幾何動(dòng)點(diǎn)探究題 07幾何動(dòng)點(diǎn)探究題1.2018·宿遷 如圖ZT7-1,在邊長為1的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上,將正方形ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,D重合),點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與CD交于點(diǎn)P,設(shè)BE=x.(1)當(dāng)AM=13時(shí),求x的值.(2)隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化,PDM的周長是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出該定值.(3)設(shè)四邊形BEFC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最小值.圖ZT7-12.2017·湘潭 如圖ZT7-2,動(dòng)點(diǎn)M在以O(shè)為圓心,AB為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,B及AB的中點(diǎn)F重合),連接OM,過點(diǎn)M作MEAB于點(diǎn)E,以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE,過點(diǎn)M作O的切線交射線DC于點(diǎn)N,連接BM,BN.(1)探究:如圖,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí):判斷OEMMDN是否成立?請說明理由.設(shè)ME+NCMN=k,k是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.設(shè)MBN=,是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.(2)拓展:如圖,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在FB上運(yùn)動(dòng)時(shí):分別判斷(1)中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變?如有變化,請直接寫出正確的結(jié)論(均不必說明理由).圖ZT7-23.2018·湖州 如圖ZT7-3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC中,ABC=90°,頂點(diǎn)A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側(cè)),BC=2,AB=23,ADC與ABC關(guān)于AC所在的直線對稱.(1)當(dāng)OB=2時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,求OB的長.(3)如圖,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點(diǎn)D1的反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點(diǎn)P,A1,D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由.圖ZT7-34.2018·永州 如圖ZT7-4,在ABC中,矩形EFGH的一邊EF在AB上,頂點(diǎn)G,H分別在BC,AC上,CD是邊AB上的高,CD交GH于點(diǎn)I.若CI=4,HI=3,AD=92,矩形DFGI恰好為正方形.(1)求正方形DFGI的邊長.(2)如圖,延長AB至P,使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移,當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時(shí),試判斷移動(dòng)后的矩形與CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形,為什么?(3)如圖,連接DG,將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF'G'I',正方形DF'G'I'分別與線段DG,DB相交于點(diǎn)M,N,求MNG'的周長.圖ZT7-4參考答案1.解: (1)由折疊可知,ME=BE=x,AE=1-x.在RtAEM中,由AM=13,得132+(1-x)2=x2.解得x=59.(2)不發(fā)生變化.如圖,連接BM,BP,過點(diǎn)B作BHMN,垂足為H.EB=EM,EBM=EMB.EBC=EMN,EBC-EBM=EMN-EMB,即MBC=BMN.ADBC,AMB=MBC,AMB=BMN.又A=MHB,BM=BM,BAMBHM.AM=HM,BH=AB.BC=AB,BH=BC.又BP=BP,RtBHPRtBCP.HP=PC.MDP的周長=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.MDP的周長為定值,周長為2.(3)如圖,連接BM,過點(diǎn)F作FQAB,垂足為Q,則QF=BC=AB.BEF+EBM=90°,AMB+EBM=90°,BEF=AMB.又A=EQF=90°,AMBQEF.AM=EQ.