課時訓(xùn)練(二十六) 正方形及中點四邊形|夯實基礎(chǔ)|1.根據(jù)下列條件,能判定一個四邊形是正方形的是()A.對角線互相垂直且平分B.對角相等C.對角線互相垂直、平分且相等D.對角線相等2.2018·濱州 下列命題,其中是真命題的為()A.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.對角線相等的四邊形是矩形D.一組鄰邊相等的矩形是正方形3.2016·河北 關(guān)于ABCD的敘述,正確的是()A.若ABBC,則ABCD是菱形B.若ACBD,則ABCD是正方形C.若AC=BD,則ABCD是矩形D.若AB=AD,則ABCD是正方形4.2017·廣安 下列說法:四邊相等的四邊形一定是菱形;順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形;對角線相等的四邊形一定是矩形;經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分.其中正確的個數(shù)是()A.4B.3C.2D.15.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點,得到的圖形是一個矩形,則四邊形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.對角線相等的四邊形D.對角線互相垂直的四邊形6.如圖26-5,正方形ABCD的周長為28 cm,點N在對角線BD上,則矩形MNGC的周長是()圖26-5A.24 cmB.14 cmC.18 cmD.7 cm7.如圖26-6,直線l過正方形ABCD的頂點B,點A,C到直線l的距離分別為1和3,則正方形ABCD的邊長是()圖26-6A.22B.3C.10D.48.2018·天津 如圖26-7,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是()圖26-7A.ABB.DEC.BDD.AF9.2017·棗莊 如圖26-8,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為()圖26-8A.2B.3C.2D.110.2017·泰安 如圖26-9,在正方形ABCD中,M為BC上一點,MEAM,ME交AD的延長線于點E.若AB=12,BM=5,則DE的長為()圖26-9A.18B.1095C.965D.25311.2018·青島 如圖26-10,已知正方形ABCD的邊長為5,點E,F分別在AD,DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點G,H為BF的中點,連接GH,則GH的長為. 圖26-1012.2018·德陽 如圖26-11,將邊長為3的正方形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A'BC'D',那么圖中陰影部分的面積為()圖26-11A.3B.3C.3-3D.3-3213.正方形的對角線長為2,則正方形的周長為,面積為. 14.2017·蘭州 在平行四邊形ABCD中,對角線AC與DB相交于點O.要使四邊形ABCD是正方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正確的是(填序號). 15.2015·無錫 如圖26-12,已知矩形ABCD的對角線長為8 cm,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,則四邊形EFGH的周長等于 cm. 圖26-1216.2015·廣安 如圖26-13,已知E,F,G,H分別為菱形ABCD四邊的中點,AB=6 cm,ABC=60°,則四邊形EFGH的面積為 cm2. 圖26-1317.2017·宿遷 如圖26-14,正方形ABCD的邊長為3,點E在邊AB上,且BE=1.若點P在對角線BD上移動,則PA+PE的最小值是. 圖26-1418.2017·包頭樣題二 如圖26-15,邊長為6的大正方形中有兩個小正方形,小正方形的頂點均在大正方形的邊或?qū)蔷€上.若兩個小正方形的面積分別為S1,S2,則S1與S2的和為. 圖26-1519.2017·常德 如圖26-16,正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形ABCD的邊上,若設(shè)AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(不必寫出自變量的取值范圍). 圖26-1620.2018·白銀 如圖26-17,已知矩形ABCD中,E是AD邊上的一個動點,F,G,H分別是BC,BE,CE的中點.(1)求證:BGFFHC;(2)設(shè)AD=a,當四邊形EGFH是正方形時,求矩形ABCD的面積.圖26-1721.2018·聊城 如圖26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一點,連接AE,過點B作BHAE,垂足為H,延長BH交CD于點F,連接AF.(1)求證:AE=BF;(2)若正方形ABCD的邊長是5,BE=2,求AF的長.圖26-1822.2018·濰坊 如圖26-19,M是正方形ABCD的邊CD上一點,連接AM,作DEAM于點E,BFAM于點F,連接BE.