題一1. 用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù).解解： 解： 解： 2.求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+iy)R); ：設(shè)z=x+iy則,解：設(shè)z=x+iy,解：,解：,解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，3.求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)解：解：解：解：4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，z才是實(shí)數(shù)證明：若，設(shè)，則有，從而有，即y=0z=x為實(shí)數(shù)若z=x，x，則命題成立5、設(shè)z,w，證明： 證明6、設(shè)z,w，證明下列不等式并給出最后一個(gè)等式的幾何解釋證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了下面證 從而得證幾何意義：平行四邊形兩對(duì)角線平方的和等于各邊的平方的和7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式解：其中解：其中解：解：.解：解：8.計(jì)算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.i的三次根解：-1的三次根解：的平方根解：9.設(shè). 證明：證明：，即又n2 z1從而11.設(shè)是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關(guān)于的充分必要條件.解：如圖所示因?yàn)?z: =0表示通過(guò)點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA過(guò)C作直線平行，則有BCD=，ACB=90故-=90所以在處切于圓周T的關(guān)于的充要條件是-=9012.指出下列各式中點(diǎn)z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：(1)、argz=表示負(fù)實(shí)軸(2)、|z-1|=|z|表示直線z=(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。（4）、Re(z)>Imz解：表示直線y=x的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2解：表示圓盤(pán)內(nèi)的一弓形域。習(xí)題二1. 求映射下圓周的像.解：設(shè)則 因?yàn)?所以所以 , 所以即，表示橢圓.2. 在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或. （1）； （2）; (3) x=a, y=b.(a, b為實(shí)數(shù))解：設(shè)所以(1) 記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2) 記，則映成了w平面上扇形域，即(3) 記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了 即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3. 求下列極限. (1) ;解：令,則.于是.(2) ;解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因?yàn)樗?4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo).(2) .解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3) .解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4) .解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1) ;解：在全平面上可微.所以要使得， , 只有當(dāng)z=0時(shí),從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時(shí),即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時(shí)，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4) .解：設(shè)，則所以只有當(dāng)z=0時(shí)才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7. 證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1) ;證明：因?yàn)?，所?.所以u(píng),v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2) 解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3) Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1, 因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對(duì)C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 C-R條件 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析.(2) .證明：處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10. 設(shè)求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)(2)f(z)在z=0處滿足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在證明.(1)而同理f(z)在z=0處連續(xù)(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時(shí)，z=iy，有當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時(shí)，z=x，有它們分別為滿足C-R條件(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時(shí)，有不存在即f(z)在z=0處不可導(dǎo)11. 設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對(duì)稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析所以u(píng)(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即，得故(x,y),(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件從而在D1內(nèi)解析13. 計(jì)算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設(shè)z沿通過(guò)原點(diǎn)的放射線趨于點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限解：令z=rei，對(duì)于，z時(shí)，r故所以 15. 計(jì)算下列各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)17. 計(jì)算下列各值(1) (2)(3)18. 計(jì)算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2解：(2)解：即(3)解：即(4)解：20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosxshy證明：(2)cosz=cosxchy-isinxshy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明：21. 證明當(dāng)y時(shí)，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無(wú)窮大證明：而當(dāng)y+時(shí)，e-y0，ey+有|sinz|當(dāng)y-時(shí)，e-y+，ey0有|sinz|同理得所以當(dāng)y時(shí)有|cosz|習(xí)題三1. 計(jì)算積分,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.解 設(shè)直線段的方程為,則. 故 2. 