.目 錄第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題21.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題21.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題111.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題191.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題311.5 因動點產(chǎn)生的面積問題411.6 因動點產(chǎn)生的線段和差問題51第二部分函數(shù)圖象中點的存在性問題562.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題562.2 由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題58第三部分圖形運動中的計算說理問題673.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題673.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題71第四部分圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)75第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例1 2015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線k0與直線yx2都經(jīng)過點A<2, m> 1求k與m的值；2此雙曲線又經(jīng)過點B<n, 2>,過點B的直線BC與直線yx2平行交y軸于點C,聯(lián)結(jié)AB、AC,求ABC的面積；3在2的條件下,設(shè)直線yx2與y軸交于點D,在射線CB上有一點E,如果以點A、C、E所組成的三角形與ACD相似,且相似比不為1,求點E的坐標(biāo)圖1 滿分解答1將點A<2, m>代入yx2,得m4所以點A的坐標(biāo)為<2, 4>將點A<2, 4>代入,得k82將點B<n, 2>,代入,得n4所以點B的坐標(biāo)為<4, 2>設(shè)直線BC為yxb,代入點B<4, 2>,得b2所以點C的坐標(biāo)為<0,2>由A<2, 4>、B<4, 2>、C <0,2>,可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2,B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4所以AB,BC,ABC90° 圖2所以SABC8 3由A<2, 4>、D<0, 2>、C <0,2>,得AD,AC由于DACACD45°,ACEACD45°,所以DACACE所以ACE與ACD相似,分兩種情況：如圖3,當(dāng)時,CEAD此時ACDCAE,相似比為1如圖4,當(dāng)時,解得CE此時C、E兩點間的水平距離和豎直距離都是10,所以E<10, 8>圖3 圖4考點伸展第2題我們在計算ABC的面積時,恰好ABC是直角三角形一般情況下,在坐標(biāo)平面內(nèi)計算圖形的面積,用割補法如圖5,作ABC的外接矩形HCNM,MN/y軸由S矩形HCNM24,SAHC6,SAMB2,SBCN8,得SABC8圖5例220XXXX市中考第24題如圖1,RtABC中,ACB90°,AC6 cm,BC8 cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒0t2,連接PQ1若BPQ與ABC相似,求t的值；2如圖2,連接AQ、CP,若AQCP,求t的值；3試證明：PQ的中點在ABC的一條中位線上圖1 圖2滿分解答1RtABC中,AC6,BC8,所以AB10BPQ與ABC相似,存在兩種情況： 如果,那么解得t1 如果,那么解得圖3 圖42作PDBC,垂足為D在RtBPD中,BP5t,cosB,所以BDBPcosB4t,PD3t當(dāng)AQCP時,ACQCDP所以,即解得圖5 圖63如圖4,過PQ的中點H作BC的垂線,垂足為F,交AB于E由于H是PQ的中點,HF/PD,所以F是QD的中點又因為BDCQ4t,所以BFCF因此F是BC的中點,E是AB的中點所以PQ的中點H在ABC的中位線EF上考點伸展本題情景下,如果以PQ為直徑的H與ABC的邊相切,求t的值如圖7,當(dāng)H與AB相切時,QPAB,就是,如圖8,當(dāng)H與BC相切時,PQBC,就是,t1如圖9,當(dāng)H與AC相切時,直徑,半徑等于FC4所以解得,或t0如圖10,但是與已知0t2矛盾圖7 圖 8 圖9 圖10例3 20XXXX市中考第29題如圖1,已知拋物線b是實數(shù)且b2與x軸的正半軸分別交于點A、B點A位于點B是左側(cè),與y軸的正半軸交于點C1點B的坐標(biāo)為_,點C的坐標(biāo)為_用含b的代數(shù)式表示；2請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在,求出點P的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由；3請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似全等可看作相似的特殊情況？