字比十位數(shù)字的2倍少3，這個兩位數(shù)是（）Ax（2x3）Bx（2x+3）C12x3D12x+3【詳解】十位數(shù)字是x，個位數(shù)字比十位數(shù)字的2倍少3，個位數(shù)字為2x3，這個2位數(shù)為10x+2x3=12x3.故選C4（2019·柳州市第十四中學(xué)中考模擬）小華有x元，小林的錢數(shù)是小華的一半還多2元，小林的錢數(shù)是（ ）ABCD【詳解】小華存款的一半為元，則小林的存款數(shù)為(+2)元，故選A5（2018·黑龍江中考真題）我們知道，用字母表示的代數(shù)式是具有一般意義的，請仔細分析下列賦予3a實際意義的例子中不正確的是A若葡萄的價格是3元千克，則3a表示買a千克葡萄的金額B若a表示一個等邊三角形的邊長，則3a表示這個等邊三角形的周長C將一個小木塊放在水平桌面上，若3表示小木塊與桌面的接觸面積，a表示桌面受到的壓強，則3a表示小木塊對桌面的壓力D若3和a分別表示一個兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則3a表示這個兩位數(shù)【詳解】A. 若葡萄的價格是3元/千克，則3a表示買a千克葡萄的金額，故正確；B. 若a表示一個等邊三角形的邊長，則3a表示這個等邊三角形的周長，故正確；C. 將一個小木塊放在水平桌面上，若3表示小木塊與桌面的接觸面積，a表示桌面受到的壓強，則3a表示小木塊對桌面的壓力，故正確；D. 若3和a分別表示一個兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則30+a表示這個兩位數(shù)，故不正確；故選D.6（2016·河南中考模擬）某商店舉辦促銷活動，促銷的方法是將原價x元的衣服以元出售，則下列說法中，能正確表達該商店促銷方法的是()A原價減去10元后再打8折B原價打8折后再減去10元C原價減去10元后再打2折D原價打2折后再減去10元【詳解】將原價x元的衣服以（）元出售，是把原價打8折后再減去10元故選B7（2017·河南省鄭州一中汝州實驗中學(xué)中考模擬）用代數(shù)式表示“m 的3 倍與n 的差的平方”，正確的是( )A3mn2B(m3n)2C(3mn)2D3(mn)2【詳解】m的3倍與n的差的平方表示為：（3mn）2故選C8（2018·安徽中考模擬）在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A7                                     B32                                     C                                     Dx2+y2【詳解】根據(jù)代數(shù)式的定義分析可知，A、C、D中的式子都是代數(shù)式，B中的式子是不等式，不是代數(shù)式.故選B.考查題型一 求代數(shù)式的值的方法1（2019·浙江中考模擬）已知|a|3，b216，且|a+b|a+b，則代數(shù)式ab的值為（）A1或7B1或7C1或7D±1或±7【詳解】解：|a|3，b216，a=3,b=4,又|a+b|a+b，a+b的結(jié)果不可以是正數(shù),即 或 ab=1或7 故選A.2（2018·山東中考模擬）若x=，y=4，則代數(shù)式3x+y3的值為（）A6B0C2D6【詳解】試題解析：x=，y=4，代數(shù)式3x+y3=3×（）+43=0故選B3（2019·浙江中考模擬）若點A（m，n）和點B（5，7）關(guān)于x軸對稱，則m+n的值是（）A2 B2 C12 D12【詳解】點A（m，n）和點B（5，-7）關(guān)于x軸對稱，m=5，n=7，則m+n的值是：12故選：C4（2016·重慶中考真題）若m=-2，則代數(shù)式m2-2m-1的值是（ ）A9 B7 C-1 D-9【詳解】將m=-2代入代數(shù)式可得：原式=-2×（-2）-1=4+4-1=7.考查題型二 列代數(shù)式在探索規(guī)律問題中的應(yīng)用方法1.