專題16 全等三角形判定和性質(zhì)問(wèn)題 專題知識(shí)回顧 1全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2全等三角形的表示全等用符號(hào)“”表示，讀作“全等于”。如ABCDEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3全等三角形的性質(zhì)： 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。 4三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。5直角三角形全等的判定：HL定理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）專題典型題考法及解析 【例題1】（2019貴州省安順市）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，ABED，ACFD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定ABCDEF的是（）A ADBACDFCABEDDBFEC【解答】選項(xiàng)A、添加AD不能判定ABCDEF，故本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B、添加ACDF可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C、添加ABDE可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：A【例題2】（2019黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，已知在ABC和DEF中，BE，BFCE，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，若使ABCDEF，則還需添加的一個(gè)條件是 _（只填一個(gè)即可）【答案】ABDE【解析】添加ABDE；BFCE，BCEF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）【例題3】（2019銅仁）如圖，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE求證：BDCE【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥孔C明：ABAC，ADAE，BAE+CAE90°，BAE+BAD90°，CAEBAD又ABAC，ABDACE，ABDACE（ASA）BDCE 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1. (2019廣東）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，延長(zhǎng)CB至E使EB=2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長(zhǎng)FG交DC于M，連接AM、AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB.AM交于點(diǎn)N、K則下列結(jié)論：ANHGNF；AFN=HFG；FN=2NK；SAFN : SADM =1 : 4其中正確的結(jié)論有（ ）A1個(gè)   B2個(gè)   C3個(gè)   D4個(gè)【答案】C【解析】AH=GF=2，ANH=GNF，AHN=GFN，ANHGNF（AAS），正確；由得AN=GN=1，NGFG，NA不垂直于AF，F(xiàn)N不是AFG的角平分線AFNHFG，錯(cuò)誤；由AKHMKF，且AH:MF=1:3，KH:KF=1:3，又FN=HN，K為NH的中點(diǎn)，即FN=2NK，正確；SAFN =AN·FG=1，SADM =DM·AD=4，SAFN : SADM =1 : 4，正確.2.（2019廣西池河）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BECF，則圖中與AEB相等的角的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明ABEBCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BFCAEB，進(jìn)一步得到BFCABF，從而求解證明：四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABBC，ABEBCF90°，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），BFCAEB，BFCABF，故圖中與AEB相等的角的個(gè)數(shù)是23.（2019湖北天門）如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，弦ADOC，直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD下列結(jié)論：CD是O的切線；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)【答案】A【解析】連結(jié)DOAB為O的直徑，BC為O的切線，CBO90°，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，CODCOB（SAS），CDOCBO90°又點(diǎn)D在O上，CD是O的切線；故正確，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正確；AB為O的直徑，DC為O的切線，EDOADB90°，EDA+ADOBDO+ADO90°，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正確；EDOEBC90°，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE，故正確。4.（2019湖北孝感）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G若BC4，DEAF1，則GF的長(zhǎng)為（）ABCD【答案】A【解析】證明BCECDF（SAS），得CBEDCF，所以CGE90°，根據(jù)等角的余弦可得CG的長(zhǎng)，可得結(jié)論正方形ABCD中，BC4，BCCDAD4，BCECDF90°，AFDE1，DFCE3，BECF5，在BCE和CDF中，BCECDF（SAS），CBEDCF，CBE+CEBECG+CEB90°CGE，cosCBEcosECG，CG，GFCFCG55.