如果存在,求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由圖1滿分解答1B的坐標(biāo)為<b, 0>,點C的坐標(biāo)為<0, >2如圖2,過點P作PDx軸,PEy軸,垂足分別為D、E,那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為<x, x>如圖3,聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為<>圖2 圖33由,得A<1, 0>,OA1如圖4,以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC,那么OQCQOA當(dāng),即時,BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為<>如圖5,以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q,那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時,BQAQOA此時OQB90°所以C、Q、B三點共線因此,即解得此時Q<1,4>圖4 圖5考點伸展第3題的思路是,A、C、O三點是確定的,B是x軸正半軸上待定的點,而QOA與QOC是互余的,那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣,先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來,再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中,圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話,那么點B的位置距離點A很近,這與OB4OC矛盾例4 20XX黃岡市中考模擬第25題如圖1,已知拋物線的方程C1： <m0>與x軸交于點B、C,與y軸交于點E,且點B在點C的左側(cè)1若拋物線C1過點M<2, 2>,求實數(shù)m的值；2在1的條件下,求BCE的面積；3在1的條件下,在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BHEH最小,求出點H的坐標(biāo)；4在第四象限內(nèi),拋物線C1上是否存在點F,使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在,求m的值；若不存在,請說明理由圖1滿分解答1將M<2, 2>代入,得解得m42當(dāng)m4時,所以C<4, 0>,E<0, 2>所以SBCE3如圖2,拋物線的對稱軸是直線x1,當(dāng)H落在線段EC上時,BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P,那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為4如圖3,過點B作EC的平行線交拋物線于F,過點F作FFx軸于F由于BCEFBC,所以當(dāng),即時,BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為,由,得解得xm2所以F<m2, 0>由,得所以由,得整理,得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4,作CBF45°交拋物線于F,過點F作FFx軸于F,由于EBCCBF,所以,即時,BCEBFC在RtBFF中,由FFBF,得解得x2m所以F所以BF2m2,由,得解得綜合、,符合題意的m為考點伸展第4題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后,根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例5 20XX義烏市中考第24題如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點O0,0、A2,0、B6,31直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；2將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移,分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、 B1的坐標(biāo)分別為 <x1,y1>、<x2,y2>用含S的代數(shù)式表示x2x1,并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；3在圖1中,設(shè)點D的坐標(biāo)為<1,3>,動點P從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動,動點Q從點D出發(fā),以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)點Q到達點M時,P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在,請求出t的值；若不存在,請說明理由圖1 圖2滿分解答1拋物線的對稱軸為直線,解析式為,頂點為M1,2 梯形O1A1B1C1的面積,由此得到由于,所以整理,得因此得到當(dāng)S=36時, 解得 此時點A1的坐標(biāo)為6,33設(shè)直線AB與PQ交于點G,直線AB與拋物線的對稱軸交于點E,直線PQ與x軸交于點F,那么要探求相似的GAF與GQE,有一個公共角G在GEQ中,GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角,為定值在GAF中,GAF是直線AB與x軸的夾角,也為定值,而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能,GQEGAF這時GAFGQEPQD由于,所以解得圖3 圖4考點伸展第3題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在,說理過程相同,求得的t的值也是相同的事實上,圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖,實際的圖形更接近圖3例6 