（2018·重慶市合川區(qū)南屏中學(xué)中考模擬）如圖，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的正方形有5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有9個，按此規(guī)律則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為（ ）A20B27C35D40【詳解】第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的圖象有2+3=5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有2+3+4=9個，按此規(guī)律，第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+（n+1）=個，則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為2+3+4+5+6+7=27個故選B2（2019·云南中考模擬）一組按規(guī)律排列的多項式：a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，其中第10個式子是()ABCD【詳解】解：多項式的第一項依次是a，a2，a3，a4，an，第二項依次是b，b3，b5，b7，（1）n+1b2n1，所以第10個式子即當(dāng)n=10時，代入到得到an+（1）n+1b2n1=a10b19故選B3（2011·江蘇中考模擬）觀察下列圖形及圖形所對應(yīng)的算式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算1+8+16+24+8n（n是正整數(shù)）的結(jié)果為 （ ）ABCD【詳解】圖（1）：1+8=9=（2×1+1）2；圖（2）：1+8+16=25=（2×2+1）2；圖（3）：1+8+16+24=49=（3×2+1）2；那么圖（n）：1+8+16+24+8n=（2n+1）2故選B4（2018·湖北中考模擬）如圖，是一組按照某種規(guī)律擺放成的圖案，則圖5中三角形的個數(shù)是（ ）A8B9C16D17【詳解】由圖可知：第一個圖案有三角形1個；第二圖案有三角形4個；第三個圖案有三角形4+4=8個；第四個圖案有三角形4+4+4=12個；第五個圖案有三角形4+4+4+4=16個。故選C。5（2019·尉氏縣十八里鎮(zhèn)實驗中學(xué)中考模擬）(3分)如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是()A2BC5D【詳解】根據(jù)三角形數(shù)列的特點，歸納出每n行第一個數(shù)的通用公式是，所以，第9行從左至右第5個數(shù)是=. 故選：B知識點二 單項式概念：在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運算，或雖含有除法運算，但除式中不含字母的一類代數(shù)式叫單項式（單項式中“只含乘除，不含加減”）.【注意】：1）圓周率是常數(shù)，所以1也是常數(shù)；2）當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或1時，“1”通常省略不寫;3）單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù)單項式的系數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式的數(shù)字系數(shù)，簡稱單項式的系數(shù)；單項式的次數(shù)：系數(shù)不為零時，單項式中所有字母指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù).【注意】：1）一個單項式只含有字母因數(shù)，它的系數(shù)就是1或者-1。2)一個單項式是一個常數(shù)時，它的系數(shù)就是它本身。3）負數(shù)作系數(shù)時，需帶上前面的符號。4）若系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫。1（2015·福建中考真題）已知一個單項式的系數(shù)是2，次數(shù)是3，則這個單項式可以是（ ）ABCD【詳解】此題規(guī)定了單項式的系數(shù)和次數(shù)，但沒規(guī)定單項式中含幾個字母A系數(shù)是2，錯誤；B系數(shù)是3，錯誤；C次數(shù)是4，錯誤；D符合系數(shù)是2，次數(shù)是3，正確；故選D2.