（2019山東省濱州市）如圖，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM下列結(jié)論：ACBD；AMB40°；OM平分BOC；MO平分BMC其中正確的個(gè)數(shù)為（）A4B3C2D1【答案】B【解析】由SAS證明AOCBOD得出OCAODB，ACBD，正確；由全等三角形的性質(zhì)得出OACOBD，由三角形的外角性質(zhì)得：AMB+OACAOB+OBD，得出AMBAOB40°，正確；作OGMC于G，OHMB于H，如圖所示：則OGCOHD90°，由AAS證明OCGODH（AAS），得出OGOH，由角平分線的判定方法得出MO平分BMC，正確；即可得出結(jié)論AOBCOD40°，AOB+AODCOD+AOD，即AOCBOD，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），OCAODB，ACBD，正確；OACOBD，由三角形的外角性質(zhì)得：AMB+OACAOB+OBD，AMBAOB40°，正確；作OGMC于G，OHMB于H，如圖所示：則OGCOHD90°，在OCG和ODH中，OCGODH（AAS），OGOH，MO平分BMC，正確；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)。6.（2019河南）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，D90°，AD4，BC3分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A2B4C3D故選：A【解析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AFFC再根據(jù)ASA證明FOABOC，那么AFBC3，等量代換得到FCAF3，利用線段的和差關(guān)系求出FDADAF1然后在直角FDC中利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)如圖，連接FC，則AFFCADBC，F(xiàn)AOBCO在FOA與BOC中，F(xiàn)OABOC（ASA），AFBC3，F(xiàn)CAF3，F(xiàn)DADAF431在FDC中，D90°，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD2故選：A7（2019山東臨沂）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DEFE，F(xiàn)CAB，若AB4，CF3，則BD的長(zhǎng)是（）A0.5B1C1.5D2【答案】B【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出AFCE，ADEF，根據(jù)全等三角形的判定，得出ADECFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出ADCF，根據(jù)AB4，CF3，即可求線段DB的長(zhǎng)CFAB，AFCE，ADEF，在ADE和FCE中，ADECFE（AAS），ADCF3，AB4，DBABAD431二、填空題8.(2019四川成都）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，BAD=CAE，若BD=9，則CE的長(zhǎng)為 .【答案】9 【解析】此題考察的是全等三角形的性質(zhì)和判定，因?yàn)锳BC是等腰三角形，所以有AB=AC，BAD=CAE，ABD=ACE，所以ABDACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9.9.（2019湖南邵陽(yáng)）如圖，已知ADAE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得ADCAEB，你添加的條件是 （不添加任何字母和輔助線）【答案】ABAC或ADCAEB或ABEACD?！窘馕觥扛鶕?jù)圖形可知證明ADCAEB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用ASA.SAS、AAS證明兩三角形全等AA，ADAE，可以添加ABAC，此時(shí)滿足SAS；添加條件ADCAEB，此時(shí)滿足ASA；添加條件ABEACD，此時(shí)滿足AAS，故答案為ABAC或ADCAEB或ABEACD。10.（2019天津）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上，若DE=5，則GE的長(zhǎng)為 .【答案】【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，則BF=13.又易知AFHBFA，所以，即AH=，AH=2AH=，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=11.（2019廣東省廣州市）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），DAM45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AFBE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC，EF，EG，則下列結(jié)論：ECF45°；AEG的周長(zhǎng)為（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF的面積的最大值a2其中正確的結(jié)論是 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）故答案為【解析】如圖1中，在BC上截取BHBE，連接EHBEBH，EBH90°，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45°，BAD90°，F(xiàn)AEEHC135°，BABC，BEBH，AEHC，F(xiàn)AEEHC（SAS），EFEC，AEFECH，ECH+CEB90°，AEF+CEB90°，F(xiàn)EC90°，ECFEFC45°，故正確，如圖2中，延長(zhǎng)AD到H，使得DHBE，則CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90°，ECGGCH45°，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故錯(cuò)誤，AEG的周長(zhǎng)AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故錯(cuò)誤，設(shè)BEx，則AEax，AFx，SAEF（ax）×xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa時(shí)，AEF的面積的最大值為a2故正確，故答案為12（2019山東臨沂）如圖，在ABC中，ACB120°，BC4，D為AB的中點(diǎn)，DCBC，則ABC的面積是【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到BCD90°，得到長(zhǎng)CD到H使DHCD，由線段中點(diǎn)的定義得到ADBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AHBC4，HBCD90°，求得CD2，于是得到結(jié)論DCBC，BCD90°，ACB120°，ACD30°，延長(zhǎng)CD到H使DHCD，D為AB的中點(diǎn)，ADBD，在ADH與BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90°，ACH30°，CHAH4，CD2，ABC的面積2SBCD2××4×28，故答案為：8三、解答題13.