熱點(diǎn)11 三角形【命題趨勢】首先說明三角形是中考必考內(nèi)容，而且也是熱點(diǎn)內(nèi)容，無論是小題還是大題因?yàn)槿切伟ǖ膬?nèi)容很多，例如三角形的基本知識(shí)（內(nèi)角和定理推論、三邊關(guān)系）、三角形的三線（角平分線、中線、高線）五心（內(nèi)心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等邊三角形）的性質(zhì)及判定方法，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，最后在此要特別強(qiáng)調(diào)的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是重中之重，它是我們計(jì)算線段長度的最重要的工具，所以這是考查的重點(diǎn)中的重點(diǎn)?！緷M分技巧】一、利用思維導(dǎo)圖的方式整理有關(guān)三角形的相關(guān)內(nèi)容有關(guān)三角形的內(nèi)容非常多，利用思維導(dǎo)圖的方式可以很好地整理和歸納本部分內(nèi)容，讓這部分知識(shí)在我們的大腦中能形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這可以讓我們在做題時(shí)可以快速地在大腦中搜索這部分知識(shí)二、總結(jié)與三角形有關(guān)的基本模型 （1）有關(guān)三角形全等模型（2）有關(guān)三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一線三等角型，一線三直角型，【限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題1.如圖，在ABC中，B=90°，tanC=，AB=6cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)過程中，PBQ的最大面積是（）A18cm2B12cm2C9cm2D3cm2【答案】C【解析】tanC=，AB=6cm，=，BC=8，由題意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t，設(shè)PBQ的面積為S，則S=×BP×BQ=×2t×（6t），S=t2+6t=（t26t+99）=（t3）2+9，P：0t6，Q：0t4，當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值為9，即當(dāng)t=3時(shí)，PBQ的最大面積為9cm2；故選C2.如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果ADE的周長是6，則ABC的周長是（ ） A6 B12 C18 D24【答案】B【解析】因?yàn)镈E/BC，所以ADEABC，k=,所以ABC的周長為123.如圖，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是（）AAE=ECBAE=BECEBC=BACDEBC=ABE【答案】C【解析】AB=AC，ABC=ACB，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，BE=BC，ACB=BEC，BEC=ABC=ACB，A=EBC，故選C4.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）A20B24CD【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為x，a=3，b=4，AB=3+4=7，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x12=0，解得x=或x=（舍去），該矩形的面積=（+3）（+4）=24，故選：B5.如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若ADE的面積為4，則ABC的面積為（）A8B12C14D16【答案】D【解析】在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE的面積為4，ABC的面積為：16，故選：D6.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，ABED，ACFD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定ABCDEF的是（）AADBACDFCABEDDBFEC【答案】A【解析】選項(xiàng)A、添加AD不能判定ABCDEF，故本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B、添加ACDF可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C、添加ABDE可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：A7.已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AMMN2，NB1，以點(diǎn)A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則ABC一定是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【答案】B【解析】如圖所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90°，故選：B8.下列長度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A2cm，3cm，4cmB1cm，2cm，3cmC3cm，4cm，5cmD4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】A、2+34，能構(gòu)成三角形，不合題意；B、1+23，不能構(gòu)成三角形，符合題意；C、4+35，能構(gòu)成三角形，不合題意；D、4+56，能構(gòu)成三角形，不合題意故選：B9.已知n是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有（）A4個(gè)B5個(gè)C6個(gè)D7個(gè)【答案】D【解析】若n+2n+83n，則，解得，即4n10，正整數(shù)n有6個(gè)：4，5，6，7，8，9；若n+23nn+8，則，解得，即2n4，正整數(shù)n有2個(gè)：3和4；綜上所述，滿足條件的n的值有7個(gè)，故選：D10.如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，則的面積是A1BC2D【答案】C【解析】由作法得平分，點(diǎn)到的距離等于的長，即點(diǎn)到的距離為1，所以的面積故選：11.滿足下列條件時(shí)，ABC不是直角三角形的為（）AAB，BC4，AC5BAB：BC：AC3：4：5CA：B：C3：4：5D|cosA|+（tanB）20【答案】C【解析】A、，ABC是直角三角形，錯(cuò)誤；B、（3x）2+（4x）29x2+16x225x2（5x）2，ABC是直角三角形，錯(cuò)誤；C、A：B：C3：4：5，C，ABC不是直角三角形，正確；D、|cosA|+（tanB）20，A60°，B30°，C90°，ABC是直角三角形，錯(cuò)誤；故選：C12.如圖，在ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BC=6，AC=5，則ACE的周長為（ ）A.8 B.11 C.16 D.17【答案】B【解析】因?yàn)镈E垂直平分AB，所以BE=AE，所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以ACE的周長為5+6=11故選B13.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書周髀算經(jīng)中早有記載如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A直角三角形的面積B最大正方形的面積C較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D最大正方形與直角三角形的面積和【答案】C【解析】設(shè)直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得，c2a2+b2，陰影部分的面積c2b2a（cb）a2ac+aba（a+bc），較小兩個(gè)正方形重疊部分的長a（cb），寬a，則較小兩個(gè)正方形重疊部分底面積a（a+bc），知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積，故選：C14.如圖，在中，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為ABCD【答案】C【解析】由作法得，平分，故選：15.