專題18 解直角三角形問題 專題知識(shí)回顧 一、勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2b2=c2。，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 3.定理：經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。 4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形(2) 兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形二、銳角三角函數(shù)1.各種銳角三角函數(shù)的定義（1）正弦：在ABC中，C=90°把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做A的正弦，記作sinA （2）余弦：在ABC中，C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做A的余弦，記作cosA （3） 正切：在ABC中，C=90°，把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做A的正切，記作tanA 2.特殊值的三角函數(shù)：sincostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1仰角：視線在水平線上方的角；2俯角：視線在水平線下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)（2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanAtan(90°A)=1（4）弦切關(guān)系 tanA=專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB4，O是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，160°，P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn)，當(dāng)APB為直角三角形時(shí)，則BP 【答案】2或2或2【解析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2c2分APB90°、PAB90°、PBA90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可AOOB2，當(dāng)BP2時(shí)，APB90°，當(dāng)PAB90°時(shí)，AOP60°，APOAtanAOP2，BP2，當(dāng)PBA90°時(shí)，AOP60°，BPOBtan12，故答案為：2或2或2【例題2】（2019湖南長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【答案】D 【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線過點(diǎn)C作CDAB，則在RtACD中易得AD的長，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的長過C作CDAB于D點(diǎn)，ACD30°，BCD45°，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD60×30在RtDCB中，BCDB45°，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile【例題3】（2019江蘇連云港）如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里在某時(shí)刻，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53°的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處成功攔截（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°cos53°，cos37°sin53°，tan37°，tan76°4）【答案】（1）觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時(shí)時(shí)，恰好在D處成功攔截【解析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ACB90°，再解RtABC，利用正弦函數(shù)定義得出AC即可；在ABC中，ACB180°BBAC180°37°53°90°在RtABC中，sinB，ACABsin37°25×15（海里）答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）過點(diǎn)C作CMAB于點(diǎn)M，易知，D.C.M在一條直線上解RtAMC，求出CM、AM解RtAMD中，求出DM、AD，得出CD設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，根據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛AD所用的時(shí)間列出方程，解方程即可過點(diǎn)C作CMAB于點(diǎn)M，由題意易知，D.C.M在一條直線上在RtAMC中，CMACsinCAM15×12，AMACcosCAM15×9在RtAMD中，tanDAM，DMAMtan76°9×436，AD9，CDDMCM361224設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，則有，解得x6經(jīng)檢驗(yàn)，x6是原方程的解答：當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時(shí)時(shí)，恰好在D處成功攔截 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1（2019渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（）A1，2B1，3，4C2，3，6D4，5，6【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可A.12+（）222，故是直角三角形，故此選項(xiàng)正確；B.12+3242，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.22+3262，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.42+5262，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤2（2019巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長的一組數(shù)據(jù)是（）A，B32，42，52CD0.3，0.4，0.5【答案】D【解析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看能否組成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷即可A.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.（32）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.0.032+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意。3.（2019廣西省貴港市）將一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為ABCD 【答案】【解析】過作于，則，依據(jù)勾股定理得出的長，進(jìn)而得到重疊部分的面積如圖，過作于，則，中，重疊部分的面積為，故選：4.