(1)求證:AE=BF;(2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求EBF的正弦值.圖26-1923.2017·眉山 如圖26-20,E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點,連接DE,過頂點B作BFDE,垂足為F,BF交AC于點H,交DC于點G.(1)求證:BG=DE;(2)若G為CD的中點,求HGGF的值.圖26-20|拓展提升|24.2018·包頭樣題一 如圖26-21,已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形,點E在線段DC上,點A,D,G在同一條直線上,且AD=3,DE=1,連接CG,AE,并延長AE交CG于點H,則EH的長為()圖26-21A.105B.2105C.355D.5525.2018·臺州 如圖26-22,在正方形ABCD中,AB=3,點E,F分別在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為23,則BCG的周長為. 圖26-2226.2017·青山區(qū)一模 如圖26-23,在正方形ABCD中,AC為對角線,E為AB上一點,過點E作EFAD,與AC,DC分別交于點G,F,H為CG的中點,連接DE,EH,DH,FH.下列結(jié)論:EG=DF;AEH+ADH=180°EHFDHC;若AEAB=23,則3SEDH=13SDHC,其中正確的結(jié)論是(填序號). 圖26-2327.2018·青山區(qū)二模 如圖26-24,在正方形ABCD中,BPC是等邊三角形,BP,CP的延長線分別交AD于點E,F,連接BD,DP,BD與CF相交于點H,給出下列結(jié)論:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP2=PH·PC.其中正確的是(填序號). 圖26-24參考答案1.C2.D3.C4.C解析 根據(jù)菱形的判定定理,四邊相等的四邊形一定是菱形,故正確;由于矩形的對角線相等,根據(jù)三角形的中位線定理,可得順次連接矩形各邊中點所得四邊形的四條邊相等,由此可判定所得四邊形是菱形,故錯誤;對角線相等的平行四邊形是矩形,故錯誤;平行四邊形是中心對稱圖形,根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì),經(jīng)過對稱中心的任意一條直線都把它分成兩個全等形,面積當然相等,所以經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分,故正確.綜上所述,正確的說法有2個.故選C.5.D6.B7.C8.D解析 如圖,取CD的中點E',連接AE',PE'.由正方形軸對稱的性質(zhì)可知EP=E'P,AF=AE',AP+EP=AP+E'P.AP+E'PAE',AP+EP的最小值是AE'的長,即AP+EP的最小值是AF的長.故選D.9.B解析 四邊形ABCD為正方形,AB=2,M,N分別為BC,AD的中點,過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,FB=AB=2,BM=1.在RtBMF中,FM=BF2-BM2=22-12=3,故選B.10.B解析 在RtABM中,根據(jù)勾股定理得AM=AB2+BM2=122+52=13,因為四邊形ABCD為正方形,所以AD=AB=12.因為MEAM,所以AME=90°,所以AME=MBA.因為ADBC,所以EAM=AMB,所以ABMEMA,所以BMAM=AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.11.342解析 四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD=5,BAD=D=C=90°.又AE=DF,ABEDAF,DAF=ABE,ABE+BAG=DAF+BAG=90°,即BGF=90°.在RtBCF中,CF=CD-DF=3,BF=52+32=34.在RtBGF中,H為BF的中點,GH=12BF=342.12.C解析 如圖,連接AM.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知1=4=30°,2+3=60°.在RtABM和RtC'BM中,AB=C'B,RtABMRtC'BM,2=3=30°.在RtABM中,AB=3,2=30°,AM=tan30°·AB=1.SABM=SBMC'=32,S陰影=S正方形A'BC'D'-(SABM+SBMC')=3-3.13.42214.解析 有一個角是直角的平行四邊形是矩形;有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故正確;BD為平行四邊形的對角線,AB為平行四邊形的其中一條邊,所以AB=BD時,平行四邊形不可能是正方形,故錯誤;由OB=OC,得AC=BD,由OBOC得ACBD,ABCD為正方形,故正確;由AB=AD,得ABCD為菱形.又AC=BD,四邊形ABCD為正方形,故正確.15.1616.9317.10解析 連接PC.