專題22 正方形 專題知識(shí)回顧 1正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2正方形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。3正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。4正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為b ，S正方形=專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖南郴州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知A90°，BD4，CF6，則正方形ADOF的邊長(zhǎng)是（）A2B2C3D4【答案】B【解析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，由題意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的邊長(zhǎng)是2【例題2】（2019四川省涼山州）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OC上一點(diǎn)，連接EB過點(diǎn)A作AMBE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F求證：OEOF【答案】見解析。【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OBOA，根據(jù)AMBE，即可得出MEA+MAE90°AFO+MAE，從而證出RtBOERtAOF，得到OEOF證明：四邊形ABCD是正方形BOEAOF90°，OBOA又AMBE，MEA+MAE90°AFO+MAE，MEAAFOBOEAOF（AAS）OEOF 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形ABCD中，AB1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，AEAF，EAF60°，則CF的長(zhǎng)是（）ABC1D【答案】C 【解析】四邊形ABCD是正方形，BDBAD90°，ABBCCDAD1，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BAEDAF，EAF60°，BAE+DAF30°，DAF15°，在AD上取一點(diǎn)G，使GFADAF15°，如圖所示：AGFG，DGF30°，DFFGAG，DGDF，設(shè)DFx，則DGx，AGFG2x，AG+DGAD，2x+x1，解得：x2，DF2，CFCDDF1（2）1；故選：C2（2019湖南張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（）A（，）B（1，0） C（，） D（0，1）【答案】A.【解析】解：四邊形OABC是正方形，且OA1，A（0，1），將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，A1（，），A2（1，0），A3（，），發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019÷8252余3，點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為（，）故選：A3.（2019四川省廣安市）把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為 【答案】A【解析】陰影部分面積=1××=4.（2019貴州省銅仁市）如圖，正方形ABCD中，AB6，E為AB的中點(diǎn)，將ADE沿DE翻折得到FDE，延長(zhǎng)EF交BC于G，F(xiàn)HBC，垂足為H，連接BF、DG以下結(jié)論：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；SBFG2.6；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D5【答案】C【解答】正方形ABCD中，AB6，E為AB的中點(diǎn)ADDCBCAB6，AEBE3，ACABC90°ADE沿DE翻折得到FDEAEDFED，ADFD6，AEEF3，ADFE90°BEEF3，DFGC90°EBFEFBAED+FEDEBF+EFBDEFEFBBFED故結(jié)論正確；ADDFDC6，DFGC90°，DGDGRtDFGRtDCG結(jié)論正確；FHBC，ABC90°ABFH，F(xiàn)HBA90°EBFBFHAEDFHBEAD結(jié)論正確；RtDFGRtDCGFGCG設(shè)FGCGx，則BG6x，EG3+x在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2解得：x2BG4tanGEB故結(jié)論正確；FHBEAD，且BH2FH設(shè)FHa，則HG42a在RtFHG中，由勾股定理得：a2+（42a）222解得：a2（舍去）或aSBFG×4×2.4故結(jié)論錯(cuò)誤。5（2019黑龍江省綏化）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)，且AB4，EF2，設(shè)AEx當(dāng)PEF是等腰三角形時(shí)，下列關(guān)于P點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，一定正確的是（）當(dāng)x0（即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，P點(diǎn)有6個(gè)當(dāng)0x42時(shí)，P點(diǎn)最多有9個(gè)當(dāng)P點(diǎn)有8個(gè)時(shí)，x22當(dāng)PEF是等邊三角形時(shí)，P點(diǎn)有4個(gè)ABCD【答案】B【解析】當(dāng)x0（即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，如下圖，分別以A、F為圓心，2為半徑畫圓，各2個(gè)P點(diǎn)，以AF為直徑作圓，有2個(gè)P點(diǎn)，共6個(gè)，所以，正確。當(dāng)0x42時(shí)，P點(diǎn)最多有8個(gè)，故錯(cuò)誤。 二、填空題6（2019湖南邵陽）公元3世紀(jì)初，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽注周髀算經(jīng)時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”如圖，設(shè)勾a=6，弦c=10，則小正方形ABCD的面積是 .