20XXXX市中考第26題如圖1,拋物線經(jīng)過點A<4,0>、B1,0>、C0,2三點1求此拋物線的解析式；2P是拋物線上的一個動點,過P作PMx軸,垂足為M,是否存在點P,使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在,請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；3在直線AC上方的拋物線是有一點D,使得DCA的面積最大,求出點D的坐標(biāo),圖1滿分解答 1因為拋物線與x軸交于A<4,0>、B1,0>兩點,設(shè)拋物線的解析式為,代入點C的 坐標(biāo)0,2,解得所以拋物線的解析式為2設(shè)點P的坐標(biāo)為如圖2,當(dāng)點P在x軸上方時,1x4,如果,那么解得不合題意如果,那么解得此時點P的坐標(biāo)為2,1如圖3,當(dāng)點P在點A的右側(cè)時,x4,解方程,得此時點P的坐標(biāo)為解方程,得不合題意如圖4,當(dāng)點P在點B的左側(cè)時,x1,解方程,得此時點P的坐標(biāo)為解方程,得此時點P與點O重合,不合題意綜上所述,符合條件的 點P的坐標(biāo)為2,1或或圖2 圖3 圖43如圖5,過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,那么點D的坐標(biāo)為,點E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時,DCA的面積最大,此時點D的坐標(biāo)為2,1圖5 圖6考點伸展第3題也可以這樣解：如圖6,過D點構(gòu)造矩形OAMN,那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,n,那么由于,所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2015年XX市中考第25題如圖1,在ABC中,ACB90°,BAC60°,點E是BAC的平分線上一點,過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點,DHAC,垂足為H,連接EF,HF1如圖1,若點H是AC的中點,AC,求AB、BD的長；2如圖1,求證：HFEF3如圖2,連接CF、CE,猜想：CEF是否是等邊三角形？若是,請證明；若不是,請說明理由圖1 圖2滿分解答1如圖3,在RtABC中,BAC60°,AC,所以AB在RtADH中,DAH30°,AH,所以DH1,AD2在RtADB中,AD2,AB,由勾股定理,得BD2如圖4,由DAB90°,BAC60°,AE平分BAC,得DAE60°,DAH30°在RtADE中,AE在RtADH中,DH所以AEDH因為點F是RtABD的斜邊上的中線,所以FAFD,FADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF圖3 圖4 圖53如圖5,作FMAB于M,聯(lián)結(jié)CM由FM/DA,F是DB的中點,得M是AB的中點因此FM,ACM是等邊三角形又因為AE,所以FMEA又因為CMCA,CMFCAE30°,所以CMFCAE所以MCFACE,CFCE所以ECFACM60°所以CEF是等邊三角形考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖,看看有沒有熟悉的感覺如圖6,如圖7,當(dāng)點F落在BC邊上時,點H與點C重合圖6 圖7如圖8,圖9,點E落在BC邊上如圖10,圖11,等腰梯形ABEC圖8 圖9 圖10 圖11例220XXXX市中考第26題如圖1,拋物線yax2bxca、b、c是常數(shù),a0的對稱軸為y軸,且經(jīng)過<0,0>和兩點,點P在該拋物線上運動,以點P為圓心的P總經(jīng)過定點A<0, 2>1求a、b、c的值；2求證：在點P運動的過程中,P始終與x軸相交；3設(shè)P與x軸相交于M<x1, 0>、N<x2, 0>兩點,當(dāng)AMN為等腰三角形時,求圓心P的縱坐標(biāo)圖1滿分解答1已知拋物線的頂點為<0,0>,所以yax2所以b0,c0將代入yax2,得解得舍去了負值2拋物線的解析式為,設(shè)點P的坐標(biāo)為已知A<0, 2>,所以而圓心P到x軸的距離為,所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點P運動的過程中,P始終與x軸相交3如圖2,設(shè)MN的中點為H,那么PH垂直平分MN在RtPMH中,所以MH24所以MH2因此MN4,為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3,當(dāng)AMAN時,點P為原點O重合,此時點P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4,當(dāng)MAMN時,在RtAOM中,OA2,AM4,所以O(shè)M2此時xOH2所以點P的縱坐標(biāo)為如圖5,當(dāng)NANM時,點P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動,以點P為圓心的P總經(jīng)過定點B<0, 1>,那么在點P運動的過程中,P始終與直線y1相切這是因為：設(shè)點P的坐標(biāo)為已知B<0, 1>,所以而圓心P到直線y1的距離也為,所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點P運動的過程中,P始終與直線y1相切例320XX上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1,在RtABC中,A90°,AB6,AC8,點D為邊BC的中點,DEBC交邊AC于點E,點P為射線AB上的一動點,點Q為邊AC上的一動點,且PDQ90°1求ED、EC的長；2若BP2,求CQ的長；3記線段PQ與線段DE的交點為F,若PDF為等腰三角形,求BP的長圖1 備用圖滿分解答1在RtABC中, AB6,AC8,所以BC10在RtCDE中,CD5,所以,2如圖2,過點D作DMAB,DNAC,垂足分別為M、N,那么DM、DN是ABC的兩條中位線,DM4,DN3由PDQ90°,MDN90°,可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以,圖2 