第八章第五節(jié)一、選擇題1(文)(2014廣東文)若實數(shù)k滿足0<k<5，則曲線1與曲線1的()A實半軸長相等 B虛半軸長相等C離心率相等D焦距相等答案D解析0<k<5，兩方程都表示雙曲線，由雙曲線中c2a2b2得其焦距相等，選D(理)(2014廣東理)若實數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實半軸長相等C虛半軸長相等D離心率相等答案A解析由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由，得兩雙曲線的焦距相等，選A2(文)(2014河北石家莊第二次質(zhì)檢)已知F是雙曲線1(a>0)的右焦點，O為坐標原點，設P是雙曲線C上一點，則POF的大小不可能是()A15B25C60D165答案C解析雙曲線的漸近線方程為0，兩漸近線的斜率k，漸近線的傾斜角分別為30，150，所以POF的大小不可能是60.(理)已知雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案A解析由漸近線方程為yx知，ab，又頂點到漸近線距離為1，1，由得，a2，b，選A3(文)(2013保定調(diào)研)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y248x的準線上則雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案B解析由題意可知解得所以選B(理)(2014甘肅蘭州、張掖診斷)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，則此雙曲線的方程為()A1B1C1D1答案C解析因為以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此雙曲線的方程為1.4(2014山東煙臺一模)雙曲線C1的中心在原點，焦點在x軸上，若C1的一個焦點與拋物線C2：y212x的焦點重合，且拋物線C2的準線交雙曲線C1所得的弦長為4，則雙曲線C1的實軸長為()A6B2CD2答案D解析設雙曲線C1的方程為1(a>0，b>0)由已知，拋物線C2的焦點為(3,0)，準線方程為x3，即雙曲線中c3，a2b29，又拋物線C2的準線過雙曲線的焦點，且交雙曲線C1所得的弦長為4，所以2，與a2b29聯(lián)立，得a22a90，解得a，故雙曲線C1的實軸長為2，故選D5(2013廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(5,0)和C(5,0)，若頂點B在雙曲線1上，則為()ABCD答案C解析設ABC中角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，由正弦定理得，由雙曲線的標準方程和定義可知，A、C是雙曲線的焦點，且|AC|10，|BC|AB|8.所以，故選C6(文)(2014江西贛州四校聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為()A相交B相切C相離D以上情況都有可能答案B解析設以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的半徑分別為r1，r2，若P在雙曲線左支上，如圖所示，則|O2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2，即圓心距為兩圓半徑之和，兩圓外切若P在雙曲線右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此時兩圓內(nèi)切綜上，兩圓相切，故選B(理)如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，當動點M在底面ABCD內(nèi)運動時，總有：D1AD1M，則動點M在面ABCD內(nèi)的軌跡是()上的一段弧()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析因為滿足條件的動點在底面ABCD內(nèi)運動時，動點的軌跡是以D1D為軸線，以D1A為母線的圓錐，與平面ABCD的交線即圓的一部分故選A二、填空題7(文)已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mxy0，若m為集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意一個值，則使得雙曲線的離心率大于3的概率是_答案解析由題意知雙曲線方程可設為m2x2y21，從而e>3，m>0，m>2，故所求概率是，故填.(理)(2014浙江)設直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P(m,0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_答案解析聯(lián)立漸近線與直線方程可解得A(，)，B(，)，則kAB，設AB的中點為E，由|PA|PB|，可知AB的中點E與點P兩點連線的斜率為3，6，化簡得4b2a2，所以e.8(2014溫州十校聯(lián)考)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F作圓x2y2a2的兩條切線，記切點分別為A、B，雙曲線的左頂點為C，若ACB120，則雙曲線的離心率e_.答案2解析連接OA，根據(jù)題意以及雙曲線的幾何性質(zhì)，|FO|c，|OA|a，而ACB120，AOC60，又FA是圓O的切線，故OAFA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，e2.9(文)(2013北京大興模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左頂點與拋物線y22px(p>0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(2，1)，則雙曲線的焦距為_答案2解析由解得由題意得得又已知a4，故a2，b1，c.所以雙曲線的焦距2c2.(理)(2014深圳調(diào)研)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)與橢圓1有相同的焦點，且雙曲線C的漸近線方程為y2x，則雙曲線C的方程為_答案x21解析易得橢圓的焦點為(，0)，(，0)，a21，b24，雙曲線C的方程為x21.三、解答題10(文)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)在(2)的條件下，求F1MF2的面積解析(1)e，可設雙曲線方程為x2y2(0)，雙曲線過點(4，)，1610，即6，雙曲線方程為1.(2)證明：法1：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，點M(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，即0.法2：(23，m)，(23，m)，(23)(23)m23m2，點M在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底邊長|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的高h|m|，SF1MF26.(理)(2013銅陵一模)若雙曲線E：y21(a>0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，點C是雙曲線上一點，且m()，求k，m的值解析(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故即所以1<k<.(2)由得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2.又1<k<，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.設C(x3，y3)，由m()得，(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)x34m，y38m.點C是雙曲線上一點，80m264m21，得m.故k，m.一、選擇題11(文)(2013南昌一模)雙曲線1(b>0，a>0)與拋物線yx2有一個公共焦點F，雙曲線的過點F且垂直于y軸的弦長為，則雙曲線的離心率等于()A2BCD答案B解析雙曲線與拋物線x28y的公共焦點F的坐標為(0,2)，由題意知(，2)在雙曲線上，于是，得a23，b21，故e，故選B(理)(2013安徽皖南八校聯(lián)考)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使0，且F1PF2的三邊長構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為()ABC2D5答案D解析設|PF1|m，|PF2|n，且m>n，|F1F2|2c，由題可知F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊由雙曲線的幾何性質(zhì)和直角三角形的勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，等式兩邊同時除以a2得e26e50，解得e5或e1.