專題19 平行四邊形 專題知識回顧 1平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。2平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分。 3平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； （5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 4平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah專題典型題考法及解析 【例題1】（2019廣西池河）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在DE延長線上，添加一個條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件是（）ABFBBBCFCACCFDADCF【答案】B【解析】利用三角形中位線定理得到DEAC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進行選擇在ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，DE是ABC的中位線，DEACA.根據(jù)BF不能判定ACDF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤B.根據(jù)BBCF可以判定CFAB，即CFAD，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項正確C.根據(jù)ACCF不能判定ACDF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤D.根據(jù)ADCF，F(xiàn)DAC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤【例題2】（2018湖北黃石）如圖，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由（2）求證：BE=CD，BECD【答案】看解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運用各種定理是解答此題的關(guān)鍵（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC，因為G為BD的中點，可得BG=BC，由CGB=45°，ADB=45得ADCG，由CBD+ACB=180°，得ACBD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；（2）利用全等三角形的判定證得DACBAE，由全等三角形的性質(zhì)得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90°，易得CFB=90°，得出結(jié)論ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，AB=BC，ABD和ACE均為等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G為BD的中點，BG=BD=BC，CBG為等腰直角三角形，CGB=45°，ADB=45°，ADCG，ABD=45°，ABC=45°CBD=90°，ACB=90°，CBD+ACB=180°，ACBD，四邊形ACGD為平行四邊形；（2）證明：EAB=EAC+CAB=90°+45°=135°，CAD=DAB+BAC=90°+45°=135°，EAB=CAD，在DAC與BAE中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90°，EA=AC=BC，四邊形ABCE為平行四邊形，CE=AB=AD，在BCE與CAD中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90°，CBE+BCD=90°，CFB=90°，即BECD 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1. （ 福建福州）平面直角坐標(biāo)系中，已知ABCD的三個頂點坐標(biāo)分別是A（m，n），B ( 2，l )，C（m，n），則點D的坐標(biāo)是（ ）A（2 ，l ) B（2，l ) C（1，2 ) D （1，2 )【答案】A【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出D和B關(guān)于原點對稱由點的坐標(biāo)特征得出點A和點C關(guān)于原點對稱，由平行四邊形的性質(zhì)得出D和B關(guān)于原點對稱，即可得出點D的坐標(biāo)A（m，n），C（m，n），點A和點C關(guān)于原點對稱，四邊形ABCD是平行四邊形，D和B關(guān)于原點對稱，B（2，1），點D的坐標(biāo)是（2，1），故選擇A .2.（ 河北?。╆P(guān)于ABCD的敘述，正確的是（ ）A若ABBC，則ABCD是菱形 B若ACBD，則ABCD是正方形C若AC=BD，則ABCD是矩形 D若AB=AD，則ABCD是正方形【答案】C【解析】根據(jù)菱形、矩形和正方形的判定方法對各選項進行判斷.當(dāng)ABBC時，ABC90°，ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故選項A不正確；ACBD，ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形），故選項B不正確；AC=BD，ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），故選項C正確；AB=AD，ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），故選項D不正確.3.（湖南湘西）下列說法錯誤的是（ ）A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】此題主要考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判斷定理可作出判斷選項A、B、C都是平行四邊形的判定定理，符合選項D條件的除了平行四邊形還有等腰梯形，故選擇D .4（2019山東臨沂）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點，BMDN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND【答案】A 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知：OAOC，OBOD，再證明OMON即可證明四邊形AMCN是平行四邊形證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD對角線BD上的兩點M、N滿足BMDN，OBBMODDN，即OMON，四邊形AMCN是平行四邊形，OMAC，MNAC，四邊形AMCN是矩形5.