圖3 圖4如圖3,當(dāng)BP2,P在BM上時,PM1此時所以如圖4,當(dāng)BP2,P在MB的延長線上時,PM5此時所以3如圖5,如圖2,在RtPDQ中,在RtABC中,所以QPDC由PDQ90°,CDE90°,可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時,CDQ也是等腰三角形如圖5,當(dāng)CQCD5時,QNCQCN541如圖3所示此時所以如圖6,當(dāng)QCQD時,由,可得所以QNCNCQ如圖2所示此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ如圖5,圖6所示圖5 圖6考點伸展如圖6,當(dāng)CDQ是等腰三角形時,根據(jù)等角的余角相等,可以得到BDP也是等腰三角形,PBPD在BDP中可以直接求解例4 20XXXX市中考第27題如圖1,拋物線yax2bxc經(jīng)過A<1,0>、B<3, 0>、C<0 ,3>三點,直線l是拋物線的對稱軸1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；2設(shè)點P是直線l上的一個動點,當(dāng)PAC的周長最小時,求點P的坐標(biāo)；3在直線l上是否存在點M,使MAC為等腰三角形,若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由圖1 滿分解答1因為拋物線與x軸交于A<1,0>、B<3, 0>兩點,設(shè)ya<x1><x3>,代入點C<0 ,3>,得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y<x1><x3>x22x32如圖2,拋物線的對稱軸是直線x1當(dāng)點P落在線段BC上時,PAPC最小,PAC的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由,BOCO,得PHBH2所以點P的坐標(biāo)為<1, 2>圖23點M的坐標(biāo)為<1, 1>、<1,>、<1,>或<1,0>考點伸展第3題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為<1,m>在MAC中,AC210,MC21<m3>2,MA24m2如圖3,當(dāng)MAMC時,MA2MC2解方程4m21<m3>2,得m1此時點M的坐標(biāo)為<1, 1>如圖4,當(dāng)AMAC時,AM2AC2解方程4m210,得此時點M的坐標(biāo)為<1,>或<1,>如圖5,當(dāng)CMCA時,CM2CA2解方程1<m3>210,得m0或6當(dāng)M<1, 6>時,M、A、C三點共線,所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為<1,0>圖3 圖4 圖5例5 20XXXX市中考第26題如圖1,點A在x軸上,OA4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置1求點B的坐標(biāo)；2求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；3在此拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由圖1滿分解答1如圖2,過點B作BCy軸,垂足為C在RtOBC中,BOC30°,OB4,所以BC2,所以點B的坐標(biāo)為2因為拋物線與x軸交于O、A<4, 0>,設(shè)拋物線的解析式為yax<x4>,代入點B,解得所以拋物線的解析式為3拋物線的對稱軸是直線x2,設(shè)點P的坐標(biāo)為<2, y>當(dāng)OPOB4時,OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時,B、O、P三點共線如圖2當(dāng)BPBO4時,BP216所以解得當(dāng)PBPO時,PB2PO2所以解得綜合、,點P的坐標(biāo)為,如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3,在本題中,設(shè)拋物線的頂點為D,那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由,得拋物線的頂點為因此所以DOA30°,ODA120°例620XXXX市中考第28題如圖1,已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù)的圖象交于點A,且與x軸交于點B1求點A和點B的坐標(biāo)；2過點A作ACy軸于點C,過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長的速度,沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā),以相同速度向左平移,在平移過程中,直線l交x軸于點R,交線段BA或線段AO于點Q當(dāng)點P到達點A時,點P和直線l都停止運動在運動過程中,設(shè)動點P運動的時間為t秒當(dāng)t為何值時,以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求t的值；若不存在,請說明理由 圖1 滿分解答1解方程組 得 