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面積為（）AB3CD5【答案】B【解析】勾股定理四邊形ABCD是正方形，B90°，BC2EC2EB222123，正方形ABCD的面積BC23故選：B5（2019南岸區(qū)）如圖，在RtABC中，A90°，C30°，BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，并交BC于點(diǎn)E，若ED3，則AC的長為（）A3B3C6D9【答案】D【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DCDB，DEBC，求出BDDC2DE3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可DE是線段BC的垂直平分線，DCDB，DEBC，C30°，BDDC2DE3，DBCC30°，在ABC中，A90°，C30°，ABC60°，ABD60°30°30°，ADBD3，ACDC+AD96（2019西藏）如圖，在O中，半徑OC垂直弦AB于D，點(diǎn)E在O上，E22.5°，AB2，則半徑OB等于（）A1BC2D2【答案】B 【解析】直接利用垂徑定理進(jìn)而結(jié)合圓周角定理得出ODB是等腰直角三角形，進(jìn)而得出答案半徑OC弦AB于點(diǎn)D，EBOC22.5°，BOD45°，ODB是等腰直角三角形，AB2，DBOD1，則半徑OB等于：7.（2019江蘇蘇州）如圖，小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓的高度，將測(cè)角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測(cè)角儀的高度為，測(cè)得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（ ）ABCD【答案】C 【解析】考察角的三角函數(shù)值，中等偏易題目過作交于，在中，8.（2019湖南長沙）如圖，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B【解析】如圖，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，設(shè)AEa，BE2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DHBD，推出CD+BDCD+DH，由垂線段最短即可解決問題如圖，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90°，tanA2，設(shè)AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值為4二、填空題9.（2019·貴州安順）如圖，在RtABC中，BAC90°，且BA3，AC4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DMAB于點(diǎn)M，DNAC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為 【答案】【解析】BAC90°，且BA3，AC4，BC5，DMAB，DNAC，DMADNABAC90°，四邊形DMAN是矩形，MNAD，當(dāng)ADBC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，ABC的面積AB×ACBC×AD，AD，MN的最小值為。10. （2019貴州省畢節(jié)市） 三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，點(diǎn)B在ED上，ABCF，F(xiàn)ACB90°，E45°，A60°，AC10，則CD的長度是 【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理過點(diǎn)B作BMFD于點(diǎn)M，在ACB中，ACB90°，A60°，AC10，ABC30°，BC10×tan60°10 ，ABCF，BMBC×sin30°10×5，CMBC×cos30°15，在EFD中，F(xiàn)90°，E45°，EDF45°，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：15511. (2019海南)如圖,將RtABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AE,直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AF,連接EF,若AB3,AC2,且+B,則EF_.【答案】【解析】+B,EAFBAC+B90°,AEF是直角三角形,且AEAB3,AFAC2,EF12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC,其中點(diǎn)A與A是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B落在邊AC上,連接AB,若ACB=45°,AC=3,BC=2,則AB的長為 【答案】：【解析】將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC，ACA'C3，ACBACA'45°A'CB90°A'B13.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是_【答案】【解析】如圖，過A作ADBC于D，則ADBADC90°，ABAC2，B30°，ADAB，由勾股定理得：BD3，同理CD3，BC6，ABC的周長為BC+AB+AC6+2+26+414.（2019浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的B處，則此時(shí)這艘船與哨所的距離OB約為 米（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角的問題此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想通過解直角OAC求得OC的長度，然后通過解直角OBC求得OB的長度即可如圖，設(shè)線段AB交y軸于C，在直角OAC中，ACOCAO45°，則ACOCOA400米，OCOAcos45°400×200（米）在直角OBC中，COB60°，OC200米，OB400456（米）故答案是：45615.（2019海南省）如圖，將RtABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°）得到AE，直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°）得到AF，連結(jié)EF若AB3，AC2，且+B，則EF 【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的長由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90°，且+B，BAC+90°EAF90°EF16（2019山東臨沂）如圖，在ABC中，ACB120°，BC4，D為AB的中點(diǎn)，DCBC，則ABC的面積是 【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到BCD90°，得到長CD到H使DHCD，由線段中點(diǎn)的定義得到ADBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AHBC4，HBCD90°，求得CD2，于是得到結(jié)論DCBC，BCD90°，ACB120°，ACD30°，延長CD到H使DHCD，D為AB的中點(diǎn)，ADBD，在ADH與BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90°，ACH30°，CHAH4，CD2，ABC的面積2SBCD2××4×28，故答案為：8三、解答題17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在ABC中，ABBC，ADBC于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F，BHAB于點(diǎn)B，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接FM并延長交BH于點(diǎn)H（1）如圖所示，若ABC30°，求證：DFBH BD；（2）如圖所示，若ABC45°，如圖所示，若ABC60°（點(diǎn)M與點(diǎn)D重合），猜想線段DF，BH，BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明圖圖圖【答案】見解析。