專題34 動(dòng)態(tài)問(wèn)題 專題知識(shí)回顧 一、動(dòng)態(tài)問(wèn)題概述1.就運(yùn)動(dòng)類型而言,有函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、圖象問(wèn)題、面積問(wèn)題、最值問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等。2.就運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言,幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類。3.就圖形變化而言,有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等。4.動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。二、動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象問(wèn)題常見(jiàn)的四種類型： 1.三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖2.四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿四邊形的邊運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。3.圓中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。4.直線、雙曲線、拋物線中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿直線、雙曲線、拋物線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，判斷函數(shù)圖象。三、圖形運(yùn)動(dòng)與函數(shù)圖象問(wèn)題常見(jiàn)的三種類型： 1.線段與多邊形的運(yùn)動(dòng)圖形問(wèn)題：把一條線段沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)三角形或四邊形，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。2.多邊形與多邊形的運(yùn)動(dòng)圖形問(wèn)題：把一個(gè)三角形或四邊形沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)另一個(gè)多邊形，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。3.多邊形與圓的運(yùn)動(dòng)圖形問(wèn)題：把一個(gè)圓沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形或四邊形，或把一個(gè)三角形或四邊形沿一定方向運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一個(gè)圓，根據(jù)問(wèn)題中的常量與變量之間的關(guān)系，進(jìn)行分段，判斷函數(shù)圖象。四、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的四種類型：1.教師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模仿。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽(tīng)，在反復(fù)傾聽(tīng)中體驗(yàn)、品味。1.三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，通過(guò)全等或相似，探究構(gòu)成的新圖形與原圖形的邊或角的關(guān)系。2.四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿四邊形的邊運(yùn)動(dòng)，通過(guò)探究構(gòu)成的新圖形與原圖形的全等或相似，得出它們的邊或角的關(guān)系。3.這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛(ài)生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛(ài)心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫起文章來(lái)還用亂翻參考書嗎?3.圓中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，探究構(gòu)成的新圖形的邊角等關(guān)系。4.直線、雙曲線、拋物線中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)沿直線、雙曲線、拋物線運(yùn)動(dòng)，探究是否存在動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形或與已知圖形相似等問(wèn)題。五、解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般步驟：（1）用數(shù)量來(lái)刻畫運(yùn)動(dòng)過(guò)程。因?yàn)樵诓煌倪\(yùn)動(dòng)階段，同一個(gè)量的數(shù)學(xué)表達(dá)方式會(huì)發(fā)生變化，所以需要分類討論。有時(shí)符合試題要求的情況不止一種，這時(shí)也需要分類討論。（2）畫出符合題意的示意圖。（3）根據(jù)試題的已知條件或者要求列出算式、方程或者數(shù)量間的關(guān)系式。專題典型題考法及解析 【例題1】（點(diǎn)動(dòng)題）如圖，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，點(diǎn)E 是 BC 中點(diǎn)，點(diǎn) F 是邊 CD 上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AEF 的周長(zhǎng)最小時(shí)，則 DF 的長(zhǎng)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D 【解析】如圖，作點(diǎn)E 關(guān)于直線CD 的對(duì)稱點(diǎn) E，連接 AE，交 CD 于點(diǎn) F.在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，BECECE4.ABBC，CDBC，CFAB，CEFBEA.CE/BE=CF/AB4/(8+4)=CF/6解得 CF2.DFCDCF624.熱點(diǎn)二：線動(dòng) 【例題2】（線動(dòng)題）如圖 ，量角器的直徑與直角三角板 ABC 的斜邊 AB 重合，其中量角器 0 刻度線的端點(diǎn) N 與點(diǎn) A 重合，射線 CP 從 CA 處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?3°的速度旋轉(zhuǎn)，CP 與量角器的半圓弧交于點(diǎn) E，第 24 秒，點(diǎn) E 在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是_【答案】144°【解析】連接 OE，ACB90°，A，B，C 在以點(diǎn) O 為圓心，AB 為直徑的圓上點(diǎn) E，A，B，C 共圓ACE3°×2472°，AOE2ACE144°.