專題26 與弧長(zhǎng)、扇形面積有關(guān)的問(wèn)題 專題知識(shí)回顧 1.扇形弧長(zhǎng)面積公式（1）弧長(zhǎng)的計(jì)算公式（2）扇形面積計(jì)算公式2.弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)（3）弓形的面積當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，  當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，3圓柱側(cè)面積體積公式（1）圓柱的側(cè)面積公式S側(cè)=2rh（2）圓柱的表面積公式：S表=S底×2+S側(cè)=2r2+2r h4.圓錐側(cè)面積體積公式 （1）圓錐側(cè)面積計(jì)算公式從右圖中可以看出，圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)，這樣，圓錐側(cè)面積計(jì)算公式:S圓錐側(cè)=S扇形= = rl（2）圓錐全面積計(jì)算公式:S圓錐全=S圓錐側(cè)S圓錐底面= r l r 2=r（l r）專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北武漢）如圖，AB是O的直徑，M、N是（異于A.B）上兩點(diǎn)，C是上一動(dòng)點(diǎn)，ACB的角平分線交O于點(diǎn)D，BAC的平分線交CD于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C.E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（）A B C D【答案】A【解析】如圖，連接EB設(shè)OAr易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是，由題意MON2GDF，設(shè)GDF，則MON2，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可解決問(wèn)題如圖，連接EB設(shè)OArAB是直徑，ACB90°，E是ACB的內(nèi)心，AEB135°，ACDBCD，ADDBr，ADB90°，易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是，MON2GDF，設(shè)GDF，則MON2【例題2】(2019山西）如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】作DEAB于點(diǎn)E，連接OD，在RtABC中：tanCAB=，CAB=30°，BOD=2CAB=60°.在RtODE中：OE=OD=，DE=OE=.S陰影=SABC-SAOD-S扇形BOD=，故選A【例題3】（2019·貴州安順）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r2，扇形的圓心角120°，則該圓錐母線l的長(zhǎng)為 【答案】6 【解析】根據(jù)題意得2×2，解德l6，即該圓錐母線l的長(zhǎng)為6 專題典型訓(xùn)練題 一.選擇題1.（2019四川省廣安市）如圖，在RtABC中，ACB90°，A30°，BC4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）ABCD【答案】A【解析】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分割法求面積，中考常考題型根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到B60°，根據(jù)圓周角定理得到COD120°，CDB90°，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論在RtABC中，ACB90°，A30°，B60°，COD120°，BC4，BC為半圓O的直徑，CDB90°，OCOD2，CDBC2，圖中陰影部分的面積S扇形CODSCOD2×1。2（2019山東青島）如圖，線段AB經(jīng)過(guò)O的圓心，AC，BD分別與O相切于點(diǎn)C，D若ACBD4，A45°，則的長(zhǎng)度為（）AB2C2D4【答案】B【解析】連接OC、OD，根據(jù)切線性質(zhì)和A45°，易證得AOC和BOD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得OCOD4，COD90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得即可連接OC、OD，AC，BD分別與O相切于點(diǎn)C，DOCAC，ODBD，A45°，AOC45°，ACOC4，ACBD4，OCOD4，ODBD，BOD45°，COD180°45°45°90°，的長(zhǎng)度為：2。3.（2019四川省涼山州）如圖，在AOC中，OA3cm，OC1cm，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到BOD，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圖形的面積為（）cm2AB2CD【答案】B 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解AOCBOD，陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積2，故選：B4（2019浙江紹興）如圖，ABC內(nèi)接于O，B65°，C70°若BC2，則的長(zhǎng)為（）ABC2D2【答案】A 【解析】本題考查圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型連接OB，OC首先證明OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解決問(wèn)題連接OB，OCA180°ABCACB180°65°70°45°，BOC90°，BC2，OBOC2，的長(zhǎng)為5（2019山東泰安）如圖所示，將O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若O的半徑為3，則的長(zhǎng)為（）ABC2D3【答案】C 【解析】連接OA、OB，作OCAB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OCOA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出AOB，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可連接OA、OB，作OCAB于C，由題意得，OCOA，OAC30°，OAOB，OBAOAC30°，AOB120°，的長(zhǎng)26（2019浙江寧波）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長(zhǎng)為（）A3.5cmB4cmC4.5cmD5cm【答案】B 【解析】本題考查了圓錐的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)設(shè)ABxcm，則DE（6x）cm，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)列出方程，求解即可根據(jù)題意，得（6x），解得x47.(2019云南)如圖，ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB5，BC13，CA12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( )A4 B6.25 C7.5 D9【答案】A 【解析】此題主要考查了已知直角三角形三邊的長(zhǎng)，如何求其內(nèi)切圓的半徑由切線長(zhǎng)定理可知RtABC(a、b為直角邊，c為斜邊)的內(nèi)切圓半徑r=，也可根據(jù)面積公式求直角三角形內(nèi)切圓的半徑AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC為直角三角形，且A=90°，O為ABC內(nèi)切圓，AFO=AEO=90°，且AE=AF，四邊形AEOF為正方形，設(shè)O的半徑為r，則OE=OF=AE=AF=r，BD=BF=ABr，CD=CE=ACr，BC=BD+CD= ABr+ ACr，r=2，S四邊形AEOF=r²=4，故選A8.（2019山東棗莊）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留）（）A8B162C82D8【答案】C 【解析】本題考查扇形的面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求陰影部分面積根據(jù)S陰SABDS扇形BAE計(jì)算即可S陰SABDS扇形BAE×4×4829.（2019四川巴中）如圖，圓錐的底面半徑r6，高h(yuǎn)8，則圓錐的側(cè)面積是（）A15B30C45D60【答案】D 【解析】圓錐的側(cè)面積：S側(cè)2rlrl，求出圓錐的母線l即可解決問(wèn)題圓錐的母線l10，圓錐的側(cè)面積10660。二.填空題10.