（山東淄博）如圖，ABC的面積為16，點D是BC邊上一點，且BD=BC，點G是AB上一點，點H在ABC內(nèi)部，且四邊形BDHG是平行四邊形則圖中陰影的面積是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】本題考查三角形的面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，及整體思想，解題關(guān)鍵是能整體求解. 這里兩陰影部分以公共邊GH為底，則高的和=ABC的BC邊的高.設(shè)ABC底邊BC上的高為h，AGH底邊GH上的高為h1，CGH底邊GH上的高為h2，則有h=h1+h2SABC=BCh=16，S陰影=SAGH+SCGH=GHh1+ GHh2=GH（h1+h2）=GHh四邊形BDHG是平行四邊形，且BD=BC，GH=BD=BC.S陰影= ×（BCh）= SABC=4故選擇B二、填空題6（2019廣西百色）四邊形具有不穩(wěn)定性如圖，矩形ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A'B'C'D'，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時，則A' 【答案】30°【解析】根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式可知，平行四邊形A'B'C'D'的底邊AD邊上的高等于AD的一半，據(jù)此可得A'為30°，平行四邊形A'B'C'D'的底邊AD邊上的高等于AD的一半，A'30°6（2019湖南婁底）如圖，平行四邊形ABCD 的對角線 AC、BD 交于點 O，點 E 是 AD 的中點，BCD 的周長為 18，則DEO 的周長是 【答案】9【解析】E 為 AD 中點，四邊形 ABCD 是平行四邊形，DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，OE= CD，BCD 的周長為 18，BD+DC+B=18，DEO 的周長是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=97.（ 2019河南?。┤鐖D，在ABCD中，BEAB交對角線AC于點E，若1=20°，則2的度數(shù)是_.【答案】110°【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和和三角形外角的性質(zhì)求角的大小，解題的關(guān)鍵是熟練運用平行四邊形性質(zhì)或三角形外角的有關(guān)知識思路：首先利用平行四邊形的性質(zhì)求出BAE的度數(shù)，再由2是ABE的外角求出2的大小.四邊形ABCD是平行四邊形ABCD，BAE=1=20°BEABABE=90°2是ABE的外角2=ABE+BAE=90°+20°=110 ，故答案為110°. 8.（ 2019湖北省十堰市）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm,ACBC,則DBC比ABC的周長長_cm.【答案】4【解析】本題屬于平面幾何的計算題，主要涉及到平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等；解題的關(guān)鍵是DBC比ABC的周長長等于BD-AC;解題的思路是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，分別表示出DBC的周長與ABC的周長，找出BD-AC的值即可.如圖，設(shè)AC與BD交于點F,因為AB=2cm,AD=4cm,ACBC，所以AC=;因為平行四邊形ABCD中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=, BD=10;因為DBC的周長=BD+BC+CD=10+AB,ABC的周長=AB+BC+6,所以DBC比ABC的周長長4.F9.(2019浙江金華)如圖,已知ABCD，BCDE.若A20°，C120°，則AED的度數(shù)是 . 【答案】80°【解析】延長DE交AB于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的關(guān)系可以確定AED的度數(shù)延長DE交AB于F，因為ABCD，BCDE，所以四邊形BCDF為平行四邊形，因為C120°，所以BFD120°，所以AFD60°，又A20°，所以AED60°+20°80°，故答案為80° .10.（江蘇省無錫市）如圖，已知OABC的頂點A、C分別在直線x1和x4上，O是坐標(biāo)原點，則對角線OB長的最小值為_【答案】5【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道點B到直線x4的距離等于點O到直線x1的距離本題的思路是由平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)可知點O與點A，點C與點B之間的水平距離相等，可求得點B的橫坐標(biāo)，也就是說點B在一條垂直于x軸的直線上運動，我們只需尋找出點B在什么位置時，OB最短即可頂點A、C分別在直線x1和x4上，O是坐標(biāo)原點，點B在x5上，當(dāng)點B在x軸上時，即OB的最小值為5，故答案為5.11. （2019湖北武漢）如圖，在ABCD中，E.F是對角線AC上兩點，AEEFCD，ADF90°，BCD63°，則ADE的大小為 【答案】21°【解析】設(shè)ADEx，AEEF，ADF90°，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63°x，2x63°x，解得：x21°，即ADE21°。三、解答題12（2019徐州）如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿一條直線折疊，使點A與點C重合，點D落在點G處，折痕為EF求證：（1）ECBFCG；（2）EBCFGC【答案】見解析?！