點(diǎn) E 在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是 144°.【例題3】（面動(dòng)題）如圖 Z10-4，將一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 和一個(gè)長(zhǎng)為 2，寬為 1 的長(zhǎng)方形 CEFD 拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形 ABEF.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CEFD，旋轉(zhuǎn)角為.(1)當(dāng)點(diǎn) D恰好落在 EF 邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的值；(2)如圖 Z10-5，G 為 BC 中點(diǎn)，且 0°90°，求證：GDED；(3)小長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中， DCD與CBD能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】見(jiàn)解析。【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)(1)長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CEFD，CDCD2.在 RtCED中，CD2，CE1，CDE30°.CDEF，30°.（2）證明：G 為 BC 中點(diǎn)，CG1.CGCE.長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CEFD，DCEDCE90°，CECECG.GCDECD90°.（3）能理由如下：四邊形 ABCD 為正方形，CBCD.CDCD，BCD 與 DCD為腰相等的兩個(gè)等腰三角形當(dāng)BCDDCD時(shí)，BCDDCD.當(dāng)BCD與DCD為鈍角三角形時(shí)，當(dāng)BCD與DCD為銳角三角形時(shí)，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，DCD與CBD全等 專題典型訓(xùn)練題 一.選擇題1.（2019四川省達(dá)州市）如圖，邊長(zhǎng)都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置，AB與EF在一條直線上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合現(xiàn)將EFG沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與B重合時(shí)停止在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形ABCD和EFG重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象大致是（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以寫出各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象符合題意，本題得以解決當(dāng)0t2時(shí)，S，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，有最小值（0，0），開口向上，當(dāng)2t4時(shí)，S，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，開口向下，由上可得，選項(xiàng)C符合題意。2（2019山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB4，AD2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D【解析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BPP1P2時(shí)，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1P1P2，故BP的最小值為BP1的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DPFP由中位線定理可知：P1PCE且P1PCF點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，當(dāng)BPP1P2時(shí)，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E為AB的中點(diǎn)，CBE、ADE、BCP1為等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45°，DEC90°DP2P190°DP1P245°P2P1B90°，即BP1P1P2，BP的最小值為BP1的長(zhǎng)在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是23（2019山東濰坊）如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC3，動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D設(shè)運(yùn)動(dòng)的路程為x，ADP的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）ABCD【答案】D【解析】由題意當(dāng)0x3時(shí)，y3，當(dāng)3x5時(shí)，y×3×（5x）x+由此即可判斷由題意當(dāng)0x3時(shí)，y3，當(dāng)3x5時(shí)，y×3×（5x）x+4.（2019湖北武漢）如圖，AB是O的直徑，M、N是（異于A.B）上兩點(diǎn)，C是上一動(dòng)點(diǎn)，ACB的角平分線交O于點(diǎn)D，BAC的平分線交CD于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C.E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（）ABCD【答案】A【解析】本題考查弧長(zhǎng)公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題如圖，連接EB設(shè)OAr易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是，由題意MON2GDF，設(shè)GDF，則MON2，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可解決問(wèn)題AB是直徑，ACB90°，E是ACB的內(nèi)心，AEB135°，ACDBCD，ADDBr，ADB90°，易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是，MON2GDF，設(shè)GDF，則MON25.（2019湖南衡陽(yáng)）如圖，在直角三角形ABC中，C90°，ACBC，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形CDEF與ABC的重疊部分面積為S則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A B C D 【答案】C【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考?？