專題17 等腰、等邊三角形問題 專題知識(shí)回顧 一、等腰三角形1. 定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸5.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）. 要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.二、等邊三角形1. 定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形2. 性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線。3.判定（1） 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2） 有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（3） 有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。三、含30的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它對(duì)的等于的一半.四、解題方法要領(lǐng)1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對(duì)已知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。專題典型題考法及解析 【例題1】（2019重慶）如圖，在ABC中，ABAC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFBC交AB于點(diǎn)F（1）若C36°，求BAD的度數(shù)；（2）求證：FBFE【答案】見解析?！窘馕觥浚?）ABAC，CABC，C36°，ABC36°，BDCD，ABAC，ADBC，ADB90°，BAD90°36°54°（2）證明：BE平分ABC，ABECBEABC，EFBC，F(xiàn)EBCBE，F(xiàn)BEFEB，F(xiàn)BFE【例題2】（2019黑龍江哈爾濱）如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BCDC，A60°，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD.CE，CE與BD交于點(diǎn)F，且CEAB，若AB8，CE6，則BC的長(zhǎng)為 【答案】2【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，由題意可證AC垂直平分BD，ABD是等邊三角形，可得BAODAO30°，ABADBD8，BOOD4，通過證明EDF是等邊三角形，可得DEEFDF2，由勾股定理可求OC，BC的長(zhǎng)如圖，連接AC交BD于點(diǎn)OABAD，BCDC，A60°，AC垂直平分BD，ABD是等邊三角形BAODAO30°，ABADBD8，BOOD4CEABBAOACE30°，CEDBAD60°DAOACE30°AECE6，DEADAE2CEDADB60°EDF是等邊三角形，DEEFDF2CFCEEF4，OFODDF2OC2BC2【例題3】（2019黃石）如圖，在ABC中，B50°，CDAB于點(diǎn)D，BCD和BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，CDCF，則ACD+CED（）A125°B145°C175°D190°【答案】C 【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，即可得到CDF是等邊三角形，進(jìn)而得到ACD60°，根據(jù)BCD和BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，即可得出CED115°，即可得到ACD+CED60°+115°175°CDAB，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，DFACCF，又CDCF，CDDFCF，CDF是等邊三角形，ACD60°，B50°，BCD+BDC130°，BCD和BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，DCE+CDE65°，CED115°，ACD+CED60°+115°175°，故選：C 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019寧夏） 如圖，在ABC中，點(diǎn)D和E分別在AB和AC上，且連接DE，過點(diǎn)A的直線GH與DE平行，若，則的度數(shù)為（ ） A B C D 【答案】C【解析】平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故本題正確選項(xiàng)為C2.（2019浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若BDE=75°，則CDE的度數(shù)是（    ） A. 60°                              B. 65°                           C. 75°                                D. 80°【答案】 D 【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 。 OC=CD=DE， O=ODC，DCE=DEC，設(shè)O=ODC=x，DCE=DEC=2x，CDE=180°-DCE-DEC=180°-4x，BDE=75°，ODC+CDE+BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，CDE=180°-4x=80°.3.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，RtABC中，C90°，B30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則CAD的度數(shù)是（）A20° B30° C45° D60°【答案】B 【解析】在ABC中，B30°，C90°，BAC180°BC60°，由作圖可知MN為AB的中垂線，DADB，DABB30°，CADBACDAB30°4.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B 【解析】如圖，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，設(shè)AEa，BE2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DHBD，推出CD+BDCD+DH，由垂線段最短即可解決問題如圖，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90°，tanA2，設(shè)AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值為45.（2019湖南邵陽）如圖，在RtABC中，BAC90°，B36°，AD是斜邊BC上的中線，將ACD沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，線段DF與AB相交于點(diǎn)E，則BED等于（）A120°B108°C72°D36°【答案】B 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出C90°B54°由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出ADBDCD，利用等腰三角形的性質(zhì)求出BADB36°，DACC54°，利用三角形內(nèi)角和定理求出ADC180°DACC72°再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出ADFADC72°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出BEDBAD+ADF108°在RtABC中，BAC90°，B36°，C90°B54°AD是斜邊BC上的中線，ADBDCD，BADB36°，DACC54°，ADC180°DACC72°將ACD沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，ADFADC72°，BEDBAD+ADF36°+72°108°二、填空題6.（2019湖南懷化）若等腰三角形的一個(gè)底角為72°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為【答案】36°【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論等腰三角形的一個(gè)底角為72°，等腰三角形的頂角180°72°72°36°7.（2019湖南邵陽）如圖，將等邊AOB放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B在第一象限，將等邊AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到AOB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是【答案】（2，2）【解析】作BHy軸于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到OHAH2，BOA60°，再計(jì)算出BH，從而得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），然后根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)B的坐標(biāo)作BHy軸于H，如圖，OAB為等邊三角形，OHAH2，BOA60°，BHOH2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），等邊AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到AOB，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）故答案為（2，2）8.