所以點A的坐標(biāo)是<3,4>令,得所以點B的坐標(biāo)是<7,0>2如圖2,當(dāng)P在OC上運動時,0t4由,得整理,得解得t2或t6舍去如圖3,當(dāng)P在CA上運動時,APR的最大面積為6因此,當(dāng)t2時,以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形,0t4如圖1,在AOB中,B45°,AOB45°,OB7,所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4,點P由O向C運動的過程中,OPBRRQ,所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變,PAQ越來越大,所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上,OR2CA6所以BR1,t1我們再來討論P在CA上運動時的情形,4t7在APQ中,為定值,如圖5,當(dāng)APAQ時,解方程,得如圖6,當(dāng)QPQA時,點Q在PA的垂直平分線上,AP2<OROP>解方程,得如7,當(dāng)PAPQ時,那么因此解方程,得綜上所述,t1或或5或時,APQ是等腰三角形圖5 圖6 圖7考點伸展當(dāng)P在CA上,QPQA時,也可以用來求解1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12015年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1,在RtABC中,ACB90°,AB13,CD/AB,點E為射線CD上一動點不與點C重合,聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F,BAE的平分線交BC于點G 1當(dāng)CE3時,求SCEFSCAF的值；2設(shè)CEx,AEy,當(dāng)CG2GB時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；3當(dāng)AC5時,聯(lián)結(jié)EG,若AEG為直角三角形,求BG的長圖1 滿分解答1如圖2,由CE/AB,得由于CEF與CAF是同高三角形,所以SCEFSCAF3132如圖3,延長AG交射線CD于M 圖2由CM/AB,得所以CM2AB26由CM/AB,得EMABAM又因為AM平分BAE,所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM26x圖3 圖43在RtABC中, AB13,AC5,所以BC12如圖 4,當(dāng)AGE90°時,延長EG交AB于N,那么AGEAGN所以G是EN的中點所以G是BC的中點,BG6如圖5,當(dāng)AEG90°時,由CAFEGF,得由CE/AB,得所以又因為AFGBFA,所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH,那么BHAH在RtGBH中,由cosB,得BG÷圖5 圖6考點伸展第3題的第種情況,當(dāng)AEG90°時的核心問題是說理GAGB如果用四點共圓,那么很容易如圖6,由A、C、E、G四點共圓,直接得到24上海版教材不學(xué)習(xí)四點共圓,比較麻煩一點的思路還有：如圖7,當(dāng)AEG90°時,設(shè)AG的中點為P,那么PC和PE分別是RtACG和RtAEG斜邊上的中線,所以PCPEPAPG所以122,325如圖8,在等腰PCE中,CPE180°2<45>,又因為CPE180°<13>,所以132<45>所以124所以24B所以GABB所以GAGB圖7 圖8例220XXXX市中考第29題如圖1,二次函數(shù)ya<x22mx3m2>其中a、m是常數(shù),且a0,m0的圖像與x軸分別交于A、B點A位于點B的左側(cè),與y軸交于點C<0,3>,點D在二次函數(shù)的圖像上,CD/AB,聯(lián)結(jié)AD過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E,AB平分DAE1用含m的式子表示a；2求證：為定值；3設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F探索：在x軸的負半軸上是否存在點G,聯(lián)結(jié)GF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在,只要找出一個滿足要求的點G即可,并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由圖1滿分解答1將C<0,3>代入ya<x22mx3m2>,得33am2因此2由ya<x22mx3m2>a<xm><x3m>a<xm>24axm2a<xm>24,得A<m, 0>,B<3m, 0>,F<m, 4>,對稱軸為直線xm所以點D的坐標(biāo)為<2m,3>設(shè)點E的坐標(biāo)為<x, a<xm><x3m>>如圖2,過點D、E分別作x軸的垂線,垂足分別為D、E由于EAEDAD,所以因此所以am<x3m>1結(jié)合,于是得到x4m當(dāng)x4m時,ya<xm><x3m>5am25所以點E的坐標(biāo)為<4m, 5>所以圖2 圖33如圖3,由E<4m, 5>、D<2m,3>、F<m,4>,可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點,就是符合條件的點G證明如下：作FFx軸于F,那么因此所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形此時GF4m所以GO3m,點G的坐標(biāo)為<3m, 0>考點伸展第3題中的點G的另一種情況,就是GF為直角三角形的斜邊此時因此所以此時 例3 20XXXX省中考第26題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點點B在點A的右側(cè),與y軸交于點C,連結(jié)BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標(biāo)為<m, 0>,過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q1求點A、B、C的坐標(biāo)；2當(dāng)點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由；3當(dāng)點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使BDQ為直角三角形,若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由圖1 