【答案】4【解析】勾a6，弦c10，股8，小正方形的邊長(zhǎng)862，小正方形的面積224.故答案是：4.7（2019湖南張家界）如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tanAPD 【答案】2【解析】解：連接AF，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，CFBE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAECBF，又BAE+BEA90°，CBF+BEA90°，BPEAPF90°，ADF90°，ADF+APF180°，A、P、F、D四點(diǎn)共圓，AFDAPD，tanAPDtanAFD2，故答案為：28.（2019湖北省隨州市）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF給出下列判斷：EAG=45°；若DE=a，則AGCF；若E為CD的中點(diǎn)，則GFC的面積為a2；若CF=FG，則DE=（-1）a；BGDE+AFGE=a2其中正確的是_（寫出所有正確判斷的序號(hào)）【答案】【解析】四邊形ABCD是正方形，AB=BC=AD=a，將ADE沿AE對(duì)折至AFE，AFE=ADE=ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，DAE=FAE，在RtABG和RtAFG中，RtABGRtAFG（HL），BAG=FAG，GAE=GAF+EAF=90°=45°，故正確；BG=GF，BGA=FGA，設(shè)BG=GF=x，DE=a，EF=a，CG=a-x，在RtEGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此時(shí)BG=CG=a，GC=GF=a，GFC=GCF，且BGF=GFC+GCF=2GCF，2AGB=2GCF，AGB=GCF，AGCF，正確；若E為CD的中點(diǎn)，則DE=CE=EF=，設(shè)BG=GF=y，則CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，BG=GF=，CG=a-，故錯(cuò)誤；當(dāng)CF=FG，則FGC=FCG，F(xiàn)GC+FEC=FCG+FCE=90°，F(xiàn)EC=FCE，EF=CF=GF，BG=GF=EF=DE，EG=2DE，CG=CE=a-DE，即，DE=（-1）a，故正確；設(shè)BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，=，即SCEG=BGDE，SABG=SAFG，SAEF=SADE，S五邊形ABGED+SCEG=S正方形ABCD，BGDE+AFEG=a2，故正確故答案為：由折疊得AD=AF=AB，再由HL定理證明RtABGRtAFG便可判定正誤；設(shè)BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，進(jìn)而得GC=GF，得GFC=GCF，再證明AGB=GCF，便可判斷正誤；設(shè)BG=GF=y，則CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊之比，求得CGF的面積，便可判斷正誤；證明FEC=FCE，得EF=CF=GF，進(jìn)而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系式便可得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤；設(shè)BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得CEG的面積為BGDE，再由五邊形ABGED的面積加上CEG的面積等于正方形的面積得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤9（2019福建）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中心與半徑為2的O的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長(zhǎng)與O的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留）【答案】1【解析】延長(zhǎng)DC，CB交O于M，N，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論延長(zhǎng)DC，CB交O于M，N，則圖中陰影部分的面積×（S圓OS正方形ABCD）×（44）1，10.（2019四川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB12，AEAB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作PQEP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為 【答案】4 【解析】先證明BPECQP，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)CQy，BPx，則CP12x，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值BEP+BPE90°，QPC+BPE90°，BEPCPQ又BC90°，BPECQP設(shè)CQy，BPx，則CP12x，化簡(jiǎn)得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以當(dāng)x6時(shí)，y有最大值為411. （2019廣東廣州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），DAM45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AFBE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC，EF，EG，則下列結(jié)論：ECF45°； AEG的周長(zhǎng)為（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF的面積的最大值a2其中正確的結(jié)論是 