計(jì)算積分，其中積分路徑C為(1) 從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的直線段;(2) 沿拋物線y=x2，從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的弧段.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 3. 計(jì)算積分，其中積分路徑C為(1) 從點(diǎn)-i到點(diǎn)i的直線段;(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i;(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 從到(3) 設(shè). 從到6. 計(jì)算積分,其中為.解 在所圍的區(qū)域內(nèi)解析從而故7. 計(jì)算積分,其中積分路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個(gè)奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個(gè)奇點(diǎn).故（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算下列積分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計(jì)算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計(jì)算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2) 中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點(diǎn)(2) 內(nèi)包含了奇點(diǎn),19. 驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ,從而是調(diào)和函數(shù). ,從而是調(diào)和函數(shù).但 不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因?yàn)?所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有由，得C=023.設(shè),其中各不相同，閉路C不通過(guò),證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k, 其零點(diǎn)分別為24.試證明下述定理(無(wú)界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因?yàn)?在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1. 復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,則級(jí)數(shù)和發(fā)散.這個(gè)命題是否成立?為什么?答.不一定反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2.下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因?yàn)樗园l(fā)散(3) 發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4) 因?yàn)樗约?jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí), 級(jí)數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時(shí), 級(jí)數(shù)化為也收斂所以原級(jí)數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時(shí), 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.4.討論級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)椴糠趾?，所以，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosn和sinn都沒(méi)有極限,所以也不收斂.故當(dāng)和時(shí), 收斂.5.冪級(jí)數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散6.下列說(shuō)法是否正確?為什么?(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答: (1) 不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。解： 因?yàn)樗?8.證明：若冪級(jí)數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時(shí), ,級(jí)數(shù)收斂且.若,對(duì)當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.且9.求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑，并寫(xiě)出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑收斂圓周10.求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù).(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.若在點(diǎn)處發(fā)散，證明級(jí)數(shù)對(duì)于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，在處收斂則對(duì)，絕對(duì)收斂，則在點(diǎn)處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)槠纥c(diǎn)為所以又于是，有展開(kāi)式14.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng))解：為的奇點(diǎn)，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級(jí)數(shù)為 15.用間接法將下列函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 （1）(2) (3) (4) (5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時(shí)，與的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開(kāi)式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)是實(shí)數(shù).17.求的以為中心的各個(gè)圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù).解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級(jí)數(shù).分別為：19.在內(nèi)將展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù).解:令則而在內(nèi)展開(kāi)式為所以,代入可得20.有人做下列運(yùn)算,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi)21.證明: 用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解: 因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。從而不是的孤立奇點(diǎn).23.用級(jí)數(shù)展開(kāi)法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級(jí).解：故z=0為f(z)的15級(jí)零點(diǎn)24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型：；解: 是的孤立奇點(diǎn)因?yàn)樗允堑谋拘云纥c(diǎn).(2)因?yàn)樗允堑目扇テ纥c(diǎn).25. 下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)： 解: (1)所以是奇點(diǎn),是二級(jí)極點(diǎn).解: (2) 是奇點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn),0是二級(jí)極點(diǎn).