碱}型根據(jù)已知條件得到ABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCD是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)移動(dòng)的距離a時(shí)，如圖1，S正方形的面積EEH的面積a2t2；當(dāng)移動(dòng)的距離a時(shí)，如圖2，SSACH（2at）2t22at+2a2，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)論；在直角三角形ABC中，C90°，ACBC，ABC是等腰直角三角形，EFBC，EDAC，四邊形EFCD是矩形，E是AB的中點(diǎn)，EFAC，DEBC，EFED，四邊形EFCD是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，如圖1當(dāng)移動(dòng)的距離a時(shí)，S正方形的面積EEH的面積a2t2；當(dāng)移動(dòng)的距離a時(shí)，如圖2，SSACH（2at）2t22at+2a2，S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為C選項(xiàng)。6.（2019浙江衢州）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EADC移動(dòng)至終點(diǎn)C，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，CPE的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的是（  ） A      B      C     D【答案】 C 【解析】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象。結(jié)合題意分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，根據(jù)三角形面積公式即可得出每段的y與x的函數(shù)表達(dá)式. 當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)， 正方形邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，AE=2，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，PE=x，y=SCPE= ·PE·BC= ×x×4=2x，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，AE=2，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，AP=x-2，DP=6-x，y=SCPE=S正方形ABCD-SBEC-SAPE-SPDC ， =4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x），=16-4-x+2-12+2x，=x+2，當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，AE=2，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為x，PD=x-6，PC=10-x，y=SCPE= ·PC·BC= ×（10-x）×4=-2x+20，綜上所述：y與x的函數(shù)表達(dá)式為：y= .7.（2019甘肅武威）如圖，在矩形ABCD中，ABAD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿ABBCCD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，AOP的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，則AD邊的長(zhǎng)為（）A3B4C5D6【答案】B【解析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變化過(guò)程，找到分界點(diǎn)極值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AOP面積逐漸增大，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，AOP面積最大為3AB3，即ABBC12當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AOP面積逐漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，AOP面積為0，此時(shí)結(jié)合圖象可知P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為7，AB+BC7則BC7AB，代入ABBC12，得AB27AB+120，解得AB4或3，因?yàn)锳BAD，即ABBC，所以AB3，BC48.(2019甘肅省天水市)已知點(diǎn)P為某個(gè)封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，線段PM的長(zhǎng)度為y，表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】y與x的函數(shù)圖象分三個(gè)部分，而B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中的封閉圖形都有4條線段，其圖象要分四個(gè)部分，所以B.C選項(xiàng)不正確；A選項(xiàng)中的封閉圖形為圓，開始y隨x的增大而增大，然后y隨x的減小而減小，所以A選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)為三角形，M點(diǎn)在三邊上運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)三段圖象，且M點(diǎn)在P點(diǎn)的對(duì)邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM的長(zhǎng)有最小值二、填空題9.（2019浙江嘉興）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC12cm當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 cm；連接BD，則ABD的面積最大值為 cm2【答案】（2412），（24+3612）【解析】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵AC12cm，A30°，DEF45°BC4cm，AB8cm，EDDF6cm如圖當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得E'D'F'，過(guò)點(diǎn)D'作D'NAC于點(diǎn)N，作D'MBC于點(diǎn)MMD'N90°，且E'D'F'90°E'D'NF'D'M，且D'NE'D'MF'90°，E'D'D'F'D'NE'D'MF'（AAS）D'ND'M，且D'NAC，D'MCMCD'平分ACM即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，當(dāng)E'D'AC時(shí)，DD'值最大，最大值EDCD（126）cm當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)2×（126）（2412）cm如圖，連接BD'，AD'，SAD'BSABC+SAD'CSBD'CSAD'BBC×AC+×AC×D'N×BC×D'M24+（124）×D'N當(dāng)E'D'AC時(shí)，SAD'B有最大值，SAD'B最大值24+（124）×6（24+3612）cm210.