專題26 視圖與投影考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一 投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面 (地面、墻壁等) 上得到的影子叫做物體的投影。照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。n 平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。特征：1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).2.等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.平行投影變化規(guī)律:1.在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).2.在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.即：.利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).n 中心投影概念：由同一點(diǎn) (點(diǎn)光源) 發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。特征：1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).2等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.考查題型（求點(diǎn)光源的位置）點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系：n 正投影正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.1.線段的正投影分為三種情況.如圖所示. 線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；、 線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)； 線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.3.立體圖形的正投影.物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.【典型例題】1（2019·四川中考模擬）下列四幅圖形中,表示兩棵樹在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子的圖形可能是()ABCD【答案】A【解析】根據(jù)平行投影特點(diǎn)：在同一時(shí)刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例，依次分析各選項(xiàng)即得結(jié)果A、影子平行，且較高的樹的影子長(zhǎng)度大于較低的樹的影子，故本選項(xiàng)正確；B、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長(zhǎng)度小于較低的樹的影子，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選A2（2019·廣西中考模擬）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子（）A逐漸變短B先變短后變長(zhǎng)C先變長(zhǎng)后變短D逐漸變長(zhǎng)【答案】B【詳解】晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子先變短，再變長(zhǎng)故選B3（2019·北京清華附中中考模擬）如果在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，小莉的影子比小玉的影子長(zhǎng)，那么在同一路燈下（ ）A小莉的影子比小玉的影子長(zhǎng)B小莉的影子比小玉的影子短C小莉的影子與小玉的影子一樣長(zhǎng)D無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)【答案】D【解析】由一點(diǎn)所發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子長(zhǎng)短與距離光源的距離有關(guān),由題意可得,小莉和小玉在同一路燈下由于位置不同,影長(zhǎng)也不相同,故無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng),故選D.4（2019·河北中考模擬）一個(gè)長(zhǎng)方形的正投影不可能是（ ）A正方形B矩形C線段D點(diǎn)【答案】D【詳解】解：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形故長(zhǎng)方形的正投影不可能是點(diǎn)，故選：D5（2019·湖北中考模擬）如圖，左面水杯的杯口與投影面平行，投影線的方向如箭頭所示，它的正投影圖是（ ）ABCD【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意：水杯的杯口與投影面平行，即與光線垂直，則它的正投影圖應(yīng)是D故選D6（2018·廣東中考模擬）下面四幅圖是在同一天同一地點(diǎn)不同時(shí)刻太陽(yáng)照射同一根旗桿的影像圖，其中表示太陽(yáng)剛升起時(shí)的影像圖是（）ABCD【答案】C【解析】解：太陽(yáng)東升西落，在不同的時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小不同，太陽(yáng)從東方剛升起時(shí)，影子應(yīng)在西方故選C考查題型一 中心投影的應(yīng)用方法1（2018·河北中考模擬）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子( )A越長(zhǎng)B越短C一樣長(zhǎng)D隨時(shí)間變化而變化【答案】B【解析】由圖易得ABCD，那么離路燈越近，它的影子越短，故選B2（2020·銀川外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期末）如圖，身高1.6米的小明站在距路燈底部O點(diǎn)10米的點(diǎn)A處，他的身高（線段AB）在路燈下的影子為線段AM，已知路燈燈桿OQ垂直于路面（1）在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點(diǎn)P；（2）小明沿AO方向前進(jìn)到點(diǎn)C，請(qǐng)畫出此時(shí)表示小明影子的線段CN；（3）若AM=2.5米，求路燈燈泡P到地面的距離【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8米【解析】如圖： 如圖： ，即，解得即路燈燈泡P到地面的距離是8米  3（2019·泰興市洋思中學(xué)初三期中）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米（1）求路燈A的高度；（2）當(dāng)王華再向前走2米，到達(dá)F處時(shí)，他的影長(zhǎng)是多少？【答案】（1）路燈A有6米高（2）王華的影子長(zhǎng)米【解析】試題分析：22. 