解: (3) 是的二級(jí)零點(diǎn)而是的一級(jí)零點(diǎn), 是的一級(jí)零點(diǎn)所以是的二級(jí)極點(diǎn), 是的一級(jí)極點(diǎn).26. 判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？ 解: (1)當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)樗? 是的本性奇點(diǎn).(3) 當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).27. 函數(shù)在處有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開(kāi)式：.我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個(gè)結(jié)果哪一個(gè)是正確的？為什么?解: 不對(duì), z=1是f(z)的二級(jí)極點(diǎn),不是本性奇點(diǎn).所給羅朗展開(kāi)式不是在內(nèi)得到的在內(nèi)的羅朗展開(kāi)式為28.如果C為正向圓周，求積分的值(1) (2)解：（1）先將展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)，得而 =3在內(nèi)，,故(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開(kāi)式為而=3在內(nèi)，,故習(xí)題五1. 求下列函數(shù)的留數(shù)(1)在z=0處解：在0<|z|<+的羅朗展開(kāi)式為(2)在z=1處解：在0<| <+的羅朗展開(kāi)式為2. 利用各種方法計(jì)算f(z)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)(1)解：的有限孤立奇點(diǎn)處有z=0，z=-2其中z=0為二級(jí)極點(diǎn)z=-2為一級(jí)極點(diǎn)3. 利用羅朗展開(kāi)式求函數(shù)在處的留數(shù)解：從而5. 計(jì)算下列積分(1)，n為正整數(shù)，c為|z|=n取正向解：為在c內(nèi)tanz有(k=0,1,2(n-1)一級(jí)極點(diǎn)由于(2) c:|z|=2取正向解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=-i兩個(gè)奇點(diǎn)所以6. 計(jì)算下列積分(1)因被積函數(shù)為的偶函數(shù)，所以令則有設(shè) 則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)但所以又因?yàn)?2) ，|a|>1解：令 令z=ei，則得(3)，a>0，b>0解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib故（4）. ，a>0解：令，則z=ai分別為R(z)的二級(jí)極點(diǎn)故(5) ，>0，b>0解：而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)從而(6) ，a>0解：令，在上半平面有z=ai一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)7. 計(jì)算下列積分(1)解：令，則R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)z=0，作以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,-R, -r, Cr,r, R構(gòu)成封閉曲線，此時(shí)閉曲線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)i,于是：而故：(2)，其中T為直線Rez=c, c>0, 0<a<1解：在直線z=c+iy (-< y <+)上，令，收斂，所以積分是存在的，并且其中AB為復(fù)平面從c-iR到c+iR的線段考慮函數(shù)f(z)沿長(zhǎng)方形-Rxc，-RyR周界的積分如下圖因?yàn)閒(z)在其內(nèi)僅有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)z=0，而且所以由留數(shù)定理而習(xí)題六1. 求映射下，下列曲線的像.(1) (，為實(shí)數(shù))解： , 所以將映成直線.(2) (k為實(shí)數(shù))解： 故將映成直線.2. 下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？ （1）；解： 所以.故將映成.(2) Re(z)>0. 0<Im(z)<1, .解：設(shè)z=x+iy, x>0, 0<y<1. Re(w)>0. Im(w)>0. 若w=u+iv, 則因?yàn)?<y<1,則故將Re(z)>0, 0<Im(z)<1.映為Re(w)>0,Im(w)>0, (以（,0）為圓心、為半徑的圓)3. 求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問(wèn)w=z2將經(jīng)過(guò)點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個(gè)方向？并作圖.解：因?yàn)?2z,所以(i)=2i, |=2, 旋轉(zhuǎn)角arg=.于是, 經(jīng)過(guò)點(diǎn)i且平行實(shí)軸正向的向量映成w平面上過(guò)點(diǎn)-1，且方向垂直向上的向量.如圖所示.4. 一個(gè)解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點(diǎn)都具有這個(gè)性質(zhì)嗎？答：一個(gè)解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導(dǎo)數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個(gè)性質(zhì).5. 求將區(qū)域0<x<1變?yōu)楸旧淼恼w線性質(zhì)變換的一般形式.6. 試求所有使點(diǎn)不動(dòng)的分式線性變換.解：設(shè)所求分式線性變換為(ad-bc0)由.得 因?yàn)?即,由代入上式，得.因此令，得其中a為復(fù)數(shù). 反之也成立，故所求分式線性映射為， a為復(fù)數(shù). 7. 若分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？解：若將圓周|z|=1映成直線，則映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數(shù)應(yīng)滿足ad-bc0,且|c|=|d|.8. 試確定映射，作用下，下列集合的像.(1) ; (2) |z|=2; (3) Im(z)>0.解：(1) Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫(xiě)成參數(shù)方程為， , .消去y得，像曲線方程為單位圓,即u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數(shù)方程. 消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即 (3) 當(dāng)Im(z)>0時(shí)，即,令w=u+iv得.即v>0,故Im(z)>0的像為Im(w)>0.9. 求出一個(gè)將右半平面Re(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.解：設(shè)映射將右半平面z0映射成w=0，則z0關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的像為， 所以所求分式線性變換形式為其中k為常數(shù).又因?yàn)?而虛軸上的點(diǎn)z對(duì)應(yīng)|w|=1,不妨設(shè)z=0，則故.10. 映射將映射成,實(shí)數(shù)的幾何意義顯什么？解：因?yàn)閺亩怨时硎驹趩挝粓A內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角.11. 求將上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件(1) f(i)=0, =0; (2) f(1)=1, f(i)= .解：將上半平面Im(z)>0, 映為單位圓|w|<1的一般分式線性映射為w=k(Im()>0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2) 由f(1)=1,得k=；由f(i)= ,得k=聯(lián)立解得.12. 求將|z|<1映射成|w|<1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1) f()=0, f(-1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解：將單位圓|z|<1映成單位圓|w|<1的分式線性映射，為 , |<1.