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且DECF，AF與BE相交于點(diǎn)G（1）求證：BEAF；（2）若AB4，DE1，求AG的長(zhǎng)【答案】見(jiàn)解析。【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵（1）證明：四邊形ABCD是正方形，BAEADF90°，ABADCD，DECF，AEDF，在BAE和ADF中，BAEADF（SAS），BEAF；（2）解：由（1）得：BAEADF，EBAFAD，GAE+AEG90°，AGE90°，AB4，DE1，AE3，BE5，在RtABE中，AB×AEBE×AG，AG14.（2019湖南懷化）已知：如圖，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F(xiàn)分別為垂足（1）求證：ABECDF；（2）求證：四邊形AECF是矩形【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD，ABCD，ADBC，AEBC，CFAD，AEBAECCFDAFC90°，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）證明：ADBC，EAFAEB90°，EAFAECAFC90°，四邊形AECF是矩形15.（2019湖南岳陽(yáng)）如圖所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)E.F分別為AD.CD邊上的點(diǎn)，DEDF，求證：12【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥坑闪庑蔚男再|(zhì)得出ADCD，由SAS證明ADFCDE，即可得出結(jié)論證明：四邊形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），1216.（2019甘肅）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AGED交DE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（1）證明：ADGDCE；（2）連接BF，證明：ABFB【解析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形（1）四邊形ABCD是正方形，ADGC90°，ADDC，又AGDE，DAG+ADF90°CDE+ADF，DAGCDE，ADGDCE（ASA）；（2）如圖所示，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于H，E是BC的中點(diǎn)，BECE，又CHBE90°，DECHEB，DCEHBE（ASA），BHDCAB，即B是AH的中點(diǎn)，又AFH90°，RtAFH中，BFAHAB17.（2019山東棗莊）在ABC中，BAC90°，ABAC，ADBC于點(diǎn)D（1）如圖1，點(diǎn)M，N分別在AD，AB上，且BMN90°，當(dāng)AMN30°，AB2時(shí)，求線段AM的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且EDF90°，求證：BEAF；（3）如圖3，點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AC上，且BMN90°，求證：AB+ANAM【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到ADBDDC，求出MBD30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；BAC90°，ABAC，ADBC，ADBDDC，ABCACB45°，BADCAD45°，AB2，ADBDDC，AMN30°，BMD180°90°30°60°，MBD30°，BM2DM，由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2，解得，DM，AMADDM；（2）證明：ADBC，EDF90°，BDEADF，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA）BEAF；（3）證明：過(guò)點(diǎn)M作MEBC交AB的延長(zhǎng)線于E，AME90°，則AEAM，E45°，MEMA，AME90°，BMN90°，BMEAMN，在BME和AMN中，BMEAMN（ASA），BEAN，AB+ANAB+BEAEAM18.（2019河北）如圖，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心（1）求證：BADCAE；（2）設(shè)APx，請(qǐng)用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)ABAC時(shí)，AIC的取值范圍為m°AICn°，分別直接寫出m，n的值【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）在ABC和ADE中，（如圖1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x當(dāng)ADBC時(shí)，APAB3最小，即PD633為PD的最大值（3）如圖2，設(shè)BAP，則APC+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I為APC的內(nèi)心AI、CI分別平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n15019.（2019江蘇無(wú)錫）如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BDCE，BE、CD相交于點(diǎn)O（1）求證：DBCECB；（2）求證：OBOC【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ECBDBC根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；證明：ABAC，ECBDBC，在DBC與ECB中，DBCECB（SAS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DCBEBC根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到OBOC證明：由（1）知DBCECB，DCBEBC，OBOC20