解：（1）由題可知AB/MC/NE，而MC=NECD=1米，EF=2米，BF=BD+4，BD=4米，AB=6米所以路燈A有6米高 （2） 依題意，設(shè)影長(zhǎng)為x，則解得米答：王華的影子長(zhǎng)米考查題型二 利用平行投影確定影子的長(zhǎng)度1（2019·吉林中考模擬）如圖，身高1.6米的小麗在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為2米，在同一時(shí)刻，一棵大樹的影長(zhǎng)為8米，則這棵樹的高度為_米【答案】6.4【詳解】解：由題可知：,解得：樹高=6.4米.2（2018·四川中考模擬）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB5米，某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC3米，在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6米，則DE的長(zhǎng)為_【答案】10cm【詳解】解：如圖，在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m， ABCDEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m = = DE=10（m）故答案為10m3（2015·甘肅中考真題）如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測(cè)得電線桿的高度，一個(gè)小組的同學(xué)進(jìn)行了如下測(cè)量：某一時(shí)刻，在太陽(yáng)光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長(zhǎng)度為2米，落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)度為3米，落在地面上的影子DH的長(zhǎng)為5米，依據(jù)這些數(shù)據(jù)，該小組的同學(xué)計(jì)算出了電線桿的高度(1)該小組的同學(xué)在這里利用的是 投影的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算的；(2)試計(jì)算出電線桿的高度，并寫出計(jì)算的過程【答案】(1) 平行；(2)電線桿的高度為7米【詳解】（1）平行；（2）連接AM、CG，過點(diǎn)E作ENAB于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GMCD于點(diǎn)M，則BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以電線桿的高度為7m考查題型三 利用相似問題解決投影問題1（2019·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考模擬）如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的A處，則小明的影子AM長(zhǎng)為 米【答案】5?！窘馕觥扛鶕?jù)題意，易得MBAMCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，即，解得AM=5。小明的影長(zhǎng)為5米。2（2015·河南中考模擬）墻壁CD上D處有一盞燈(如圖)，小明站在A處測(cè)得他的影長(zhǎng)與身長(zhǎng)相等，都為1.6m，他向墻壁走1m到B處時(shí)發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點(diǎn)，則燈泡與地面的距離CD_【答案】m【詳解】如圖：根據(jù)題意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，BGAFCD，EAFECD，ABGACD，AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，設(shè)BC=xm，CD=ym，則CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，,解得：x=, y=,CD=m.燈泡與地面的距離為米，故答案為m.3（2018·貴州中考模擬）如圖是圓桌正上方的燈泡O發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m，若燈泡O距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為_m2【答案】0.81【解析】如圖設(shè)C，D分別是桌面和其地面影子的圓心，CBAD， OBCOAD而OD=3，CD=1， OC=OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6， AD=0.9 ， S=×0.92=0.81m2，這樣地面上陰影部分的面積為0.81m2知識(shí)點(diǎn)二 三視圖三視圖的概念：視圖概念：從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.正面、水平面和側(cè)面概念：用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.三視圖概念：一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.三視圖之間的關(guān)系1.位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.2.大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.畫幾何體三視圖的基本方法：畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下：1.確定主視圖的位置，畫出主視圖；2.在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；3.在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.注意：幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.由三視圖想象幾何體的形狀由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.利用三視圖計(jì)算幾何體面積利用三視圖先想象出實(shí)物形狀，再進(jìn)一步畫出展開圖，然后計(jì)算面積?？疾轭}型四 確定幾何體的三視圖1（2019·浙江中考模擬）如圖所示的工件的主視圖是( ) A B C D【答案】B?！窘馕觥繌奈矬w正面看，看到的是一個(gè)橫放的矩形，且一條斜線將其分成一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形。故選B。2（2019·天津中考模擬）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其俯視圖是（）ABCD【答案】D【詳解】該空心圓柱體的俯視圖是：故選D3（2017·陜西中考模擬）如圖是一個(gè)零件的示意圖，它的俯視圖是（ ）ABCD【答案】C【解析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中解：由三視圖可得，故選C4（2019·遼寧中考模擬）如圖，一個(gè)圓柱體在正方體上沿虛線從左向右平移，平移過程中不變的是（）A主視圖B左視圖C俯視圖D主視圖和俯視圖【答案】B【解析】主視圖是從正面觀察得到的圖形，左視圖是從左側(cè)面觀察得到的圖形，俯視圖是從上面觀察得到的圖形，結(jié)合圖形即可作出判斷解：根據(jù)圖形，可得：平移過程中不變的是的左視圖，變化的是主視圖和俯視圖故選B5（2019·福建中考真題）如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)球組成的幾何體，它的主視圖是( ).ABCD【答案】C【詳解】解：幾何體的主視圖為： ，故選：C考查題型五 由三視圖還原幾何體的方法1（2017·湖北中考模擬）主視圖、左視圖、俯視圖分別為下列三個(gè)圖形的物體是（ ）A B C D【答案】A【解析】解析：通過給出的主視圖，只有A選項(xiàng)符合條件.