(1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|<1映成|<1.則可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且|<1映成|w|<1.先求其反函數(shù),它使|w|<1映為|<1,w=a映為=0，且,則 .因此，所求w由等式給出.13. 求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得=.=.14. 求出將圓環(huán)域2<|z|<5映射為圓環(huán)域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,-5,-2,2映為w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有=故w=f(z)應(yīng)為=即 =.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=-4.所以|z|>2映為|w|<10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|<5映為|w|>4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線？解：略.16. 映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2) 帶形區(qū)域;(3) 半帶形區(qū)域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+iy，x>0，0<y< , .則故將半帶形區(qū)域Re(z)>0,0<Im(z)<, 映為|w|>1, ().17. 求將單位圓的外部|z|>1保形映射為全平面除去線段-1<Re(w)<1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|>1映為|w1|<1,再用分式線性映射.將|w1|<1映為上半平面Im(w2)>0, 然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實(shí)軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕-1,1的全平面.故.18. 求出將割去負(fù)實(shí)軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)>0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用將半平面映為有割痕(-,-1的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0<Im(w4)<,Re(w4)>0；最后用映為所求區(qū)域，故.19. 求將Im(z)<1去掉單位圓|z|<1保形映射為上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20. 映射將半帶形區(qū)域0<Re(z)<,Im(z)>0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因?yàn)?可以分解為w1=iz ，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0<Im(w1)<,Re(w1)<0.（2） 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|<1,Im(w2)>0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)<0.習(xí)題 七1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，則有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，則有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故 有為奇數(shù)。 =所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有.其中 2.在上一題中，設(shè).計(jì)算的值.解:3.計(jì)算函數(shù).解:4.求下列函數(shù)的傅里葉變換 解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5) 解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則.5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定義函數(shù)為證明當(dāng)時(shí)，有 對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書(shū)上有推理過(guò)程)6.求符號(hào)函數(shù) 的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出 故：7.已知函數(shù)的傅里葉變換求解:8.設(shè)函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明F當(dāng)a>0時(shí),令u=at.則當(dāng)a<0時(shí),令u=at,則.故原命題成立.9.設(shè)證明.證明：10.設(shè)，證明：以及證明：同理：11.設(shè)計(jì)算.解：當(dāng)時(shí)，若則故=0.若則若則故12.設(shè)為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)， (2)， (3)(4)， (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.（1） (2)解: (1) (2) 3.設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù), 求的拉普拉斯變換.解: 4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換解：5. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)6.記，對(duì)常數(shù)，若，證明證明: 7 記，證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立。假設(shè)，當(dāng)n=k-1時(shí), 有現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)8. 記，如果a為常數(shù),證明:證明：設(shè)，由定義9. 記，證明:,即證明：10.計(jì)算下列函數(shù)的卷積(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (4)(5) (6)11.設(shè)函數(shù)f, g, h均滿足當(dāng)t<0時(shí)恒為零，證明以及證明：12.利用卷積定理證明證明：設(shè)，則，則，所以13. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解：(1)(2)(3故(4)因?yàn)樗?5)其中所以(6)所以14.利用卷積定理證明證明：又因?yàn)樗裕鶕?jù)卷積定理15.利用卷積定理證明證明：因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理有16. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4)解:(1) 故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則(2) 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得(3)方程兩邊取拉氏變換,得因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，若Lf(t)=F(s),則即因?yàn)樗怨视?4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)Ly(t)=Y(s),得故(5)設(shè)Ly(t)=Y(s),則方程兩邊取拉氏變換,得故18.求下列微分方程組的解(1) (2) 解:(1) 設(shè)微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設(shè) 方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故19.求下列方程的解(1) (2) 解：(1)設(shè)Lx(t)=X(s), 方程兩邊取拉氏變換,得(2)設(shè)Ly(t)=Y(s), 方程兩邊取拉氏變換,得