課時訓(xùn)練(二十五) 矩形、菱形|夯實基礎(chǔ)|1.如圖25-11,矩形ABCD中對角線AC,BD相交于點O,E是AD的中點,連接OE.若OE=3,AD=8,則對角線AC的長為()圖25-11A.5B.6C.8D.102.2017·蘭州 如圖25-12,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,ADB=30°,AB=4,則OC的長是()圖25-12A.5B.4C.3.5D.33.2017·包頭樣題三 如圖25-13,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CEBD,DEAC.若AC=4,則四邊形CODE的周長是()圖25-13A.4B.6C.8D.124.如圖25-14,已知某菱形花壇ABCD的周長是24 m,BAD=120°,則花壇對角線AC的長是()圖25-14A.63 mB.6 mC.33 mD.3 m5.如圖25-15,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F分別是AB,BC邊的中點,連接EF.若EF=3,BD=4,則菱形ABCD的周長為()圖25-15A.4B.46C.47D.286.2017·臨沂 如圖25-16,在ABC中,D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DEAC,DFAB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是()圖25-16A.若ADBC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,則四邊形AEDF是菱形7.2017·綿陽 如圖25-17,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,過點O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F兩點.若AC=23,AEO=120°,則FC的長度為()圖25-17A.1B.2C.2D.38.2016·包頭樣題 如圖25-18,在菱形ABCD中,AB=5,對角線AC=6.若過點A作AEBC,垂足為E,則AE的長為()圖25-18A.4B.125C.245D.59.2018·衢州 如圖25-19,將矩形ABCD沿GH折疊,點C落在點Q處,點D落在AB邊上的點E處.若AGE=32°,則GHC等于()圖25-19A.112°B.110°C.108°D.106°10.2018·包頭一模 如圖25-20,在一張長為63 cm,寬為6 cm的矩形紙片中,有甲、乙兩種折疊方案,均折疊出菱形ABCD,則這兩種方案中,折疊出的菱形面積較大的是()圖25-20A.方案甲B.方案乙C.兩個方案一樣D.無法比較11.2017·淮安 如圖25-21,在矩形紙片ABCD中,AB=3,點E在邊BC上,將ABE沿直線AE折疊,點B恰好落在對角線AC上的點F處.若EAC=ECA,則AC的長是()圖25-21A.33B.6C.4D.512.2017·烏魯木齊 如圖25-22,在矩形ABCD中,點F在AD上,點E在BC上,把這個矩形沿EF折疊后,使點D恰好落在BC邊上的點G處.若矩形ABCD的面積為43且AFG=60°,GE=2BG,則折痕EF的長為()圖25-22A.1B.3C.2D.2313.2017·內(nèi)江 如圖25-23,在矩形AOBC中,O為坐標(biāo)原點,OA,OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標(biāo)為(0,33),ABO=30°,將ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標(biāo)為()圖25-23A.(32,32 3)B.(2,32 3)C.( 32 3,32)D.( 32,3-32 3)14.2018·葫蘆島 如圖25-24,在菱形ABCO中,點B在x軸上,點A的坐標(biāo)為(2,3),則點C的坐標(biāo)為. 圖25-2415.如圖25-25,在菱形ABCD中,E,F分別是AD,BD的中點,若EF=2,則菱形ABCD的周長是. 圖25-2516.如圖25-26,已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為AC=8和BD=6,那么菱形ABCD的面積為. 圖25-2617.2017·昆區(qū)二模 如圖25-27,菱形ABCD的邊長為8 cm,A=60°,DEAB于點E,DFBC于點F,則四邊形BEDF的面積為cm2. 圖25-2718.2016·包頭 如圖25-28,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點A作AEBD,垂足為E,若EAC=2CAD,則BAE=°. 圖25-2819.2017·包頭樣題三 如圖25-29,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60°,E是AB的中點,P是對角線AC上一動點,則PBE周長的最小值為. 圖25-2920.2018·連云港 如圖25-30,在矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;(2)當(dāng)CF平分BCD時,寫出BC與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.