根據(jù)正方形的對稱性知PA=PC,所以當點C,P,E在同一條直線上時,PA+PE=PC+PE=CE最小,根據(jù)勾股定理求得CE=BC2+BE2=32+12=10.18.1719.y=2x2-4x+4解析 由題中條件可知,圖中的四個直角三角形是全等三角形,AE=x,則AF=2-x.在RtEAF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面積y=2x2-4x+4.20.解:(1)證明:F是BC邊的中點,BF=FC.F,G,H分別是BC,BE,CE的中點,GF,FH是BEC的中位線,GF=HC,FH=BG.在BGF和FHC中,BF=FC,BG=FH,GF=HC,BGFFHC(SSS).(2)當四邊形EGFH是正方形時,BEC=90°,GF=GE=EH=FH.GF,FH是BEC的中位線,BE=CE,BEC是等腰直角三角形.連接EF,則EFBC,EF=12BC=12AD=12a,S矩形ABCD=AD·EF=a·12a=12a2.21.解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=C=90°.BHAE,垂足為H,BAE+ABH=90°.CBF+ABH=90°,BAE=CBF.在ABE和BCF中,ABE=C=90°,AB=BC,BAE=CBF,ABEBCF(ASA),AE=BF.(2)ABEBCF,CF=BE=2.正方形的邊長為5,AD=CD=5,DF=CD-CF=5-2=3.在RtADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34.22.解:(1)證明:四邊形ABCD為正方形,AB=AD,BAD=90°,BAE+EAD=90°.BFAM,DEAM,DEA=AFB=90°,EAD+ADE=90°,BAE=ADE.ABFDAE,AE=BF.(2)設(shè)EF=x,則AE=x+2,BF=AE=x+2.ABFDAE,S四邊形ABED=SBEF+SABF+SDAE=SBEF+2SABF=24,即12x(x+2)+12×2(x+2)×2=24,解得x1=4,x2=-10(舍去),EF=4,BF=6,BE=42+62=213,sinEBF=EFBE=4213=21313.23.解析 (1)要證明BG=DE,只需證明BCGDCE,利用AAS或ASA證明即可;(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為a,先求出BG的長,從而得出CE,DE的長,分別利用ABHCGH和DFGDCE,得到HG和GF的長,從而求出HGGF的值.解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,BC=DC,BCD=90°,DCE=180°-90°=90°,BCD=DCE,CBG+BGC=90°.BFDE,CBG+E=90°,BGC=E,BCGDCE,BG=DE.(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為a.G為CD的中點,CG=GD=12a.在RtBCG中,BG=BC2+CG2=a2+a22=52a.BCGDCE,CE=CG=a2,DE=BG=52a.ABDC,ABHCGH,BHGH=ABCG=2,HGBG=13,HG=13BG=13×52a=56a.又DFG=DCE=90°,FDG=CDE,DFGDCE,GFEC=DGDE,即GF12a=12a52a,解得GF=510a,HGGF=56a510a=53.24.A25.3+15解析 在正方形ABCD中,AB=3,S正方形ABCD=32=9.陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為23,空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為13,S空白=3.四邊形ABCD是正方形,BC=CD,BCE=CDF=90°.又CE=DF,BCECDF(SAS),CBE=DCF.DCF+BCG=90°,CBE+BCG=90°,即BGC=90°,BCG是直角三角形.易知SBCG=S四邊形FGED=32,SBCG=12BG·CG=32,BG·CG=3.在RtBCG中,根據(jù)勾股定理,得BG2+CG2=BC2,即BG2+CG2=9,(BG+CG)2=BG2+2BG·CG+CG2=9+2×3=15,BG+CG=15,BCG的周長=BG+CG+BC=3+15.26.解析 四邊形ABCD為正方形,EFAD,EF=AD=DC,ACD=45°,GFC=90°,GFC為等腰直角三角形,GF=CF,EF-GF=DC-CF,即EG=DF,故正確;CFG為等腰直角三角形,H為CG的中點,FH=CH,EFH=DCH=45°.又EF=DC,EHFDHC,故正確;EHFDHC,FEH=CDH,AEH+ADH=AEF+FEH+ADF-CDH=AEF+ADF=180°,故正確;AEAB=23,AE=2BE.在EGH和DFH中,EG=DF,EGH=DFH=135°,GH=FH,EGHDFH,EH=DH,EHG=DHF,EHD=EHG+AHD=AHD+DHF=AHF=90°,EHD是等腰直角三角形.過點H作HMCD于點M,設(shè)HM=x,則DM=5x,CD=6x,DH=26x,SEDH=12DH2=13x2,SDHC=12HM·CD=3x2,3SEDH=13SDHC,故正確.27.18