（2019·廣西中考模擬）單項式的系數(shù)是( )ABC2D【詳解】單項式的系數(shù)是：故選D3（2015·內(nèi)蒙古中考真題）下列說法中，正確的是（ ）A34x2的系數(shù)是34B32a2的系數(shù)是32C3ab2的系數(shù)是3aD25xy2的系數(shù)是25【詳解】A、34x2的系數(shù)是34，故本選項錯誤；B、32a2的系數(shù)是32，故本選項錯誤；C、3ab2的系數(shù)是3，故本選項錯誤；D、25xy2的系數(shù)25，故本選項正確4（2018·貴州中考模擬）下面關(guān)于單項式-a3bc2的系數(shù)與次數(shù)敘述正確的是（ ）A系數(shù)是，次數(shù)是6B系數(shù)是-，次數(shù)是5C系數(shù)是，次數(shù)是5D系數(shù)是-，次數(shù)是6【詳解】單項式的系數(shù)為：；次數(shù)為：3+1+2=6故選D5（2017·重慶中考模擬）在式子-4，0，x-2y，中，單項式有（ ）A3個B4個C5個D6個【詳解】根據(jù)單項式的定義：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或字母也是單項式，可知：在式子-4，0，x-2y，中，單項式有-4，0，共4個.故選B.考查題型三 利用單項式概念確定字母取值1（2017·河北中考模擬）如果單項式3anb2c是5次單項式，那么n=（）A2 B3 C4 D5【詳解】根據(jù)單項式的次數(shù)的概念可得：n+2+1=5，解得，n=2，故選A.知識點三 多項式概念：幾個單項式的和叫多項式.多項式的項數(shù)與次數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，每個單項式叫多項式的項；多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)；【注意】1.ax2+bx+c和x2+px+q是常見的兩個二次三項式（若a、b、c、p、q是常數(shù)）.2.多項式通常以它的次數(shù)和項數(shù)來命名，稱幾次（最高次項的次數(shù)）幾項（多項式項數(shù)）式。1（2018·上海中考模擬）下列說法正確的是（ ）A2a2b與2b2a的和為0B的系數(shù)是，次數(shù)是4次C2x2y3y21是3次3項式Dx2y3與 是同類項【詳解】A、2a2b與-2b2a不是同類項，不能合并，此選項錯誤；B、a2b的系數(shù)是，次數(shù)是3次，此選項錯誤；C、2x2y-3y2-1是3次3項式，此選項正確；D、x2y3與相同字母的次數(shù)不同，不是同類項，此選項錯誤；故選C2.（2017·浙江中考模擬）下列說法中正確的是（ ）A3x3-2x2+1是五次三項式B3m2-是二次二項式Cx2-x-34是四次三項式D2x2-2x+3中一次項系數(shù)為-2【詳解】選項A，3x3-2x2+1是三次三項式，選項A錯誤；選項B，3m2-不是整式，選項B錯誤；選項C，x2-x-34是二次三項式，選項C錯誤；選項D，2x2-2x+3的一次項系數(shù)為-2，正確,3（2015·江蘇中考模擬）下列代數(shù)式中，次數(shù)為4的單項式是 （ ）Ax4+y4Bxy2C4xyDx3y【詳解】單項式的次數(shù)是等于單項式中各字母的指數(shù)之和.A為多項式；B的次數(shù)為3次；C的次數(shù)為2次；D的次數(shù)為4次.故選D考查題型四 利用多項式概念確定字母取值1（2017·重慶中考模擬）若多項式5x2y|m|（m+1）y23是三次三項式，則m等于（）A1B0C1D2【詳解】根據(jù)三次三項式的定義，可得2+|m|=3，-（m+1）0，聯(lián)立方程組，得 解得m=1故選C知識點四 整式的加減同類項概念：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式是同類項.同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序也無關(guān)。合并同類項法則：系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變.步驟：找 移 合去（添）括號法則：去（添）括號時，若括號前邊是“+”號，括號里的各項都不變號；若括號前邊是“-”號，括號里的各項都要變號.