圖25-3021.2018·青島 已知:如圖25-31,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點E,G為AD的中點,連接CG,CG的延長線交BA的延長線于點F,連接FD.(1)求證:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.圖25-3122.2018·內(nèi)江 如圖25-32,已知四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是AB,BC上的點,AE=CF,并且AED=CFD.求證:(1)AEDCFD;(2)四邊形ABCD是菱形.圖25-3223.如圖25-33,在ABC中,C=90°,B=30°,AD是ABC的角平分線,DEBA交AC于點E,DFCA交AB于點F,已知CD=3.(1)求AD的長;(2)求四邊形AEDF的周長.(計算過程和結(jié)果均保留根號)圖25-3324.如圖25-34,在RtABC中,B=90°,BC=53,C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動,當(dāng)其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D,E運動的時間是t秒(t>0).過點D作DFBC于點F,連接DE,EF.(1)求證:AE=DF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由.(3)當(dāng)t為何值時,DEF為直角三角形?請說明理由.圖25-34|拓展提升|25.2018·包頭樣題三 如圖25-35,在矩形ABCD中,F是DC上一點,AE平分BAF交BC于點E, 且DEAF,垂足為M,BE=3,AE=26,則MF的長是()圖25-35A.1515B.1510C.1D.1526.2018·包頭樣題二 如圖25-36,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E為BC的中點,將ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內(nèi)的點F處,連接CF,則CF的長為. 圖25-3627.如圖25-37,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BEAC,垂足為F,連接DF.下列四個結(jié)論:AEFCAB;CF=2AF;DF=DC;tanCAD=2.其中正確的有()圖25-37A.4個B.3個C.2個D.1個28.如圖25-38,ABC和CDE均為等腰直角三角形,點B,C,D在一條直線上,M是AE的中點,下列結(jié)論:tanAEC=BCCD;BMDM;BM=DM;SABC+SCDESACE.正確結(jié)論的個數(shù)是()圖25-38A.1B.2C.3D.429.2015·包頭 如圖25-39,在邊長為3+1的菱形ABCD中,A=60°,點E,F分別在AB,AD上,沿EF折疊菱形,使點A落在BC邊上的點G處,且EGBD于點M,則EG的長為. 圖25-3930.2016·青山區(qū)一模 如圖25-40,在菱形ABCD中,AEBC于點E,交BD于點F,下列結(jié)論:BF為ABE的平分線;DF=2BF;2AB2=DF·DB;sinBAE=EFAF,其中正確的結(jié)論為.(填序號) 圖25-4031.2017·昆區(qū)一模 如圖25-41,在菱形ABCD中,AB=BD,點E,F分別在BC,CD上,且BE=CF,連接BF,DE交于點M,延長ED到點H,使DH=BM,連接AM,AH,則以下四個結(jié)論:BDFDCE;BMD=120°AMH是等邊三角形;S四邊形ABMD=34AM2.其中正確結(jié)論的是.(填序號) 圖25-41參考答案1.D2.B解析 由四邊形ABCD為矩形,可知AC=BD,OC=12AC.已知ADB=30°,故在RtABD中,BD=2AB=8,所以AC=BD=8,所以O(shè)C=12AC=4,故選B.3.C4.B5.C6.D解析 根據(jù)DEAC,DFAB,可證明四邊形AEDF是平行四邊形,再根據(jù)矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判斷.若ADBC,無法判定四邊形AEDF是矩形,所以A錯誤;若AD垂直平分BC,可以判定四邊形AEDF是菱形,所以B錯誤;若BD=CD,無法判定四邊形AEDF是菱形,所以C錯誤;若AD平分BAC,則EAD=FAD=ADF,所以AF=DF.又因為四邊形AEDF是平行四邊形,所以四邊形AEDF是菱形,故D正確.7.A8.C9.D10.B11.B解析 因為四邊形ABCD是矩形,所以B=90°,于是BAC+BCA=90°,即BAE+EAC+ECA=90°.由折疊的性質(zhì)得BAE=EAC.又因為EAC=ECA,所以3ECA=90°,ECA=30°.在RtABC中,AC=2AB=2×3=6.12.C解析 過點G作GMAD,垂足為M.GE=2BG,設(shè)BG=x,則GE=2x.AFG=60°,ADBC,FGE=AFG=60°.