2021-2022年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 能被2，5整除的數(shù)的特征同學們都知道，自然數(shù)和0統(tǒng)稱為(非負)整數(shù)。同學們還知道，兩個整數(shù)相加，和仍是整數(shù)；兩個整數(shù)相乘，乘積也是整數(shù)；兩個整數(shù)相減，當被減數(shù)不小于減數(shù)時，差還是整數(shù)。兩個整數(shù)相除時，情況就不那么簡單了。如果被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)，我們就說這個被除數(shù)能被這個除數(shù)整除；否則，就是不能整除。例如，84能被2，3，4整除，因為84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整數(shù)。而84不能被5整除，因為84÷5=164，有余數(shù)4。也不能被13整除，因為84÷13=66，有余數(shù)6。因為0除以任何自然數(shù)，商都是0，所以0能被任何自然數(shù)整除。這一講的內(nèi)容是能被2和5整除的數(shù)的特征，也就是討論什么樣的數(shù)能被2或5整除。1.能被2整除的數(shù)的特征因為任何整數(shù)乘以2，所得乘數(shù)的個位數(shù)只有0，2，4，6，8五種情況，所以，能被2整除的數(shù)的個位數(shù)一定是0，2，4，6或8。也就是說，凡是個位數(shù)是0，2，4，6，8的整數(shù)一定能被2整除，凡是個位數(shù)是1，3，5，7，9的整數(shù)一定不能被2整除。例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。0，2，4，6，8，10，12，14，就是全體偶數(shù)。1，3，5，7，9，11，13，15，就是全體奇數(shù)。偶數(shù)和奇數(shù)有如下運算性質(zhì)：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。例1在1199中，有多少個奇數(shù)？有多少個偶數(shù)？其中奇數(shù)之和與偶數(shù)之和誰大？大多少？分析與解：由于1，2，3，4，197，198，199是奇、偶數(shù)交替排列的，從小到大兩兩配對：(1，2)，(3，4)，(197，198)，還剩一個199。共有198÷2=99(對)，還剩一個奇數(shù)199。所以奇數(shù)的個數(shù)=198÷2+1=100(個)，偶數(shù)的個數(shù)=198÷2=99(個)。因為每對中的偶數(shù)比奇數(shù)大1，99對共大99，而199-99=100，所以奇數(shù)之和比偶數(shù)之和大，大100。如果按從大到小兩兩配對：(199，198)，(197，196)，(3，2)，那么怎樣解呢？例2(1)不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？(2)數(shù)(42+30-147)能被2整除，那么，里可填什么數(shù)？(3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？1×3×5×7×9×11×13×14×15。解：根據(jù)奇偶數(shù)的運算性質(zhì)：(1)因為524，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)。又因為429是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)。(2)數(shù)(42+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)。因為147是奇數(shù)，所以數(shù)(42+30)必是奇數(shù)。又因為其中的30是偶數(shù)，所以，數(shù)42必為奇數(shù)。于是，里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9。(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由1×3為奇數(shù)，推知1×3×5為奇數(shù)推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數(shù)。因為14為偶數(shù)，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù)，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數(shù)。由例2得出：(1)在全部是加、減法的運算中，若參加運算的奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，則結(jié)果是偶數(shù)；若參加運算的奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，則結(jié)果是奇數(shù)。(2)在連乘運算中，只要有一個因數(shù)是偶數(shù)，則整個乘積一定是偶數(shù)。例3在黑板上先寫出三個自然數(shù)3，然后任意擦去其中的一個，換成所剩兩個數(shù)的和。照這樣進行100次后，黑板上留下的三個自然數(shù)的奇偶性如何？它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？解：根據(jù)奇偶數(shù)的運算性質(zhì)知：第一次擦后，改寫得到的三個數(shù)是6，3，3，是“二奇一偶”；第二次擦后，改寫得到的三個數(shù)是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。以后若擦去的是偶數(shù)，則改寫得到的數(shù)為二奇數(shù)之和，是偶數(shù)；若擦去的是奇數(shù)，則改寫得到的數(shù)為一奇一偶之和，是奇數(shù)?？傊?，黑板上仍保持“二奇一偶”。所以，無論進行多少次擦去與改寫，黑板上的三個數(shù)始終為“二奇一偶”。它們的乘積奇數(shù)×奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。故進行100次后，所得的三個自然數(shù)的奇偶性為二奇數(shù)、一偶數(shù)，它們的乘積一定是偶數(shù)。2.能被5整除的數(shù)的特征由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，可以推想任何一個偶數(shù)乘以5，所得乘積的個位數(shù)都是0。由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，可以推想，任何一個奇數(shù)乘以5，所得乘積的個位數(shù)都是5。