滿分解答1由,得A<2,0>,B<8,0>,C<0,4>2直線DB的解析式為由點P的坐標(biāo)為<m, 0>,可得,所以MQ當(dāng)MQDC8時,四邊形CQMD是平行四邊形解方程,得m4,或m0舍去此時點P是OB的中點,N是BC的中點,N<4,2>,Q<4,6>所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖33存在兩個符合題意的點Q,分別是<2,0>,<6,4>考點伸展第3題可以這樣解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為如圖3,當(dāng)DBQ90°時,所以解得x6此時Q<6,4>如圖4,當(dāng)BDQ90°時,所以解得x2此時Q<2,0>圖3 圖4例4 20XXXX市中考第24題如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C1求點A、B的坐標(biāo)；2設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點,當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時,求點D的坐標(biāo)；3若直線l過點E<4, 0>,M為直線l上的動點,當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時,求直線l的解析式圖1 滿分解答1由,得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A<4, 0>、B<2, 0>對稱軸是直線x12ACD與ACB有公共的底邊AC,當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時,點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D,在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G,與AC交于點H由BD/AC,得DBGCAO所以所以,點D的坐標(biāo)為因為AC/BD,AGBG,所以HGDG而DHDH,所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為圖2 圖33過點A、B分別作x軸的垂線,這兩條垂線與直線l總是有交點的,即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交,那么就有2個點M；如果圓與直線l相切,就只有1個點M了聯(lián)結(jié)GM,那么GMl在RtEGM中,GM3,GE5,所以EM4在RtEM1A中,AE8,所以M1A6所以點M1的坐標(biāo)為<4, 6>,過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性,直線l還可以是考點伸展第3題中的直線l恰好經(jīng)過點C,因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中,GM3,GE5,所以EM4在RtECO中,CO3,EO4,所以CE5因此三角形EGMECO,GEMCEO所以直線CM過點C例5 20XXXX市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk<x2x1>的圖象交于點A<1,k>和點B<1,k>1當(dāng)k2時,求反比例函數(shù)的解析式；2要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大,求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；3設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為Q,當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時,求k的值滿分解答1因為反比例函數(shù)的圖象過點A<1,k>,所以反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時,反比例函數(shù)的解析式是2在反比例函數(shù)中,如果y隨x增大而增大,那么k0當(dāng)k0時,拋物線的開口向下,在對稱軸左側(cè),y隨x增大而增大拋物線yk<x2x1>的對稱軸是直線 圖1所以當(dāng)k0且時,反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大3拋物線的頂點Q的坐標(biāo)是,A、B關(guān)于原點O中心對稱,當(dāng)OQOAOB時,ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2,得解得如圖2,如圖3圖2 圖3考點伸展如圖4,已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線k0交于A、B和C、D,那么AB與CD互相平分,所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5,當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對稱時,AB與CD互相平分且相等,四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上,所以O(shè)A與OC無法垂直,因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例6 