如圖，點(diǎn)D在BC的延長線上，DEAB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F若A35°，D15°，則ACB的度數(shù)為（）A65°B70°C75°D85°【答案】B【解析】DEAB，A35°AFECFD55°，ACBD+CFD15°+55°70°故選：B二、填空題16.腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為【答案】6或或【解析】如圖1當(dāng)，則，底邊長為6；如圖2當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)底邊長為；如圖當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)底邊長為故答案為：6或或17.如圖，在RtABC中，ACB90°，B60°，DE為ABC的中位線，延長BC至F，使CFBC，連接FE并延長交AB于點(diǎn)M若BCa，則FMB的周長為 【答案】【解析】在RtABC中，B60°，A30°，AB2a，ACaDE是中位線，CEa在RtFEC中，利用勾股定理求出FEa，F(xiàn)EC30°AAEM30°，EMAMFMB周長BF+FE+EM+BMBF+FE+AM+MBBF+FE+AB故答案為18.如圖，在ABC中，ACB120°，BC4，D為AB的中點(diǎn)，DCBC，則ABC的面積是 【答案】8【解析】DCBC，BCD90°，ACB120°，ACD30°，延長CD到H使DHCD，D為AB的中點(diǎn)，ADBD，在ADH與BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90°，ACH30°，CHAH4，CD2，ABC的面積2SBCD2××4×28，故答案為：819.如圖，已知直線，含角的三角板的直角頂點(diǎn)在上，角的頂點(diǎn)在上，如果邊與的交點(diǎn)是的中點(diǎn)，那么度【答案】120【解析】是斜邊的中點(diǎn)，故答案為12020.等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為 cm由題意知，應(yīng)分兩種情況：【答案】32【解析】（1）當(dāng)腰長為6cm時(shí)，三角形三邊長為6，6，13，6+613，不能構(gòu)成三角形；（2）當(dāng)腰長為13cm時(shí)，三角形三邊長為6，13，13，周長2×13+632cm故答案為32三、證明題21.已知：如圖，ABC是任意一個(gè)三角形，求證：A+B+C=180°【證明】：過點(diǎn)A作EFBC，EFBC，1=B，2=C，1+2+BAC=180°，BAC+B+C=180°，即A+B+C=180°22.如圖，在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c（1）若a6，b8，c12，請(qǐng)直接寫出A與B的和與C的大小關(guān)系；（2）求證：ABC的內(nèi)角和等于180°；（3）若，求證：ABC是直角三角形【解】：（1）在ABC中，a6，b8，c12，A+BC；（2）如圖，過點(diǎn)A作MNBC，MNBC，MABB，NACC（兩直線平行，同位角相等），MAB+BAC+NAC180°（平角的定義），B+BAC+C180°（等量代換），即：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；（3），ac（a+b+c）（ab+c）（a2+2ac+c2）b2，2aca2+2ac+c2b2，a2+c2b2，ABC是直角三角形23.已知，在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，求證：【證明】：，且，24.如圖，等腰直角三角板如圖放置直角頂點(diǎn)C在直線m上，分別過點(diǎn)A、B作AE直線m于點(diǎn)E，BD直線m于點(diǎn)D求證：ECBD；若設(shè)AEC三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理【證明】：ACB90°，ACE+BCD90°ACE+CAE90°，CAEBCD在AEC與BCD中，CAEBCD（AAS）ECBD；解：由知：BDCEaCDAEbS梯形AEDB（a+b）（a+b）a2+ab+b2又S梯形AEDBSAEC+SBCD+SABCab+ab+c2ab+c2a2+ab+b2ab+c2整理，得a2+b2c225.如圖，已知：在ABC中，BAC90°，延長BA到點(diǎn)D，使ADAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)求證：DFBE【證明】：BAC90°，DAF90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，AFFC，BEEC，F(xiàn)E是ABC的中位線，F(xiàn)EAB，F(xiàn)EAB，EFCBAC90°，DAFEFC，ADAB，ADFE，在ADF和FEC中，ADFFEC（SAS），DFEC，DFBE四、作圖題26.如圖，已知等腰頂角（1）在上作一點(diǎn)，使（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加墨）；（2）求證：是等腰三角形（1）解：如圖，點(diǎn)為所作；（2）證明：，是等腰三角形五、應(yīng)用題27.如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）解：在RtBCD中，BD=9米，BCD=45°，則BD=CD=9米在RtACD中，CD=9米，ACD=37°，則AD=CDtan37°9×0.75=6.75（米）所以，AB=AD+BD=15.75米，整個(gè)過程中旗子上升高度是：15.752.25=13.5（米），因?yàn)楹臅r(shí)45s，所以上升速度v=0.3（米/秒）答：國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升28.在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面積根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出x作ADBC于D，設(shè)BD = x，用含x的代數(shù)式表示CD利用勾股定理求出AD的長，再計(jì)算三角形面積某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程 【解】：如圖，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，設(shè)，由勾股定理得：， ，解之得： 六探究題29.如圖，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°），得到圖，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【解析】（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90°在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），AE=BD，EAC=CBD，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，PM=BD，PN=AE，PM=PM，NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90°，MPA+NPC=90°，MPN=90°，即PMPN；（2）ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90°ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90°點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，PM=BD，PMBD；PN=AE，PNAEPM=PNMGE+BHA=180°MGE=90°MPN=90°PMPN （3）PM=kPN ACB和ECD是直角三角形，ACB=ECD=90°ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC，CD=kCE，=kBCDACEBD=kAE 點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，PM=BD，PN=AEPM=kPN30.已知：如圖，ABC，射線BC上一點(diǎn)D求作：等腰PBD，使線段BD為等腰PBD的底邊，點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，且點(diǎn)P到ABC兩邊的距離相等【解析】：點(diǎn)P在ABC的平分線上，點(diǎn)P到ABC兩邊的距離相等（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上，PB=PD（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），如圖所示：25