窘馕觥恳罁?jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到ABCD，由折疊可得，AECG，即可得到ECBFCG；依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得出DB，ADBC，由折疊可得，DG，ADCG，即可得到BG，BCCG，進而得出EBCFGC證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，由折疊可得，AECG，BCDECG，BCDECFECGECF，ECBFCG；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，DB，ADBC，由折疊可得，DG，ADCG，BG，BCCG，又ECBFCG，EBCFGC（ASA）13（2019湖南郴州）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF求證：四邊形ACDF是平行四邊形【答案】見解析【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，F(xiàn)AECDE，E是AD的中點，AEDE，又FEACED，F(xiàn)AECDE（ASA），CDFA，又CDAF，四邊形ACDF是平行四邊形14. (湖南省永州市)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E (1)求證：BE=CD (2)連接BF，若BFAE，BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積 【答案】見解析?！窘馕觥?1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD，ADBE，DAE=AEB又AE平分BAD，DAE=BAE BAE=AEB BE=AB又AB=CD，BE=CD（2）BE=AB，BFAE，AF=EF，ADBE，D=DCE，DAF=FEC， ADFECF(AAS)S平行四邊形ABCD=SABEBE=AB，BEA=60°，ABE為等邊三角形SABE=AE·BF=×4×4sin60°=×4×4×=S平行四邊形ABCD=15(2019安徽)如圖，點E在ABCD內(nèi)部，AFBE，DFCE（1）求證：BCEADF；（2）設(shè)ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)ASA證明：BCEADF；根據(jù)點E在ABCD內(nèi)部，可知：SBEC+SAEDSABCD，可得結(jié)論（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，ABC+BAD180°，AFBE，EAB+BAF180°，CBEDAF，同理得BCEADF，在BCE和ADF中，BCEADF（ASA）；（2）點E在ABCD內(nèi)部，SBEC+SAEDSABCD，由（1）知：BCEADF，SBCESADF，S四邊形AEDFSADF+SAEDSBEC+SAEDSABCD，ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，216（2019湖南張家界）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使BEAB，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G（1）求證：BFCF；（2）若BC6，DG4，求FG的長【答案】（1）見解析；（2）2【解析】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADCD，ADBC，EBFEAD，BFADBC，BFCF；（2）解：四邊形ABCD是平行四邊形，ADCD，F(xiàn)GCDGA，即，解得，F(xiàn)G217. （2019南京）如圖，D是ABC的邊AB的中點，DEBC，CEAB，AC與DE相交于點F求證：ADFCEF【答案】見解析。【解析】依據(jù)四邊形DBCE是平行四邊形，即可得出BDCE，依據(jù)CEAD，即可得出AECF，ADFE，即可判定ADFCEF證明：DEBC，CEAB，四邊形DBCE是平行四邊形，BDCE，D是AB的中點，ADBD，ADEC，CEAD，AECF，ADFE，ADFCEF（ASA）18（2018海南）如圖，將ABCD的AD邊延長至點E，使DE=AD，連接CE，F(xiàn)是BC邊的中點，連接FD（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB=3，AD=4，A=60°，求CE的長【答案】看解析。【解析】考點是平行四邊形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，ADBC，進而利用已知得出DE=FC，DEFC，進而得出答案；首先過點D作DNBC于點N，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出DF的長，進而得出答案（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，ADBC，DE=AD，F(xiàn)是BC邊的中點，DE=FC，DEFC，四邊形CEDF是平行四邊形；（2）解：過點D作DNBC于點N，四邊形ABCD是平行四邊形，A=60°，BCD=A=60°，AB=3，AD=4，F(xiàn)C=2，NC=DC=，DN=，F(xiàn)N=，則DF=EC=19（2019遼寧本溪）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ADCD，B45°，延長CD到點E，使DEDA，連接AE（1）求證：AEBC；（2）若AB3，CD1，求四邊形ABCE的面積【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：（1）ABCD，B45°C+B180°C135°DEDA，ADCDE45°E+C180°AEBC，且ABCD四邊形ABCE是平行四邊形AEBC（2）四邊形ABCE是平行四邊形ABCE3ADDEABCD2四邊形ABCE的面積3×2620.（江蘇省揚州市）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積【答案】見解析?！窘馕觥浚?）證明：折疊，AM=AB，CN=CD，F(xiàn)NC=D=90°，AME=B=90°，ANF=90°，CME=90°，四邊形ABCD為矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，F(xiàn)AN=EMC，AN=CM，ANF=EMC，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，設(shè)CE=x，則EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四邊形AECF的面積為：ECAB=5×6=3021.（ 2019四川省涼山州）如圖，的對角線、交于點， 過點且與、分別交于點、。試猜想線段、的關(guān)系，并說明理由。ABCEDFO【答案】見解析。【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA與OC相等，ADBC，進而有AFE與CEF相等，再結(jié)合對頂角得出AOF與COE全等，得到OE與OF相等，再證明AOE與COF全等，從而得到AE與CF的關(guān)系.AE=CF.四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC，ADBC，AFE=CEF；在AOF和COE中 ，AOFCOE（AAS），OF=OE；在AOE和COF中 ，AOECOF（SAS），AE=CF.18