2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是：已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下：從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以，小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。上式稱為和倍公式。由此得到大數(shù)=和-小數(shù)，或 大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則小數(shù)=265÷(41)=53，大數(shù)=265-53=212或53×4=212。例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？分析：把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。解：乙倉庫存糧 264÷(101)24(噸)，甲倉庫存糧264-24=240(噸)，或24×10240(噸)。答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度?，F(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米，故1時(shí)共行 360÷2180(千米)，這就是兩輛車的速度和。解：乙車的速度為(360÷2)÷(21)= 60(千米/時(shí))，甲車的速度為60×2=20(千米/時(shí))，或180-60=120(千米/時(shí))。答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰，“和”是誰。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？分析：容易求得“二數(shù)之和”為 4575=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(4575)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 314(倍)。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。解：甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為(4575)÷(31) 30(人)，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-3015(人)。答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？仿照例3的分析可得如下解法。解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(61)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下(5324)÷(61)11(本)。故妹妹給哥哥書24-1113(本)。答：妹妹給哥哥書13本。例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀薄⒂小氨稊?shù)”。但這里的“和”不是 160，而是1602010150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))(160-2010)÷(51)25(個(gè))，故小灰兔原有蘑菇25-1015(個(gè))，大白兔原有蘑菇160-15145(個(gè))。答：原來大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。附送：2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍問題專題簡析：已知兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少，像這樣的應(yīng)用題，通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應(yīng)用題，最好的方法就是根據(jù)題意，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確列式解答。解答和倍應(yīng)用題，關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對應(yīng)的倍數(shù)和，從而先求出1倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示：兩數(shù)和÷（倍數(shù)1）=小數(shù)（1倍數(shù)）小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（幾倍數(shù)）兩數(shù)和小數(shù)=大數(shù)例題1 學(xué)校將360本圖書分給二、三兩個(gè)年級，已知三年級所分得的本數(shù)是二年級的2倍，問二、三兩個(gè)年級各分得多少本圖書？思路導(dǎo)航：將二年級所得圖書的本數(shù)看作1倍數(shù)，則三年級所得本數(shù)是這樣的2倍。如圖所示：由圖可知，二、三年級所得圖書本數(shù)的和360本相當(dāng)于二年級的（12）倍，則二年級所得圖書本數(shù)的360÷（12）=120本，三年級為120×2=240本。練 習(xí) 一1小紅和小明共有壓歲錢800元，小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元？2學(xué)校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得本數(shù)比二年級的2倍還多60本。二、三年級各得圖書多少本？3甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？例題2 小寧有圓珠筆芯30枝，小青有圓珠筆芯15枝，問小青給小寧多少枝后，小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍？思路導(dǎo)航：我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數(shù)看作1倍數(shù)，那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數(shù)和相當(dāng)于變化后小青枝數(shù)的9倍，所以變化后小青的枝數(shù)為（3015）÷（18）=5枝，再用155=10枝，則表示小青給小寧的枝數(shù)。練 習(xí) 二1紅紅有郵票80張，佳佳有郵票60張，要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍，那么佳佳必須給紅紅多少張郵票？2甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？3甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本數(shù)是乙書架的2倍？例題3 被除數(shù)與除數(shù)的和為320，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？思路導(dǎo)航：由商是7可知，被除數(shù)是除數(shù)的7倍，把除數(shù)看作1份數(shù)，被除數(shù)就有這樣的7份，一共71=8份。除數(shù)：320÷8=40被除數(shù)：40×7=280練 習(xí) 三1被除數(shù)和除數(shù)和為120，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？2被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79，商是4，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？3兩個(gè)整數(shù)相除商是21，余數(shù)為1，已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一共是441。被除數(shù)、除數(shù)各是多少？例題4 兩數(shù)相除商為17余6，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和除數(shù)分別為多少？思路導(dǎo)航：被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479，減去商17和余數(shù)6，得到被除數(shù)與除數(shù)的和為479176=456；又因?yàn)楸怀龜?shù)比除數(shù)的17倍多6，所以4566=450就相當(dāng)于除數(shù)的（171）倍，因此除數(shù)為450÷（171）=25，被除數(shù)為25×176=431。練 習(xí) 四1兩個(gè)整數(shù)相除商14余2，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243，被除數(shù)比除數(shù)大多少？2在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于240，而減數(shù)是差的5倍。差是多少？3學(xué)校買來83本書，其中科技書是故事書的2倍，故事書比文藝書多5本，這三種書各多少本？例題5 兩個(gè)數(shù)之和是792，其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少？思路導(dǎo)航：把一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同，說明這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的10倍。又已知兩個(gè)數(shù)之和是792，那我們就可以求出這兩個(gè)數(shù)分別是多少了。小數(shù)：792÷（101）=72大數(shù)：72×10=720練 習(xí) 五1兩個(gè)數(shù)之和是253，其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字是0，如果把0去掉，就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少？2師徒兩人加工一批零件共693個(gè)，師傅加工零件個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是0，如果去掉這個(gè)0，加工的個(gè)數(shù)就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個(gè)？3甲、乙兩數(shù)的和是209，甲數(shù)縮小10倍就和乙數(shù)同樣大，甲、乙兩數(shù)分別是多少？