設(shè)AM=a,則a2+(1-x)2=x2.a=2x-1.CF=QB=x-2x-1.S=12(CF+BE)×1=12(x-2x-1+x)=12(2x-2x-1).設(shè)2x-1=t,則2x=t2+1.S=12(t2+1-t)=12t-122+38.當(dāng)t=12,即x=58時(shí),S的最小值為38.2.解:(1)OEMMDN.理由:MEAB,MEO=90°.四邊形BCDE是正方形,NDM=90°.NDM=MEO.MN是過點(diǎn)M的O的切線,OMMN.DMN+EMO=90°.又EMO+EOM=90°,DMN=EOM.OEMMDN.設(shè)OE=x,ME=y,圓的半徑為r,則BE=BC=CD=DE=x+r,MD=DE-ME=x+r-y,x2+y2=r2.OEMMDN,OEMD=OMMN=MEND,即xx+r-y=rMN=yND,可以得到MN=r(x+r-y)x,DN=y(x+r-y)x,ME+NC=ME+DC-DN=y+x+r-y(x+r-y)x=xy+x2+rx-yx-yr+y2x=x2+y2+rx-yrx=r2+rx-yrx=r(x+r-y)x=MN.ME+NCMN=1,即k=1為定值.=45°為定值.如圖,在射線DC上取點(diǎn)H,使得ME=CH,連接BH.在MEB和HCB中,ME=HC,MEB=HCB=90°,BE=BC,MEBHCB(SAS).MBE=HBC,BM=BH.由知,ME+NC=MN,MN=NC+CH=NH.在MBN和HBN中,MN=HN,BM=BH,BN=BN,MBNHBN(SSS).MBN=HBN.EBC=EBM+MBN+NBC=MBN+NBH=2MBN=90°,MBN=45°.(2)(1)中的第一個(gè)結(jié)論和第三個(gè)結(jié)論不變,第二個(gè)結(jié)論變成ME-NCMN=k,k為定值.3.解:(1)如圖,過點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E.ABC=90°,tanACB=ABBC=3.ACB=60°.由對稱可知DC=BC=2,ACD=ACB=60°.DCE=60°.CDE=90°-60°=30°.CE=1,DE=3.OE=OB+BC+CE=5.點(diǎn)D的坐標(biāo)是(5,3).(2)設(shè)OB=a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(a,23).由題意,得CE=1,DE=3.點(diǎn)D的坐標(biāo)是(3+a,3).點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,23a=3(3+a).解得a=3,即OB的長為3.(3)存在,k的值為103或123.求解過程如下:由(2)可知,D的坐標(biāo)為(6,3).點(diǎn)D1的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)D1在反比例函數(shù)y=kx的圖象上,點(diǎn)D1的橫坐標(biāo)為k3=3k3.點(diǎn)D1的坐標(biāo)為3k3,3.同理,點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,k3.由(2)可知,點(diǎn)A,D的橫坐標(biāo)相差3,點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為3k3-3.點(diǎn)A1的坐標(biāo)為3k3-3,23.由此可得A1D2=3k3-3-62+(23-3)2=k23-63k+84,PD2=(3-6)2+k3-32=k29-23k3+12,A1P2=3k3-62+23-k32=4k29-163k3+48.當(dāng)PD2=A1D2+A1P2時(shí),k29-23k3+12=k23-63k+84+4k29-163k3+48,解得k1=103,k2=63.當(dāng)k=63時(shí),點(diǎn)D和點(diǎn)D1重合,不合題意,舍去.當(dāng)A1P2=A1D2+PD2時(shí),4k29-163k3+48=k23-63k+84+k29-23k3+12,解得k=123.當(dāng)A1D2=A1P2+PD2時(shí),k23-63k+84=4k29-163k3+48+k29-23k3+12,解得k1=63(舍去),k2=-63(舍去).綜上,k的值為103或123.4.解:(1)HIAD,HIAD=CICD.392=4CD.CD=6,ID=CD-CI=2.正方形DFGI的邊長為2.(2)如圖,設(shè)點(diǎn)G落在PC上時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)為G',點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為F'.CA=CP,CDPA,ACD=PCD,A=P.HG'PA,CHG'=A,CG'H=P.CHG'=CG'H.CH=CG'.IH=IG'=DF'=3.IGDB,IGDB=CICD,2DB=46.DB=3.DF'=DB=3.點(diǎn)B與點(diǎn)F'重合.移動(dòng)后的矩形與CBP重疊部分是BGG'.移動(dòng)后的矩形與CBP重疊部分的形狀是三角形.(3)如圖(忽略線段GF),將DMI'繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF'R,此時(shí)點(diǎn)N,F',R共線.MDN=NDF'+MDI'=NDF'+F'DR=NDR=45°,DN=DN,DM=DR.NDMNDR.MN=NR=NF'+RF'=NF'+MI'.MNG'的周長=MN+MG'+NG'=MG'+MI'+NF'+NG'=2I'G'=4.12