（2019湖北天門）如圖，為測(cè)量旗桿AB的高度，在教學(xué)樓一樓點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂部的仰角為30°，點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平線上已知CD9.6m，則旗桿AB的高度為 m【答案】14.4【解析】作DEAB于E，如圖所示：則AED90°，四邊形BCDE是矩形，BECD9.6m，CDEDEA90°，ADC90°+30°120°，ACB60°，ACD30°，CAD30°ACD，ADCD9.6m，在RtADE中，ADE30°，AEAD4.8m，ABAE+BE4.8m+9.6m14.4m9.（2019貴州畢節(jié)）如圖，以ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)D，連接AD若B40°，C36°，則DAC的大小為 【答案】34°【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出BAC180°BC104°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出BADADB（180°B）÷270°，進(jìn)而根據(jù)角的和差得出DACBACBAD34°B40°，C36°，BAC180°BC104°ABBDBADADB（180°B）÷270°，DACBACBAD34°10. （2019湖北武漢）如圖，在ABCD中，E.F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AEEFCD，ADF90°，BCD63°，則ADE的大小為 【答案】21°【解析】設(shè)ADEx，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出DAEADEx，DEAFAEEF，得出DECD，證出DCEDEC2x，由平行四邊形的性質(zhì)得出DCEBCDBCA63°x，得出方程，解方程即可設(shè)ADEx，AEEF，ADF90°，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63°x，2x63°x，解得：x21°，即ADE21°11.(2019黑龍江綏化)如圖,在ABC中,ABAC,點(diǎn)D在AC上,且BDBCAD,則A_度.【答案】16【解析】BDAD,設(shè)AABDx,BDC2x,BDBC,CBDC2x,ABAC,ABCC2x,x+2x+2x180°,x36°.三、解答題12.（2019湖北孝感）如圖，已知CD90°，BC與AD交于點(diǎn)E，ACBD，求證：AEBE【答案】見解析?！窘馕觥坑蒆L證明RtACBRtBDA得出ABCBAD，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論證明：CD90°，ACB和BDA是直角三角形，在RtACB和RtBDA中，AB=BAAC=BD，RtACBRtBDA（HL），ABCBAD，AEBE13.（2019杭州）如圖，在ABC中，ACABBC（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：APC2B（2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ若AQC3B，求B的度數(shù)【答案】見解析。【解析】（1）證明：線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，PAPB，BBAP，APCB+BAP，APC2B；（2）根據(jù)題意可知BABQ，BAQBQA，AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B，BAQ+BQA+B180°，5B180°，B36°14（2019重慶）如圖，在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D（1）若C42°，求BAD的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EFAC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：AEFE【答案】見解析?！窘馕觥浚?）ABAC，ADBC于點(diǎn)D，BADCAD，ADC90°，又C42°，BADCAD90°42°48°；（2）ABAC，ADBC于點(diǎn)D，BADCAD，EFAC，F(xiàn)CAD，BADF，AEFE15（2019南岸區(qū)）如圖，直線ABCD，ACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F，AFE的平分線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）證明：ACAF；（2）若FCD30°，求G的大小【答案】見解析?！窘馕觥浚?）證明：ACD的平分線CE交AB于點(diǎn)F，ACFDCF，ABCD，AFCDCF，ACFAFC，ACAF；（2）解：FCD30°，ABCD，ACDGAF60°，AFC30°，AFE的平分線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G75°，G180°GAFAFG180°60°75°45°16（2019攀枝花）如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BDCE求證：（1）點(diǎn)D在BE的垂直平分線上；（2）BEC3ABE【答案】見解析。【解析】（1）連接DE，CD是AB邊上的高，ADCBDC90°，BE是AC邊上的中線，AECE，DECE，BDCE，BDDE，點(diǎn)D在BE的垂直平分線上；（2）DEAE，AADE，ADEDBE+DEB，BDDE，DBEDEB，AADE2ABE，BECA+ABE，BEC3ABE17.（2019湖北十堰）如圖，ABC中，ABAC，以AC為直徑的O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CDEBAC（1）求證：DE是O的切線；（2）若AB3BD，CE2，求O的半徑【答案】見解析。【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形（1）如圖，連接OD，AD，AC是直徑，ADC90°，ADBC，ABAC，CADBADBAC，CDEBACCDECAD，OAOD，CADADO，ADO+ODC90°，ODC+CDE90°ODE90°又OD是O的半徑DE是O的切線；（2）解：ABAC，ADBC，BDCD，AB3BD，AC3DC，設(shè)DCx，則AC3x，AD2x，CDECAD，DECAED，CDEDAE，即DE4，x，AC3x14，O的半徑為718.（2019甘肅武威）如圖，在ABC中，ABAC，BAC120°，點(diǎn)D在BC邊上，D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E（1）求證：AC是D的切線；（2）若CE2，求D的半徑【答案】見解析?！窘馕觥窟B接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC30°，BADB30°，求得ADC60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到DAC180°60°30°90°，于是得到AC是D的切線；連接AE，推出ADE是等邊三角形，得到AEDE，AED60°，求得EACAEDC30°，得到AECE2，于是得到結(jié)論（1）證明：連接AD，ABAC，BAC120°，BC30°，ADBD，BADB30°，ADC60°，DAC180°60°30°90°，AC是D的切線；（2）解：連接AE，ADDE，ADE60°，ADE是等邊三角形，AEDE，AED60°，EACAEDC30°，EACC，AECE2，D的半徑AD219. （2019湖南衡陽）如圖，在等邊ABC中，AB6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t（s）過點(diǎn)P作PEAC于E，連接PQ交AC邊于D以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE（1）當(dāng)t為何值時(shí)，BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求DE的長(zhǎng)；（4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將BPM沿直線PM翻折，得BPM，連接AB，當(dāng)t為何值時(shí)，AB'的值最小？并求出最小值【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題（1）ABC是等邊三角形，B60°，當(dāng)BQ2BP時(shí)，BPQ90°，6+t2（6t），t3，t3時(shí)，BPQ是直角三角形（2）存在理由：如圖1中，連接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30°，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如圖2中，作PKBC交AC于KABC是等邊三角形，BA60°，PKBC，APKB60°，AAPKAKP60°，APK是等邊三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）（4）如圖3中，連接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值為3319