四邊形FDCE折疊得到四邊形FGHE,GFE=12DFG=180°-AFG2=60°,DF=FG,FGE是等邊三角形,EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.在RtFMG中,GM=GF·sinAFG=3x,FM=GF·cosAFG=x.易證四邊形ABGM是矩形,AM=BG=x,AB=GM=3x,AD=AM+FM+DF=4x.矩形ABCD的面積為43,AD·AB=4x·3x=43,解得x=1,EF=2x=2,故選C.13.A解析 四邊形AOBC是矩形,ABO=30°,點B的坐標(biāo)為(0,33),AC=OB=33,CAB=30°,BC=AC·tan30°=33×33=3.將ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,BAD=30°,AD=33.如圖,過點D作DMx軸于點M.CAB=BAD=30°,CAO=90°,DAM=30°,DM=12AD=12×33=332,AM=AD·cos30°=33×32=92,OM=AM-AO=92-3=32,點D的坐標(biāo)為32,32 3.14.(2,-3)15.1616.2417.16318.22.519.3+120.解:(1)證明:四邊形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE.E是AD的中點,AE=DE.又FEA=CED,FAECDE,FA=CD.又CDFA,四邊形ACDF是平行四邊形.(2)BC=2CD.理由:CF平分BCD,BCD=90°,DCE=45°.CDE=90°,CDE是等腰直角三角形,CD=DE.E是AD的中點,AD=2DE=2CD.又AD=BC,BC=2CD.21.解:(1)證明:在ABCD中,ABCD,AB=CD,FAD=CDG.G為AD的中點,AG=DG.又AGF=DGC,AGFDGC(ASA),AF=CD.又AB=CD,AB=AF.(2)四邊形ACDF為矩形.證明:BCD=120°,BAG=120°,FAG=60°.又AG=AB,AB=AF,AG=AF,AGF為等邊三角形,AG=FG.AFCD,AF=CD,四邊形ACDF為平行四邊形,AD=2AG,CF=2FG,AD=CF,四邊形ACDF為矩形.22.證明:(1)四邊形ABCD是平行四邊形,A=C.在AED和CFD中,A=C,AE=CF,AED=CFD,AEDCFD(ASA).(2)由(1)得AEDCFD,AD=CD.四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABCD是菱形.23.解析 (1)利用角平分線的性質(zhì)和直角三角形中30°角所對的直角邊為斜邊的一半求出AD的長;(2)先判定四邊形AEDF為菱形,然后利用銳角三角函數(shù)求出DE的長,最后求周長.解:(1)在ABC中,C=90°,B=30°,BAC=60°.AD是ABC的角平分線,CAD=BAD=12BAC=30°.在RtACD中,CAD=30°,CD=3,CD=12AD,AD=6.(2)DEBA,DFCA,四邊形AEDF為平行四邊形,BAD=EDA.CAD=BAD,CAD=EDA,AE=DE,四邊形AEDF為菱形.DEBA,CDE=B=30°.在RtCDE中,C=90°,cosCDE=CDDE,DE=3cos30°=23.四邊形AEDF的周長為4DE=4×23=83.24.解:(1)證明:在DFC中,DFC=90°,C=30°,DC=2t,DF=t.又AE=t,AE=DF.(2)能.ABBC,DFBC,AEDF.又AE=DF,四邊形AEFD是平行四邊形.AB=BC·tan30°=53×33=5,AC=2AB=10,AD=AC-DC=10-2t.若使AEFD為菱形,則需AE=AD,即t=10-2t,解得t=103,當(dāng)t=103時,四邊形AEFD為菱形.(3)當(dāng)t=52或4時,DEF為直角三角形.理由:當(dāng)EDF=90°時,四邊形EBFD為矩形.在RtAED中,ADE=C=30°,AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=52;當(dāng)DEF=90°時,由(2)知EFAD,ADE=DEF=90°.A=90°-C=60°,AD=AE·cos60°,即10-2t=12t,解得t=4;當(dāng)EFD=90°時,此種情況不存在.綜上所述,當(dāng)t=52或4時,DEF為直角三角形.25.A26.18527.B28.D29.330.31.解析 在菱形ABCD中,AB=BD,AB=BD=AD,ABD是等邊三角形,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BDF=C=60°.BE=CF,BC=CD,EC=DF.在BDF和DCE中,BD=DC,BDF=C,DF=CE,BDFDCE,故正確;DBF=CDE.DMF=DBF+BDM=CDE+BDM=BDC=60°,BMD=180°-DMF=180°-60°=120°,故正確;DEB=CDE+C=CDE+60°,ABM=ABD+DBF=60°+DBF,CDE=DBF,DEB=ABM.又ADBC,ADH=DEB,ADH=ABM.在ABM和ADH中,AB=AD,ABM=ADH,BM=DH,ABMADH,AM=AH,BAM=DAH,MAH=MAD+DAH=MAD+BAM=BAD=60°,AMH是等邊三角形,故正確;ABMADH,SAMH=S四邊形ABMD.又SAMH=12AM·32AM=34AM2,S四邊形ABMD=34AM2,故正確.20