（2019四川省廣安市）如圖，在四邊形中，,直線.當(dāng)直線沿射線方向，從點(diǎn)開始向右平移時(shí)，直線與四邊形的邊分別相交于點(diǎn)、.設(shè)直線向右平移的距離為，線段的長(zhǎng)為，且與的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則四邊形的周長(zhǎng)是 . 【答案】【解析】由題意和圖像易知BC=5，AD=7-4=3當(dāng)BE=4時(shí)（即F與A重合），EF=2，又因?yàn)榍褺=30°，所以AB=，因?yàn)楫?dāng)F與A重合時(shí)，把CD平移到E點(diǎn)位置可得三角形AED為正三角形，所以CD=2，故答案時(shí).11（2019山東濰坊）如圖，直線yx+1與拋物線yx24x+5交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，SPAB 【答案】【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答根據(jù)軸對(duì)稱，可以求得使得PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)P到直線AB的距離和AB的長(zhǎng)度，即可求得PAB的面積，本題得以解決，解得，或，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），AB3，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB與y軸的交于P，則此時(shí)PAB的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ykx+b，得，直線AB的函數(shù)解析式為yx+，當(dāng)x0時(shí)，y，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），將x0代入直線yx+1中，得y1，直線yx+1與y軸的夾角是45°，點(diǎn)P到直線AB的距離是：（1）×sin45°，PAB的面積是：，三、解答題12.（2019湖北省仙桃市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，PQ2y（1）直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍： ；（2）當(dāng)PQ3時(shí)，求t的值；（3）連接OB交PQ于點(diǎn)D，若雙曲線y（k0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，問(wèn)k的值是否變化？若不變化，請(qǐng)求出k的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】見(jiàn)解析。【解析】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用勾股定理，找出y關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）通過(guò)解一元二次方程，求出當(dāng)PQ3時(shí)t的值；（3）利用相似三角形的性質(zhì)及解直角三角形，找出點(diǎn)D的坐標(biāo)（1）過(guò)點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E，如圖1所示當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0t4）時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（82t，6），PE6，EQ|82t3t|85t|，PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100，y25t280t+100（0t4）故答案為：y25t280t+100（0t4）（2）當(dāng)PQ3時(shí)，25t280t+100（3）2，整理，得：5t216t+110，解得：t11，t2（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y（k0）的k值不變連接OB，交PQ于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DFOA于點(diǎn)F，如圖2所示OC6，BC8，OB10BQOP，BDQODP，OD6CBOA，DOFOBC在RtOBC中，sinOBC，cosOBC，OFODcosOBC6×，DFODsinOBC6×，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y（k0）的k值為×13（2019山東青島）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ACB90°，AB10cm，BC8cm，OD垂直平分A C點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)P作PEAB，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QFAC，分別交AD，OD于點(diǎn)F，G連接OP，EG設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E在BAC的平分線上？（2）設(shè)四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）連接OE，OQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥勘绢}屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型（1）在RtABC中，ACB90°，AB10cm，BC8cm，AC6（cm），OD垂直平分線段AC，OCOA3（cm），DOC90°，CDAB，BACDCO，DOCACB，DOCBCA，CD5（cm），OD4（cm），PBt，PEAB，易知：PEt，BEt，當(dāng)點(diǎn)E在BAC的平分線上時(shí)，EPAB，ECAC，PEEC，t8t，t4當(dāng)t為4秒時(shí)，點(diǎn)E在BAC的平分線上（2）如圖，連接OE，PCS四邊形OPEGSOEG+SOPESOEG+（SOPC+SPCESOEC）（4t）3+3（8t）+（8t）t3（8t）t2+t+16（0t5）（3）存在S（t）2+（0t5），t時(shí)，四邊形OPEG的面積最大，最大值為（4）存在如圖，連接OQOEOQ，EOC+QOC90°，QOC+QOG90°，EOCQOG，tanEOCtanQOG，整理得：5t266t+1600，解得t或10（舍棄）當(dāng)t秒時(shí)，OEOQ14.（(2019山西）綜合與探究如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC.（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） BCD的面積等于AOC的面積的時(shí)，求的值；（3） 在（2）的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析。