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】正確如圖1中，在BC上截取BHBE，連接EH證明FAEEHC（SAS），即可解決問題錯(cuò)誤如圖2中，延長(zhǎng)AD到H，使得DHBE，則CBECDH（SAS），再證明GCEGCH（SAS），即可解決問題正確設(shè)BEx，則AEax，AFx，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題如圖1中，在BC上截取BHBE，連接EHBEBH，EBH90°，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45°，BAD90°，F(xiàn)AEEHC135°，BABC，BEBH，AEHC，F(xiàn)AEEHC（SAS），EFEC，AEFECH，ECH+CEB90°，AEF+CEB90°，F(xiàn)EC90°，ECFEFC45°，故正確，如圖2中，延長(zhǎng)AD到H，使得DHBE，則CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90°，ECGGCH45°，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故錯(cuò)誤，AEG的周長(zhǎng)AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故錯(cuò)誤，設(shè)BEx，則AEax，AFx，SAEF（ax）×xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa時(shí)，AEF的面積的最大值為a2故正確，故答案為12.（2019·廣西賀州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF平分BAE交BC于點(diǎn)F，將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ABG，則CF的長(zhǎng)為 【答案】62【解析】作FMAD于M，F(xiàn)NAG于N，如圖，易得四邊形CFMD為矩形，則FM4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DE2，AE2，ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ABG，AGAE2，BGDE2，34，GAE90°，ABGD90°，而ABC90°，點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，AF平分BAE交BC于點(diǎn)F，12，2+41+3，即FA平分GAD，F(xiàn)NFM4，ABGFFNAG，GF2，CFCGGF4+2262故答案為6213（2019山東青島）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF若AD4cm，則CF的長(zhǎng)為 cm【答案】6【解析】設(shè)BFx，則FGx，CF4x，在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用4x即可設(shè)BFx，則FGx，CF4x在RtADE中，利用勾股定理可得AE根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AGAB4，所以GE4在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（4）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，所以（4）2+x2（4x）2+22，解得x2則FC4x614.（2019江蘇鎮(zhèn)江）將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到FECG的位置（如圖），使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上，EF與AD相交于點(diǎn)H，則HD （結(jié)果保留根號(hào)）【答案】1【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理由正方形的對(duì)角線與相鄰的邊夾角為45°，得CFEECF45°，而在RtCEF中，由勾股定理，得CF，從而DF1，易知DHF是等腰直角三角形，于是DHDF1因此本題答案為115（2019遼寧撫順）如圖，在2×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，BC，則tanABC 故答案為：【解析】連接AD，根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出AB，AD，BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理判斷出三角形ABD為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可連接AD，由勾股定理得：AD，AB2，BD，（）2+（2）2（）2，即AD2+AB2BD2，ABD為BAD是直角的直角三角形，tanABC三、解答題16（2019湖南湘西州）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，且AFCE（1）求證：ABFCBE；（2）若AB4，AF1，求四邊形BEDF的面積【答案】（1）見解析；（2）12【解答】（1）在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面積為16，ABF面積CBE面積×4×12所以四邊形BEDF的面積為162×21217. (2019海南)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,E是邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)(與點(diǎn)A,D不重合),射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.(1)求證:PDEQCE;(2)過點(diǎn)E作EFBC交PB于點(diǎn)F,連接AF,當(dāng)PBPQ時(shí),求證:四邊形AFEP是平行四邊形;請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形,并說明理由.【答案】見解析?！窘馕觥坑烧叫涡再|(zhì)得到邊角關(guān)系,從而證明全等;通過證明全等得到APEF,由平行線的傳遞性得到平行,故四邊形AFEP是平行四邊形;列出方程得到AP的長(zhǎng),與PE比較,不能判定四邊形AFEP是菱形.(1) 證明:四邊形ABCD是正方形,DBCD90°,ECQ90°D.E是CD的中點(diǎn),DECE,又DEPCEQ,PDEQCE;(2) (2)證明:如圖,由(1)得PDEQCE,PEQEPQ,又EFBC,PFFBPB,PBPQ,PFPE,12,四邊形ABCD是正方形,BAD90°,在RtABP中,F是PB的中點(diǎn),AFBPFP,34,ADBC,EFBC,ADEF,14,23,又PFFP,APFEFP,APEF,又APEF,四邊形AFEP是平行四邊形.四邊形AFEP不是菱形,理由如下:設(shè)PDx,則AP1x,由(1)可知PDEQCE,CQPDx,BQBC+CQ1+x,點(diǎn)E,F分別是PQ,PB的中點(diǎn),EF是PBQ的中位線,EFBQ.