（2019湖北省鄂州市）一個(gè)圓錐的底面半徑r5，高h(yuǎn)10，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是【答案】【解析】利用勾股定理易得圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積×底面半徑×母線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解圓錐的底面半徑r5，高h(yuǎn)10，圓錐的母線長(zhǎng)為5，圓錐的側(cè)面積為×5×5。11.（2019湖北省荊門市）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為 【答案】+【解答】過(guò)A作AMBC于M，ENBC于N，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，BACBACB60°，AMBC×2，ADAE1，ADBD，AECE，ENAM，圖中陰影部分的面積SABCS扇形ADESCEF（SBCDS扇形DCF）×2××（×）+12.（2019湖北十堰）如圖，AB為半圓的直徑，且AB6，將半圓繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，則圖中陰影部分的面積為 【答案】6【解析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是半圓的面積與扇形ABC的面積之和減去半圓的面積由圖可得，圖中陰影部分的面積為：613.（2019湖北天門）75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5cm，則此弧所在圓的半徑是6cm【答案】6【解析】由弧長(zhǎng)公式：l計(jì)算由題意得：圓的半徑R180×2.5÷（75）6cm14.（2019湖北省咸寧市）如圖，半圓的直徑AB6，點(diǎn)C在半圓上，BAC30°，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）【答案】3【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得CD和COB的度數(shù)，即可得到陰影部分的面積是半圓的面積減去AOC和扇形BOC的面積連接OC.BC，作CDAB于點(diǎn)D，直徑AB6，點(diǎn)C在半圓上，BAC30°，ACB90°，COB60°，AC3，CDA90°，CD，陰影部分的面積是：3，15.（2019廣東廣州）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為 （結(jié)果保留）【答案】2【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)底面圓的周長(zhǎng)即可解決問(wèn)題某圓錐的主視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為2，則底面圓的周長(zhǎng)為2，該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為2。16.（2019江蘇泰州）如圖，分別以正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形若正三角形邊長(zhǎng)為6cm，則該萊洛三角形的周長(zhǎng)為 cm【答案】6【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式：l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）也考查了等邊三角形的性質(zhì)直接利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可該萊洛三角形的周長(zhǎng)3×6（cm）17.（2019山東省聊城市）如圖是一個(gè)圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：cm），計(jì)算這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為 【答案】120°【解析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長(zhǎng)，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得到圓錐的母線長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角圓錐的底面半徑為1，圓錐的底面周長(zhǎng)為2，圓錐的高是2，圓錐的母線長(zhǎng)為3，設(shè)扇形的圓心角為n°，2，解得n120即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°18. （2019黑龍江省齊齊哈爾市）將圓心角為216°，半徑為5cm的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，那么圍成的這個(gè)圓錐的高為 cm【答案】4 【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2r，解得r3，所以圓錐的高4（cm）三、解答題19.（2019湖南邵陽(yáng)）如圖，在等腰ABC中，BAC120°，AD是BAC的角平分線，且AD6，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無(wú)重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)【答案】見解析。【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到ADBC，BDCD，則可計(jì)算出BD6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積SABCS扇形EAF進(jìn)行計(jì)算；在等腰ABC中，BAC120°，B30°，AD是BAC的角平分線，ADBC，BDCD，BDAD6，BC2BD12，由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積SSABCS扇形EAF×6×123612；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2r，解得r2，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)根據(jù)題意得2r，解得r2，這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)420.（2019山東省德州市 ）如圖，BPD120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，PAC30°，AC2（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A.C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請(qǐng)寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積【答案】見解析?！窘獯稹浚?）過(guò)A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，然后以O(shè)A為半徑作O即可。如圖所示。（2）寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明；連接OP，先證明RtPAORtPCO，然后根據(jù)切線的判定方法判斷PB.PC為O的切線。已知：如圖，BPD120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，PAC30°，AC2，過(guò)A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，以O(shè)A為半徑作O，OAPB，求證：PB.PC為O的切線；證明：BPD120°，PAC30°，PCA30°，PAPC，連接OP，OAPA，PCOC，PAOPCO90°，OPOP，RtPAORtPCO（HL）OAOC，PB.PC為O的切線；（3）先證明OAC為等邊三角形得到OAAC2，AOC60°，再計(jì)算出AP2，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積進(jìn)行計(jì)算OAPOCP90°30°60°，OAC為等邊三角形，OAAC2，AOC60°，OP平分APC，APO60°，AP×22，劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積SS四邊形APCOS扇形AOC2××2×24221.（2019黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，以ABC的邊BC為直徑作O，點(diǎn)A在O上，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，ADAB，D30°（1）求證：直線AD是O的切線；（2）若直徑BC4，求圖中陰影部分的面積【答案】見解析。【解析】（1）證明：連接OA，則COA2B，ADAB，BD30°，COA60°，OAD180°60°30°90°，OAAD，即CD是O的切線；（2）解：BC4，OAOC2，在RtOAD中，OA2，D30°，OD2OA4，AD2，所以SOADOAAD×2×22，因?yàn)镃OA60°，所以S扇形COA，所以S陰影SOADS扇形COA217