20XXXX省中考第23題設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2,若l1l2,垂足為H,則稱直線l1與l2是點H的直角線1已知直線；和點C<0,2>,則直線_和_是點C的直角線填序號即可；2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OABC的頂點A<3,0>、B<2,7>、C<0,7>,P為線段OC上一點,設(shè)過B、P兩點的直線為l1,過A、P兩點的直線為l2,若l1與l2是點P的直角線,求直線l1與l2的解析式 圖1答案1直線和是點C的直角線2當(dāng)APB90°時,BCPPOA那么,即解得OP6或OP1如圖2,當(dāng)OP6時,l1：, l2：y2x6如圖3,當(dāng)OP1時,l1：y3x1, l2：圖2 圖3例7 20XX北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A,點B<2,n>在這條拋物線上1求點B的坐標(biāo)；2點P在線段OA上,從點O出發(fā)向點A運動,過點P作x軸的垂線,與直線OB交于點E,延長PE到點D,使得EDPE,以PD為斜邊,在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD當(dāng)點P運動時,點C、D也隨之運動當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時,求OP的長；若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動,速度為每秒1個單位,同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動,速度為每秒2個單位當(dāng)點Q到達點O時停止運動,點P也停止運動過Q作x軸的垂線,與直線AB交于點F,延長QF到點M,使得FMQF,以QM為斜邊,在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN當(dāng)點Q運動時,點M、N也隨之運動若點P運動到t秒時,兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上,求此刻t的值圖1滿分解答<1>因為拋物線經(jīng)過原點,所以 解得,舍去因此所以點B的坐標(biāo)為2,4<2> 如圖4,設(shè)OP的長為t,那么PE2t,EC2t,點C的坐標(biāo)為<3t, 2t>當(dāng)點C落在拋物線上時,解得如圖1,當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時,點P、Q重合此時3t10解得如圖2,當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上,PQN是等腰直角三角形,PQPE此時解得如圖3,當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上,PQC是等腰直角三角形,PQPD此時解得圖1 圖2 圖3例8 20XXXX市中考第24題如圖1,已知A、B是線段MN上的兩點,以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M,以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N,使M、N兩點重合成一點C,構(gòu)成ABC,設(shè)1求x的取值范圍；2若ABC為直角三角形,求x的值；3探究：ABC的最大面積？圖1滿分解答1在ABC中,所以解得2若AC為斜邊,則,即,此方程無實根若AB為斜邊,則,解得,滿足若BC為斜邊,則,解得,滿足因此當(dāng)或時,ABC是直角三角形3在ABC中,作于D,設(shè),ABC的面積為S,則如圖2,若點D在線段AB上,則移項,得兩邊平方,得整理,得兩邊平方,得整理,得所以當(dāng)時滿足,取最大值,從而S取最大值圖2 圖3如圖3,若點D在線段MA上,則同理可得,易知此時綜合得,ABC的最大面積為考點伸展第3題解無理方程比較煩瑣,迂回一下可以避免煩瑣的運算：設(shè),例如在圖2中,由列方程整理,得所以因此1.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2015年XX市中考第28題如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax22ax3aa0與x軸交于A、B兩點點A在點B的左側(cè),經(jīng)過點A的直線l：ykxb與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD4AC1直接寫出點A的坐標(biāo),并求直線l的函數(shù)表達式其中k、b用含a的式子表示；2點E是直線l上方的拋物線上的動點,若ACE的面積的最大值為,求a的值；3設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能,求出點P的坐標(biāo)；若不能,請說明理由圖1 備用圖滿分解答1由yax22ax3aa<x1><x3>,得A<1, 0>由CD4AC,得xD4所以D<4, 5a>由A<1, 0>、D<4, 5a>,得直線l的函數(shù)表達式為yaxa2如圖1,過點E作x軸的垂線交AD于F設(shè)E<x, ax22ax3a>,F<x, axa>,那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF,得ACE的面積的最大值為解方程,得3已知A<1, 0>、D<4, 5a>,xP1,以AD為分類標(biāo)準(zhǔn),分兩種情況討論：如圖2,如果AD為矩形的邊,那么AD/QP,ADQP,對角線APQD由xDxAxPxQ,得xQ4當(dāng)x4時,ya<x1><x3>21a所以Q<4, 21a>由yDyAyPyQ,得yP26a所以P<1, 26a>由AP2QD2,得22<26a>282<16a>2整理,得7a21所以此時P如圖3,如果AD為矩形的對角線,那么AD與PQ互相平分且相等由xDxAxPxQ,得xQ2所以Q<2,3a>由yDyAyPyQ,得yP8a所以P<1, 8a>由AD2PQ2,得52<5a>212<11a>2整理,得4a21所以此時P圖1 