【解析】條件中有等腰三角形ABC，故考慮用等腰三角形的性質(zhì)；條件中有30°角，且有ADBC，故可以找到與BD有關(guān)的的數(shù)量關(guān)系，即ADBD；條件中有中點(diǎn)，故考慮構(gòu)造全等三角形.結(jié)合以上信息，再結(jié)合問題中的DF,BH兩條線段，因此連接CF，問題可解.對(duì)于圖和圖，可仿照（1）的思路求解.（1）證明：連接CF，AB=BC，ABC=30°，BAC=ACB=75°.ADBC，ADB=90°，BAD=60°，DAC=15°AB=BC，BEAC，BE垂直平分AC，AF=CF，ACF=DAC=15°，BCF=75°-15°=60°，BHAB，ABC=30°，CBH=60°，CBH=BCF=60°.在BHM和CFM中，CBH=BCF，BM=CM，BMH=CMF，BHMCFM，BH=CF,BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH.在RtADB中，ABC=30°，AD=BD,DFBHBD.（2）圖猜想結(jié)論：DFBHBD；圖猜想結(jié)論：DFBHBD18.（2019廣西池河）如圖，在河對(duì)岸有一棵大樹A，在河岸B點(diǎn)測(cè)得A在北偏東60°方向上，向東前進(jìn)120m到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得A在北偏東30°方向上，求河的寬度（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732【答案】見解析。【解析】過點(diǎn)A作AD直線BC，垂足為點(diǎn)D，在RtABD和RtACD中，通過解直角三角形可求出BD，CD的長，結(jié)合BCBDCD120，即可求出AD的長過點(diǎn)A作AD直線BC，垂足為點(diǎn)D，如圖所示在RtABD中，tanBAD，BDADtan60°AD；在RtACD中，tanCAD，CDADtan30°ADBCBDCDAD120，AD103.9河的寬度為103.9米19. （2019湖南懷化）如圖，為測(cè)量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測(cè)得對(duì)岸A處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得柳樹位于北偏東30°方向，試計(jì)算此段河面的寬度【答案】這條河的寬度為30米【解析】如圖，作AD于BC于D由題意可知：BC1.5×4060米，ABD30°，ACD60°，BACACDABC30°，ABCBAC，BCAC60米在RtACD中，ADACsin60°60×30（米）答：這條河的寬度為30米20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動(dòng)中，在C處測(cè)得點(diǎn)D位于西北方向，又在A處測(cè)得點(diǎn)D位于南偏東65°方向，另測(cè)得BC414m，AB300m，求出點(diǎn)D到AB的距離（參考數(shù)據(jù)sin65°0.91，cos65°0.42，tan65°2.14）【答案】點(diǎn)D到AB的距離是214m【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵如圖，過點(diǎn)D作DEAB于E，過D作DFBC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DEx，在RtADE中，AED90°，tanDAE，AE，BE300，又BFDEx，CF414x，在RtCDF中，DFC90°，DCF45°，DFCF414x，又BECF，即：300414x，解得：x21421.（2019湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求證：BDBC【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)（1）作CEAB交AB的延長線于點(diǎn)E，如圖：設(shè)BEx，CEh在RtCEB中：x2+h29在RtCEA中：（5+x）2+h252聯(lián)立解得：x，h平行四邊形ABCD的面積ABh12；（2）作DFAB，垂足為FDFACEB90°平行四邊形ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90°，ADBCADFBCE（AAS）AFBE，BF5，DFCE在RtDFB中：BD2DF2+BF2（）2+（）216BD4BC3，DC5CD2DB2+BC2BDBC22.（2019廣東深圳）如圖所示，某施工隊(duì)要測(cè)量隧道長度BC，AD=600米，ADBC，施工隊(duì)站在點(diǎn)D處看向B，測(cè)得仰角45°，再由D走到E處測(cè)量，DEAC，DE=500米，測(cè)得仰角為53°，求隧道BC長.（sin53°，cos53°，tan53°）.【答案】隧道BC的長度為700米【解析】作EMAC于點(diǎn)M，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形解決問題如圖，ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600作EMAC于點(diǎn)M，則AM=DE=500，BM=100在RtCEM中，tan53°=，即=，CM=800，BC=CMBM=800100=700（米），隧道BC的長度為700米答：隧道BC的長度為700米23.（2019湖北十堰）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD3m，壩高AEDF6m，坡角45°，30°，求BC的長【答案】BC的長（9+63）m【解析】解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題過A點(diǎn)作AEBC于點(diǎn)E，過D作DFBC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3，坡角45°，30°，BEAE6，CF=3DF63，BCBE+EF+CF6+3+63=9+63，BC（9+63）m，答：BC的長（9+63）m24. （2019湖南郴州）如圖所示，巡邏船在A處測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，距離A處30km在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求救信號(hào)，巡邏船接到指示后立即前往施救已知B處在A處的北偏東60°方向上，這時(shí)巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到0.01km參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732，62.449）【答案】巡邏船與漁船的距離約為8.97km【解析】延長CB交過A點(diǎn)的正東方向于D，則CDA90°，由題意得：AC30km，CAD45°，BAD30°，由直角三角形的性質(zhì)得出ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，即可得出答案延長CB交過A點(diǎn)的正東方向于D，如圖所示：則CDA90°，由題意得：AC30km，CAD90°45°45°，BAD90°60°30°，ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，BCCDBD152-5615×1.4145×2.4498.97（km）；答：巡邏船與漁船的距離約為8.97km 23