經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)積分學一、單項選擇題1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，則k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，則=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，則f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定積分中積分值為0的是（ A ） A B C D 9下列無窮積分中收斂的是（ C ） A B C D10設(shè)(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不對 11下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程 A B C D 12微分方程的階是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 113在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 3）的曲線為（ C ）A B C D 14下列函數(shù)中，（ C ）是的原函數(shù)A- B C D 15下列等式不成立的是（ D ） A B C D 16若，則=（D ）.A. B. C. D. 17. （ B ） AB C D 18. 若，則f (x) =（ C ）A B- C D- 19. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B ) A BC D 20下列定積分中積分值為0的是（ A ） A B C D 21下列無窮積分中收斂的是（ C ） A B C D 22下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程 A B C D 23微分方程的階是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 124.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（ A ）.A. 奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)25. 若，則( A )A. B. C. D. 26. 曲線在處的切線方程為( A ). A B C D 27. 若的一個原函數(shù)是, 則=（D） AB C D 28. 若, 則（ C ）. A. B. C. D. 二、填空題1 2函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù)) 3若，則.4若，則= .50. 607無窮積分是收斂的（判別其斂散性）8設(shè)邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + 9. 是 2 階微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是14若，則. 答案：15若，則= . 答案：16. 答案：017答案：018無窮積分是答案：1 19. 是 階微分方程. 答案：二階20微分方程的通解是答案： 21. 函數(shù)的定義域是(-2,-1)U(-1,222. 若，則4 23. 已知，則=27+27 ln324. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，且則1.25. 若, 則-1/2 (三) 判斷題11. . ( )12. 若函數(shù)在點連續(xù)，則一定在點處可微. ( ) 13. 已知，則= （ ）14. . （ ）. 15. 無窮限積分是發(fā)散的. ( 三、計算題 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，則 =10求微分方程滿足初始條件的特解10解 因為 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解為 11求微分方程滿足初始條件的特解11解 將方程分離變量： 等式兩端積分得 將初始條件代入，得 ，c = 所以，特解為： 12求微分方程滿足 的特解. 12解：方程兩端乘以，得 即 兩邊求積分，得 通解為： 由，得 所以，滿足初始條件的特解為： 13求微分方程 的通解13解 將原方程分離變量 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14求微分方程的通解.14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因為，由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解： 19解：= 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =23 24. 2526設(shè)，求 27. 設(shè)，求. 28設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.29設(shè)是由方程確定的隱函數(shù),求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、應用題 1投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低. 1解 當產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小. 2已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 2解 因為邊際利潤 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產(chǎn)量為500件時，利潤最大. 當產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元）即利潤將減少25元. 3生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺）又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. 又 4已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 4解：因為總成本函數(shù)為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺)該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 5解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即利潤將減少1萬元. 6投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低.解 當產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 = 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小.7已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 解：因為總成本函數(shù)為 = 當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得x = 3 (百臺)該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 8生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？解：已知(x)=8x(萬元/百臺)，(x)=100-2x，則令，解出唯一駐點 由該題實際意義可知，x = 10為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為10百臺時利潤最大. 從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤的改變量為（萬元）即利潤將減少20萬元. 9設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 2x 令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為 =112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即利潤將減少1萬元.