【解析】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）作直線DE軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CFDE，垂足為F.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），OA=2由，得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），OC=6SOAC=，SBCD=SAOC=設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為.點(diǎn)G的坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），OB=4SBCD=SCDG+SBDG=，解得（舍），的值為3（3）如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖以BD為邊進(jìn)行構(gòu)圖，有3種情況，采用構(gòu)造全等發(fā)進(jìn)行求解.D點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的縱坐標(biāo)為，解得（舍）可得的縱坐標(biāo)為時(shí)，以BD為對(duì)角線進(jìn)行構(gòu)圖，有1種情況，采用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.15.（2019湖南岳陽(yáng)）操作體驗(yàn)：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊AD.BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與E.F重合），過(guò)點(diǎn)P分別作直線BE.BF的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和N，以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN（1）如圖1，求證：BEBF；（2）特例感知：如圖2，若DE5，CF2，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平行四邊形PMQN的周長(zhǎng)；（3）類比探究：若DEa，CFb如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試用含A.b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接用含A.b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系（不要求寫證明過(guò)程）【答案】見(jiàn)解析。【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考?jí)狠S題（1）證明BEFBFE即可解決問(wèn)題（也可以利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ADBC，DEFEFB，由翻折可知：DEFBEF，BEFEFB，BEBF（2）如圖2中，連接BP，作EHBC于H，則四邊形ABHE是矩形利用面積法證明PM+PNEH，利用勾股定理求出AB即可解決問(wèn)題如圖2中，連接BP，作EHBC于H，則四邊形ABHE是矩形，EHABDEEBBF5，CF2，ADBC7，AE2，在RtABE中，A90°，BE5，AE2，AB，SBEFSPBE+SPBF，PMBE，PNBF，BFEHBEPM+BFPN，BEBF，PM+PNEH，四邊形PMQN是平行四邊形，四邊形PMQN的周長(zhǎng)2（PM+PN）2（3）如圖3中，連接BP，作EHBC于H由SEBPSBFPSEBF，可得BEPMBFPNBFEH，由BEBF，推出PMPNEH，由此即可解決問(wèn)題如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QMQNPNPM證明：如圖3中，連接BP，作EHBC于HEDEBBFa，CFb，ADBCa+b，AEADDEb，EHAB，SEBPSBFPSEBF，BEPMBFPNBFEH，BEBF，PMPNEH，四邊形PMQN是平行四邊形，QNQM（PMPN）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QMQNPNPM16.（2019湖南邵陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上方作x軸的平行線y1m，交二次函數(shù)圖象于A.B兩點(diǎn)，過(guò)A.B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D.點(diǎn)C當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求m的值；（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t0）過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，問(wèn)：以A.E.F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥勘绢}考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）分0t4，4t7，7t8三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元二次方程（1）將（0，0），（8，0）代入yx2+bx+c，得：，解得：，該二次函數(shù)的解析式為yx2+x（2）當(dāng)ym時(shí)，x2+xm，解得：x14，x24+，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4+，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4+，0）矩形ABCD為正方形，4+（4）m，解得：m116（舍去），m24當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4（3）以A.E.F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線AC的解析式為ykx+a（k0），將A（2，4），C（6，0）代入ykx+a，得：，解得：，直線AC的解析式為yx+6當(dāng)x2+t時(shí)，yx2+xt2+t+4，yx+6t+4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+t，t2+t+4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2+t，t+4）以A.E.F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且AQEF，AQEF，分三種情況考慮：當(dāng)0t4時(shí)，如圖1所示，AQt，EFt2+t+4（t+4）t2+t，tt2+t，解得：t10（舍去），t24；當(dāng)4t7時(shí)，如圖2所示，AQt4，EFt2+t+4（t+4）t2+t，t4t2+t，解得：t32（舍去），t46；當(dāng)7t8時(shí)，AQt4，EFt+4（t2+t+4）t2t，t4t2t，解得：t55（舍去），t65+（舍去）綜上所述：當(dāng)以A.E.F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或626