由可知APEF,即1x,解得x,PD,AP,在RtPDE中,DE,PE,APPE,四邊形AFEP不是菱形.18（2019湖南株洲）如圖所示，已知正方形OEFG的頂點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，連接CE、DG（1）求證：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，線段AD與線段OG相交于點(diǎn)M，AM，求正方形OEFG的邊長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）2【解析】解：（1）正方形ABCD與正方形OEFG，對(duì)角線AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90°GOE90°，GOD+DOEDOE+COE90°GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如圖，過點(diǎn)M作MHDO交DO于點(diǎn)HAM，DA2，DMMDB45°MHDHsin45°DM，DOcos45°DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDO，MHDG易證OHMODG，得GO2則正方形OEFG的邊長(zhǎng)為219.（2019湖北省仙桃市）如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BECF，過點(diǎn)E作EGBF，交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G，連接GF求證：（1）AEBF；（2）四邊形BEGF是平行四邊形【答案】見解析?！窘馕觥坑蒘AS證明ABEBCF得出AEBF，BAECBF，由平行線的性質(zhì)得出CBFCEG，證出AEEG，即可得出結(jié)論；延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BPBE，連接EP，則APCE，EBP90°，證明APEECG得出AEEG，證出EGBF，即可得出結(jié)論證明：（1）四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABCBCD90°，ABEBCF90°，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90°，CEG+BEA90°，AEEG，AEBF；（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BPBE，連接EP，如圖所示：則APCE，EBP90°，P45°，CG為正方形ABCD外角的平分線，ECG45°，PECG，由（1）得BAECEG，在APE和ECG中，APEECG（ASA），AEEG，AEBF，EGBF，EGBF，四邊形BEGF是平行四邊形20（2019山東泰安）如圖，四邊形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，且CEF90°，F(xiàn)GAD，垂足為點(diǎn)C（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；（2）若點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由【答案】見解析?！窘馕觥窟^點(diǎn)F作FMAB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可證四邊形AGFM是矩形，可得AGMF，AMFG，由“AAS”可證EFMCEB，可得BEMF，MEBCAB，可得BEMAMFAGFG；延長(zhǎng)GH交CD于點(diǎn)N，由平行線分線段成比例可得，且CHFH，可得GHHN，NCFG，即可求DGDN，由等腰三角形的性質(zhì)可得DHHG（1）AGFG，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FMAB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M四邊形ABCD是正方形ABBC，B90°BADFMAB，MAD90°，F(xiàn)GAD四邊形AGFM是矩形AGMF，AMFG，CEF90°，F(xiàn)EM+BEC90°，BEC+BCE90°FEMBCE，且MB90°，EFECEFMCEB（AAS）BEMF，MEBCMEABBCBEMAMFAGFG，（2）DHHG理由如下：如圖，延長(zhǎng)GH交CD于點(diǎn)N，F(xiàn)GAD，CDADFGCD，且CHFH，GHHN，NCFG，AGFGNC又ADCD，GDDN，且GHHN，DHGH21（2019湖北襄陽）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQAE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GFAE求證：DQAE；推斷：的值為 ；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，k（k為常數(shù)）將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k時(shí)，若tanCGP，GF2，求CP的長(zhǎng)【答案】見解析。24【解析】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABDA，ABE90°DAQQAO+OAD90°AEDH，ADO+OAD90°QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ解：結(jié)論：1理由：DQAE，F(xiàn)GAE，DQFG，F(xiàn)QDG，四邊形DQFG是平行四邊形，F(xiàn)GDQ，AEDQ，F(xiàn)GAE，1故答案為1（2）解：結(jié)論：k理由：如圖2中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90°，BAE+AFO90°，AFO+FGM90°，BAEFGM，ABEGMF，AMGDDAM90°，四邊形AMGD是矩形，GMAD，k（3）解：如圖21中，作PMBC交BC的延長(zhǎng)線于MFBGC，F(xiàn)EGP，CGPBFE，tanCGPtanBFE，可以假設(shè)BE3k，BF4k，EFAF5k，F(xiàn)G2，AE3，（3k）2+（9k）2（3）2，K1或1（舍棄），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，BEFFEPPME90°，F(xiàn)EB+PEM90°，PEM+EPM90°，F(xiàn)EBEPM，F(xiàn)BEEMP，EM，PM，CMEMEC3，PC25