圖2 圖3考點伸展第3題也可以這樣解設(shè)P<1,n>如圖2,當(dāng)AD時矩形的邊時,QPD90°,所以,即解得所以P所以Q將Q代入ya<x1><x3>,得所以如圖3,當(dāng)AD為矩形的對角線時,先求得Q<2,3a>由AQD90°,得,即解得例220XXXX省中考第24題如圖1,已知拋物線C：yx2bxc經(jīng)過A<3,0>和B<0, 3>兩點將這條拋物線的頂點記為M,它的對稱軸與x軸的交點記為N1求拋物線C的表達式；2求點M的坐標(biāo)；3將拋物線C平移到拋物線C,拋物線C的頂點記為M,它的對稱軸與x軸的交點記為N如果以點M、N、M、N為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形,那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1滿分解答1將A<3,0>、B<0, 3>分別代入yx2bxc,得 解得b2,c3所以拋物線C的表達式為yx22x32由yx22x3<x1>24,得頂點M的坐標(biāo)為<1,4>3拋物線在平移過程中,MN與MN保持平行,當(dāng)MNMN4時,以點M、N、M、N為頂點的四邊形就是平行四邊形因為平行四邊形的面積為16,所以MN邊對應(yīng)的高NN4那么以點M、N、M、N為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNNM如圖2；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNNM如圖2；拋物線C先向右平移4個單位,再向下平移8個單位得到平行四邊形MNMN如圖3；拋物線C先向左平移4個單位,再向下平移8個單位得到平行四邊形MNMN如圖3圖2 圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位,兩條拋物線的交點為D,那么MMD的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4,MMD是等腰三角形,由M<1,4>、M<1m, 4>,可得點D的橫坐標(biāo)為將代入y<x1>24,得所以DH所以S圖4例3 20XX上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1,已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A<0, 1>、B<4, 3>兩點 1求拋物線的解析式；2求tanABO的值；3過點B作BCx軸,垂足為C,在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N,交拋物線于點M,若四邊形MNCB為平行四邊形,求點M的坐標(biāo)圖1 滿分解答1將A<0, 1>、B<4, 3>分別代入yx2bxc,得解得,c1所以拋物線的解析式是2在RtBOC中,OC4,BC3,所以O(shè)B5如圖2,過點A作AHOB,垂足為H在RtAOH中,OA1,所以 圖2所以, 在RtABH中,3直線AB的解析式為設(shè)點M的坐標(biāo)為,點N的坐標(biāo)為,那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時,MNBC3解方程x24x3,得x1或x3因為x3在對稱軸的右側(cè)如圖4,所以符合題意的點M的坐標(biāo)為如圖3圖3 圖4考點伸展第3題如果改為：點M是拋物線上的一個點,直線MN平行于y軸交直線AB于N,如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,求點M的坐標(biāo)那么求點M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2,解方程x24x3,得如圖5所以符合題意的點M有4個：,圖5例4 20XXXX市中考第21題如圖1,在RtABC中,C90°,AC6,BC8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD/BC,交AB于點D,聯(lián)結(jié)PQ點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),當(dāng)其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動的時間為t秒t01直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_,PD_；2是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形？若存在,求出t的值；若不存在,說明理由,并探究如何改變點Q的速度勻速運動,使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度；3如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長圖1 圖2滿分解答1QB82t,PD2如圖3,作ABC的平分線交CA于P,過點P作PQ/AB交BC于Q,那么四邊形PDBQ是菱形過點P作PEAB,垂足為E,那么BEBC8在RtABC中,AC6,BC8,所以AB10 圖3在RtAPE中,所以當(dāng)PQ/AB時,即解得所以點Q的運動速度為3以C為原點建立直角坐標(biāo)系如圖4,當(dāng)t0時,PQ的中點就是AC的中點E<3,0>如圖5,當(dāng)t4時,PQ的中點就是PB的中點F<1,4>直線EF的解析式是y2x6如圖6,PQ的中點M的坐標(biāo)可以表示為,t經(jīng)驗證,點M,t在直線EF上所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長,EF圖4 圖5 圖6考點伸展第3題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t2時,PQ的中點為<2,2>設(shè)點M的運動路徑的解析式為yax2bxc,代入E<3,0>、