專項(xiàng)突破練7二次函數(shù)壓軸題1.(2018四川達(dá)州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時(shí),以高出進(jìn)價(jià)的50%標(biāo)價(jià).已知按標(biāo)價(jià)的九折銷售該型號自行車8輛與將標(biāo)價(jià)直降100元銷售7輛獲利相同.(1)求該型號自行車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少元?(2)若該型號自行車的進(jìn)價(jià)不變,按(1)中的標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價(jià)20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價(jià)多少元時(shí),每月獲利最大?最大利潤是多少?解(1)設(shè)進(jìn)價(jià)為x元,則標(biāo)價(jià)是1.5x元,由題意得1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,解得x=1000,1.5×1000=1500(元),答:進(jìn)價(jià)為1000元,標(biāo)價(jià)為1500元;(2)設(shè)該型號自行車降價(jià)a元,利潤為w元,由題意得w=51+a20×3(1500-1000-a),=-320(a-80)2+26460,-320<0,當(dāng)a=80時(shí),w最大=26460,答:該型號自行車降價(jià)80元出售每月獲利最大,最大利潤是26460元.2.(2018福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中ADMN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.解(1)設(shè)AB=xm,則BC=(100-2x)m,根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,當(dāng)x=5時(shí),100-2x=90>20,不合題意舍去;當(dāng)x=45時(shí),100-2x=10,答:AD的長為10m.(2)設(shè)AD=xm,S=12x(100-x)=-12(x-50)2+1250,當(dāng)a50時(shí),則x=50時(shí),S的最大值為1250;當(dāng)0<a<50時(shí),則當(dāng)0<xa時(shí),S隨x的增大而增大,當(dāng)x=a時(shí),S的最大值為50a-12a2,綜上所述,當(dāng)a50時(shí),S的最大值為1250;當(dāng)0<a<50時(shí),S的最大值為50a-12a2.3.(2018甘肅定西)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動點(diǎn).(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式;(2)連接PO,PC,并把POC沿y軸翻折,得到四邊形POP'C.若四邊形POP'C為菱形,請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí),四邊形ACPB的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.解(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得9a+6+c=0,c=3,解得a=-1,c=3,二次函數(shù)的解析是為y=-x2+2x+3.(2)若四邊形POP'C為菱形,則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上,圖1如圖1,連接PP',則PECO,垂足為E,C(0,3),E0,32,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)32,當(dāng)y=32時(shí),即-x2+2x+3=32,解得x1=2+102,x2=2-102(不合題意,舍),點(diǎn)P的坐標(biāo)為2+102,32.圖2(3)如圖2,P在拋物線上,設(shè)P(m,-m2+2m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得3k+3=0,b=3,解得k=-1,b=3.直線BC的解析為y=-x+3,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交BC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,-m+3),PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.當(dāng)y=0時(shí),-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,S四邊形ABPC=SABC+SPCQ+SPBQ=12AB·OC+12PQ·OF+12PQ·FB=12×4×3+12(-m2+3m)×3=-32m-322+758,當(dāng)m=32時(shí),四邊形ABPC的面積最大.當(dāng)m=32時(shí),-m2+2m+3=154,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為32,154.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,154時(shí),四邊形ACPB的最大面積值為758.4.(2018湖南懷化)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;(2)請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M,使BDM的周長最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn),AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,-2a=2,解得a=-1,拋物線解析式為y=-x2+2x+3;當(dāng)x=0時(shí),y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,把A(-1,0),C(0,3)代入得-p+q=0,q=3,解得p=3,q=3,直線AC的解析式為y=3x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0),MB=MB',MB+MD=MB'+MD=DB',此時(shí)MB+MD的值最小,而BD的值不變,此時(shí)BDM的周長最小,易得直線DB'的解析式為y=x+3,當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3).(3)存在.過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,如圖2,直線AC的解析式為y=3x+3,直線PC的解析式可設(shè)為y=-13x+b,把C(0,3)代入得b=3,直線PC的解析式為y=-13x+3,解方程組y=-x2+2x+3,y=-13x+3,解得x=0,y=3或x=73,y=209,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為73,209;過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,直線PC的解析式可設(shè)為y=-13x+b,把A(-1,0)代入得13+b=0,解得b=-13,直線PC的解析式為y=-13x-13,解方程組y=-x2+2x+3,y=-13x-13,解得x=-1,y=0或y=103,y=-139,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為103,-139,綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為73,209或103,-139.5.(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖).已知拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B0,52,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對稱軸上且位于點(diǎn)C下方,將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.(1)求這條拋物線的表達(dá)式;(2)求線段CD的長;(3)將拋物線平移,使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置,這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置,如果點(diǎn)M在y軸上,且以O(shè),D,E,M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解(1)把A(-1,0)和點(diǎn)B0,52代入y=-12x2+bx+c得-12-b+c=0,c=52,解得b=2,c=52,拋物線解析式為y=-12x2+2x+52.(2)y=-12(x-2)2+92,C2,92,拋物線的對稱軸為直線x=2,如圖,設(shè)CD=t,則D2,92-t,線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處,PDC=90°,DP=DC=t,P2+t,92-t,把P2+t,92-t代入y=-12x2+2x+52得-12(2+t)2+2(2+t)+52=92-t,整理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,線段CD的長為2.(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為4,92,D點(diǎn)坐標(biāo)為2,52,拋物線平移,使其頂點(diǎn)C2,92移到原點(diǎn)O的位置,拋物線向左平移2個(gè)單位,向下平移92個(gè)單位,而P點(diǎn)4,92向左平移2個(gè)單位,向下平移92個(gè)單位得到點(diǎn)E,E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),設(shè)M(0,m),當(dāng)m>0時(shí),12·m+52+2·2=8,解得m=72,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為0,72;當(dāng)m<0時(shí),12·-m+52+2·2=8,解得m=-72,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為0,-72;綜上所述,M點(diǎn)的坐標(biāo)為0,72或0,-72.6.(2018廣西南寧)如圖,拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn),其中A(-3,0),C(0,4),點(diǎn)B在x軸上,AC=BC,過點(diǎn)B作BDx軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是線段CO,BC上的動點(diǎn),且CM=BN,連接MN,AM,AN.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)當(dāng)CMN是直角三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)試求出AM+AN的最小值.解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得9a+15a+c=0,c=4,解得a=-16,c=4,拋物線解析式為y=-16x2+56x+4;AC=BC,COAB,OB=OA=3,B(3,0),BDx軸交拋物線于點(diǎn)D,D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng)x=3時(shí),y=-16×9+56×3+4=5,D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5).(2)在RtOBC中,BC=OB2+OC2=32+42=5,設(shè)M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,MCN=OCB,當(dāng)CMCO=CNCB時(shí),CMNCOB,則CMN=COB=90°,即4-m4=m+15,解得m=169,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為0,169;當(dāng)CMCB=CNCO時(shí),CMNCBO,則CNM=COB=90°,即4-m5=m+14,解得m=119,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為0,119;綜上所述,M點(diǎn)的坐標(biāo)為0,169或0,119.(3)連接DN,AD,如圖,AC=BC,COAB,OC平分ACB,ACO=BCO,BDOC,BCO=DBC,DB=BC=AC=5,CM=BN,ACMDBN,AM=DN,AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A,N,D共線時(shí)取等號),DN+AN的最小值=62+52=61,AM+AN的最小值為61.8