因此，能被5整除的數(shù)的個位數(shù)一定是0或5。也就是說，凡是個位數(shù)是0或5的整數(shù)一定能被5整除；凡是個位數(shù)不是0或5的整數(shù)一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。例4由0，3，5寫成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，有哪些能被5整除？解：因為個位數(shù)為0或5的數(shù)才能被5整除，所以由0，3，5寫成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，只有350，530，305三個數(shù)能被5整除。例5下面的連乘積中，末尾有多少個0？1×2×3××29×30。解：因為2×5=10，所以在連乘積中，有一個因子2和一個因子5，末尾就有一個0。連乘積中末尾的0的個數(shù)，等于130中因子2的個數(shù)與因子5的個數(shù)中較少的一個。而在連乘積中，因子2的個數(shù)比因子5的個數(shù)多(如4含兩個因子2，8含三個因子2)，所以，連乘積末尾0的個數(shù)與連乘積中因子5的個數(shù)相同。連乘積中含因子5的數(shù)有5，10，15，20，25，30，這些數(shù)中共含有七個因子 5(其中25含有兩個因子5)。所以，1×2×3××29×30的積中，末尾有七個0。 附送：2021-2022年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征上一講我們講了能被2，5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易就能判別出一個數(shù)是否能被2或5整除。同學們自然會問，有沒有類似的簡便方法，直接判斷一個數(shù)能否被3整除？我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù)：18，345，4737，2567418能被3整除，1+8=9也能被3整除；345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。怎么這么巧？我們再試一個：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再試了，同學們可能已經(jīng)在想：“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除？”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。因此，判斷一個整數(shù)能否被3整除的簡便方法是：如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，587931。解：因為2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；因為3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；因為5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。為了今后使用方便，我們介紹一個表示多位數(shù)的方法。當一個多位數(shù)中有一個或幾個數(shù)字用字母來表示時，為防止理解錯誤，就在這個多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個多位數(shù)。例如，表示這個三位數(shù)的百、十、個位依次是3，a，5；又如，表示這個四位數(shù)的千、百、十、個位依次是a，b，c，d。例2六位數(shù)能被3整除，數(shù)字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。例3由1，3，5，7這四個數(shù)字寫成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個能被3整除？解：在1，3，5，7這四個數(shù)中，任取三個，共有4組：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7寫成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1，3，5可寫成135，153，315，351，513，531六個三位數(shù)；同理，由3，5，7也能寫成6個三位數(shù)。所以，符合題意的三位數(shù)有6×2=12(個)。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是3，5，7，9，11，27，29，31，33，被3除余1的所有整數(shù)是4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，被5除余1的所有整數(shù)是6，11，16，21，26，31，36，上面三列數(shù)中，第一個同時出現(xiàn)的數(shù)是31，所以31是同時滿足被2，3，5除均余1且不等于1的最小數(shù)。例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡捷。一個較簡捷的方法是：因為5大于2和3，所以先從被5除余1的數(shù)1，6，11，16，21，26，31，36，中找出第一個(1除外)同時滿足被2和3除都余1的數(shù)31，就為所求。到五年級學了更多的知識后，還可直接由2×3×5+1=31得到所求數(shù)。例5同時能被2，3，5整除的最小三位數(shù)是幾？解：能被5整除的三位數(shù)是100，105，110，115，120，125，其中，第一個能同時被2，3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù)，且1+2+0=3)，故120為所求。   練習1.直接判斷25874和978651能否被3整除。3.由2，3，4，5這四個數(shù)字寫成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個能被3整除？4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？(2)被3，5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？5.同時能被2，3，5整除的最小自然數(shù)是幾？6.同時能被2，3，5整除的最大三位數(shù)是幾？7.一根鐵絲長125厘米，要把它剪成長2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？