因為雙曲線的離心率e>1，所以e5.12(2014重慶理)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()ABCD3答案B解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9()240，則(1)(4)0，解得(舍去)，則雙曲線的離心率e.13(2014湖北文)設a，b是關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線1的公共點的個數(shù)為()A0B1C2D3答案A解析關(guān)于t的方程t2costsin0的兩個不等實根為0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，則過A，B兩點的直線方程為yxtan，雙曲線1的漸近線方程為yxtan，所以直線yxtan與雙曲線沒有公共點，故選A14(文)若原點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為()A32，)B32，)C，)D，)答案B解析a21224，a23，雙曲線方程為y21.設P點坐標為(x，y)，則(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(右支上任意一點)，32.故選B(理)設F1、F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|F1F2|，且cosPF1F2，則雙曲線的漸近線方程為()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0答案C解析在PF1F2中，由余弦定理得，cosPF1F2.所以|PF1|c.又|PF1|PF2|2a，即c2c2a，所以ca.代入c2a2b2得.因此，雙曲線的漸近線方程為4x3y0.二、填空題15(文)(2013湖南)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，若在C上存在一點P，使PF1PF2，且PF1F230，則C的離心率為_答案1解析由已知可得，|PF1|2ccos30c，|PF2|2csin30c，由雙曲線的定義，可得cc2a，則e1.(理)(2014山東日照模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線1(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P和Q.且F1PQ為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析設F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入雙曲線方程得y0，PQx軸，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)，a>0，b>0，.故所求雙曲線的漸近線方程為yx.16P為雙曲線x21右支上一點，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為_答案5解析雙曲線的兩個焦點為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.三、解答題17(文)(2013江蘇泰州質(zhì)檢)已知點N(1,2)，過點N的直線交雙曲線x21于A，B兩點，且()(1)求直線AB的方程；(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點，且0，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？解析(1)由題意知直線AB的斜率存在設直線AB：yk(x1)2，代入x21得，(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，2k20且x1x2.()，N是AB的中點，1，k(2k)k22，k1，AB的方程為yx1.(2)將k1代入方程(*)得x22x30，x1或x3，不妨設A(1,0)，B(3,4)0，CD垂直平分ABCD所在直線方程為y(x1)2，即y3x，代入雙曲線方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點M(x0，y0)，則x3x46，x3x411，x03，y06，即M(3,6)|CD|x3x4|4，|MC|MD|CD|2，|MA|MB|2，即A，B，C，D到M的距離相等，A，B，C，D四點共圓(理)(2014廣東肇慶一模)設雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(，0)，離心率e，A，B是雙曲線上的兩點，AB的中點為M(1,2)(1)求雙曲線C的方程；(2)求直線AB的方程；(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？解析(1)依題意得解得a1.所以b2c2a2312，故雙曲線C的方程為x21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，由題意得x1x2，x1x22，y1y24，所以1，即kAB1.故直線AB的方程為yx1.(3)假設A，B，C，D四點共圓，且圓心為P.因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB的垂直平分線CD上又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M.下面只需證CD的中點M滿足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0)，B(3,4)由此可得直線CD方程：yx3.由得C(32，62)，D(32，62)，所以CD的中點M(3,6)因為|MA|2，|MB|2，|MC|2，|MD|2，所以|MA|MB|MC|MD|，即A，B，C，D四點在以點M(3,6)為圓心，2為半徑的圓上18(文)已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，其漸近線與圓x2y210x200相切過點P(4,0)作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A、B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA|PB|PC|2.(1)求雙曲線的標準方程；(2)設點M為雙曲線上一動點，點N為圓x2(y2)2上一動點，求|MN|的取值范圍解析(1)設雙曲線的漸近線方程為ykx，因為漸近線與圓(x5)2y25相切，則，即k，所以雙曲線的漸近線方程為yx.設雙曲線方程為x24y2m，將y(x4)代入雙曲線方程中整理得，3x256x1124m0.所以xAxB，xAxB.因為|PA|PB|PC|2，點P、A、B、C共線，且點P在線段AB上，則(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16.所以4(xAxB)xAxB320.于是4()320，解得m4.故雙曲線方程是x24y24，即y21.(2)設點M(x，y)，圓x2(y2)2的圓心為D，則x24y24，點D(0,2)所以|MD|2x2(y2)24y24(y2)25y24y85(y)2.所以|MD|，從而|MN|MD|.故|MN|的取值范圍是，)(理)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)(1)求C的離心率；(2)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|BF|17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切解析(1)由題意知，l的方程為：yx2，代入C的方程并化簡得，(b2a2)x24a2x4a2a2b20.設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由M(1,3)為BD的中點知1，故1，即b23a2，故c2a，C的離心率e2.(2)由知，C的方程為3x2y23a2，A(a,0)，F(xiàn)(2a,0)，x1x22，x1x2<0，故不妨設x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1，或a.故|BD|x1x2|6.連接MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，從而MAMBMD，DAB90，因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切