注意：1、要注意括號前面的符號,它是去括號后括號內(nèi)各項是否變號的依據(jù).2、去括號時應(yīng)將括號前的符號連同括號一起去掉.3、括號前面是“-”時,去掉括號后,括號內(nèi)的各項均要改變符號,不能只改變括號內(nèi)第一項或前幾項的符號,而忘記改變其余的符號.4、括號前是數(shù)字因數(shù)時,要將數(shù)與括號內(nèi)的各項分別相乘,不能只乘括號里的第一項.5、遇到多層括號一般由里到外,逐層去括號。整式加減法法則：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接，然后去括號，合并同類項.注意:多項式相加（減）時，必須用括號把多項式括起來，才能進行計算。多項式的升冪和降冪排列：把一個多項式的各項按某個字母的指數(shù)從小到大（或從大到?。┡帕衅饋恚凶霭催@個字母的升冪排列（或降冪排列）.注意：多項式計算的最后結(jié)果一般應(yīng)該進行升冪（或降冪）排列.考查題型五 同類項概念的理解1（2019·湖南中考真題）下列各式中，與是同類項的是（）ABCD【詳解】解：A.與不是同類項，故本選項錯誤；B.3x3y2與不是同類項，故本選項錯誤；C.與是同類項，故本選項正確；D.與不是同類項，故本選項錯誤；故選：C2（2016·云南中考真題）單項式xm1y3與4xyn的和是單項式，則nm 的值是（）A3B6C8D9【詳解】已知得出兩單項式是同類項，可得m1=1，n=3，解得m=2，n=3，所以nm=32=9，故答案選D3（2018·山東中考真題）若單項式am1b2與的和仍是單項式，則nm的值是（）A3B6C8D9【詳解】單項式am-1b2與a2bn的和仍是單項式，單項式am-1b2與a2bn是同類項，m-1=2，n=2，m=3，n=2，nm=8故選：C4（2019·遼寧中考模擬）若是同類項，則AB2C1D【詳解】由題意得：，m+n=1.故選C.5（2013·四川中考真題）如果單項式-xa+1y3與12ybx2是同類項，那么a、b的值分別為（ ）Aa=2，b=3 Ba=1，b=2 Ca=1，b=3 Da=2，b=2【詳解】所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也分別相同的項叫做同類項。因此，-xa+1y3與12ybx2是同類項，a+1=2b=3a=1b=3。故選C?？疾轭}型六 去括號（實質(zhì)：移項、合并同類項）1（2018·湖南中考模擬）下列去括號正確的是 ( )Aa-(b-c)=a-b-cBx2-(-x+y)=x2-x+yCm-2(p-q)=m-2p+qDa+(b-c-2d)=a+b-c+2d【詳解】A. a-(b-c)=a-b+c，故錯誤； B. x2-(-x+y)= x2-x-y=x2-x+y，正確；C. m-2(p-q)=m-2p+2q，故錯誤； D. a+(b-c-2d)=a+b-c-2d，故錯誤；故選B.2（2017·安徽中考模擬）已知a-b=-3，c+d=2，則(b+c)-(a-d)的值為( )A1B5C-5D-1【詳解】 .故選B.3（2017·安徽中考模擬）下列各題去括號錯誤的是( )ABm+(-n+a-b)=m-n+a-bC(4x-6y+3)=-2x+3y+3D【詳解】選項A， =；選項B，；選項C，；選項D，.綜上，只有選項C錯誤，故選C.4（2017·四川中考真題）下列運算正確的是（ ）A BC D【詳解】試題分析：A、與不能合并，所以A選項錯誤；B、原式=6×2=12，所以B選項錯誤；C、原式=，所以C選項準確；D、原式=2，所以D選項錯誤故選C考查題型七 整體代換1（2018·重慶中考模擬）若時，則代數(shù)式的值為（ ）A17B11CD10【詳解】因為32x10y32(5yx)，又5yx7，所以32x10y32×717.故選A.2（2015·湖南中考真題）已知a2+2a=1，則代數(shù)式2a2+4a1的值為（ ）A0B1C1D2【詳解】所求代數(shù)式前兩項提取2，變形為2（a2+2a）-1，將已知等式代入得：2×1-1=1，故選B3（2018·安徽中考模擬）已知a-2b=-2,則4-2a+4b的值是()A0B2C4D8【詳解】a-2b=-2，-a+2b=2，-2a+4b=4，4-2a+4b=4+4=8，故選D.4（2013·江蘇中考真題）已知，則的值為A1BCD【詳解】解：，.故選D.5（2019·浙江中考模擬）已知a22a30，則代數(shù)式2a24a3的值是（ ）A3B0C3D6【詳解】解：當(dāng)a2+2a=3時原式=2（a2+2a）3=63=3故選C15