故選A.2（2019·湖南中考模擬）一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是（）ABCD【答案】C【解析】詳解：A選項(xiàng)的主視圖為矩形和三角形的結(jié)合，俯視圖為圓，故錯(cuò)誤；B、主視圖和俯視圖都是正方形，故錯(cuò)誤；C、主視圖為兩個(gè)矩形，俯視圖為三角形，故正確；D、主視圖和俯視圖都是三角形，故錯(cuò)誤；則本題選C3（2014·北京中考模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體是（ ）A圓錐B圓柱C球D三棱柱【答案】A【解析】由于俯視圖為圓形可得為球、圓柱、圓錐主視圖和左視圖為三角形可得此幾何體為圓錐故選A4（2018·天津市扶輪中學(xué)中考模擬）如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體可能是（ ）ABCD【答案】A【詳解】觀察俯視圖可知幾何體的底面是由2×2=4個(gè)小正方體構(gòu)成，選項(xiàng)B不符合，觀察主視圖可知幾何體有兩列，左邊一列只有一層，右邊一列有三層，選項(xiàng)D不符合，觀察左視圖，可知幾何體有兩列，左邊一列有3層，右邊一列有2層，選項(xiàng)C不符合，故只有選項(xiàng)A符合，故選A.考察題型六 由三視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)的方法1（2016·黑龍江中考模擬）如圖是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】試題分析：由主視圖與左視圖可以在俯視圖上標(biāo)注數(shù)字為：主視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：2，1，1；左視圖有兩列，每列的方塊數(shù)分別是：1，2；俯視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：2，1，2；因此總個(gè)數(shù)為1+2+1+1+1=6個(gè)，故選B2（2017·湖北中考模擬）如圖是由幾個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖，則這幾個(gè)幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)是（ ）A4個(gè)B5個(gè)C6個(gè)D7個(gè)【答案】B【詳解】由題意可得該幾何體共有兩行三列，底層應(yīng)該有314個(gè)小正方體，第二層應(yīng)該有1個(gè)小正方體，共有5個(gè)小正方體.故選B.3（2013·黑龍江中考真題）由一些大小相同的小正方形搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方形的個(gè)數(shù)最少是( )A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】由題中所給出的左視圖知物體共兩層，每一層都是兩個(gè)小正方體；從俯視圖可以可以看出最底層的個(gè)數(shù)所以圖中的小正方體最少2+4=6。故選C。5（2018·甘肅中考模擬）一個(gè)幾何體是由若干個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示：（1）在“從上面看”的圖中標(biāo)出各個(gè)位置上小正方體的個(gè)數(shù)；（2）求該幾何體的體積【答案】（1）見解析；（2）270cm3【詳解】（1）如圖所示：（2）該幾何體的體積為33×（2+3+2+1+1+1）=27×10=270（cm3）考查題型七 根據(jù)三視圖求幾何體的體積或表面積的方法1（2019·山東中考模擬）如圖，是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的側(cè)面積是（）A10B15C20D30【答案】B【解析】由三視圖可知此幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，圓錐的底面周長(zhǎng)等于圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的底面周長(zhǎng)=圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)=2r=2×3=6，圓錐的側(cè)面積=lr=×6×5=15，故選B2（2019·安徽中考模擬）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（ ）ABCD【答案】B【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是2÷2=1，高是3所以該幾何體的側(cè)面積為2×1×3=6故選：B3（2019·黑龍江中考真題）個(gè)“糧倉(cāng)”的三視圖如圖所示（單位：m），則它的體積是（ ）A21m3B30m3C45m3D63m3【答案】C【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)該幾何體為圓錐和圓柱的結(jié)合體，其體積為：32×4+×32×3=45m3，故選：C4（2014·河北中考模擬）某工廠要加工一批茶葉罐，設(shè)計(jì)者給出了茶葉罐的三視圖，如圖，請(qǐng)你按照三視圖確定制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積（單位：毫米）【答案】【解析】由三視圖可知茶葉罐的形狀為圓柱體，并且茶葉罐的底面直徑2R為100毫米，高H為150毫米，每個(gè)密封罐所需鋼板的面積即為該圓柱體的表面積，S表面積=(毫米2)，故制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積為毫米25（2019·黑龍江中考模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱.(2)求這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)和面積.【答案】(1) 圓錐；（2）20+12，60.【詳解】(1)由三視圖可知，主視圖以及左視圖都是三角形，俯視圖為圓形，該幾何體為圓錐(2)由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為12，半徑為6，高為8，則母線長(zhǎng)為.所以側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)為2·6+20=20+12面積為(2×6)×10=606（2019·湖北中考模擬）如圖所示的是某個(gè)幾何體從三種不同方向所看到的圖形（1）說出這個(gè)幾何體的名稱；（2）根據(jù)圖中有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個(gè)幾何體的表面積【答案】（1）三棱柱；（2）192【詳解】解：（1）根據(jù)三視圖可得：這個(gè)立體圖形是三棱柱；（2）表面積為：×3×4×2+15×3+15×4+15×519221